Considérons maintenant les développements

F(^, — h) = F{xo)-hr (xo) 4 ^F"(^o) +

qui correspondent à un accroissement positif et négatif de la variable. Soit Y{xo) = o et ¥'(xo) ^ o. On aura

V{xo + h) = hr{xo)-] —r\xo) +

V{xo — h) = - hr{xo)-] F"(^o) +

Lorsque h est assez petit, le signe des seconds membres est fixé par celui des premiers termes; par suite, ces relations nous montrent que l^{xo — Ji) et 'F{xo'\-h) sont de signe différent. Ainsi, lorsqu'une fonction entière s'annule dans un intervalle [xq — h, x^ -\- h), elle change nécessairement de signe, si la dérivée est différente de zéro.

Réciproquement, si une fonction entière change de signe pour les valeurs Xo — h et Xo-\-h, elle s'annule dans l'intervalle; car, pour passer, par exemple, d'une valeur positive à une valeur négative, la fonction doit prendre, en vertu de la continuité, toutes les valeurs intermédiaires et en particulier la valeur zéro qui sépare les quantités positives et négatives.

Supposons que la dérivée conserve le même signe dans l'intervalle {xo — hy Xo -^h)', les relations (a) montrent encore que F(iç) et F'(^) sont de signe différent immédiatement avant que F(a?) s'annule et de même signe immédiatement après. Cette particularité est très importante et elle se maintient, si la valeur ir^, qui annule la fonction, annule aussi un certain nombre de dérivées.

Supposons : Y{x^ = o^ F'(^o) = o, F''(.ro) = o, ... Fp~'(j?o) = o et

F*'(a?o) ^ o. Dans cette hypothèse, on a

/iP /«,p+ ' Y{x, + /O = m{Xo) -\ r-TF(''+')((ro) + •••