I . 2 ... JO ' I . 2 ... (JO

Appliquons la formule du développement au polynôme ^'(x); nous aurons aussi

r (xo + h) = '-^ -, F(p)(^o) -1 F(''+' )(ar„) -f . . .

Quand h est très petit, le signe des seconds membres est donné par celui des premiers termes; or, ceux-ci renferment le même facteur F^^ViPo) et les puissances Ilp et /t^"' ; si h est négatif, ces termes sont de signes contraires puisque les nombres p et p — i sont de parité différente; mais le signe reste le même pour h positif. Ce qui signifie que ^{xo — h) et F'(:ro — fi) sont de signe différent, tandis que ¥{xo-\-h) et 'E'(xo-\-ft) sont de même signe. Donc, lorsqu'une fonction entière Y [x) s'annule, un peu avant, F(y) et ¥'(j) sont de signe différent, et, un peu après, de même signe,

30. Importance de la valeur de la dérivée en un point. Désignons toujours par h une quantité positive très petite ; on a

F(^o + h) — F(a;o) = hF'ixo) + — F'' {xo) + • • •

h* F(a?o — h) — F(^o) = — hl^'ixo) -\ F'' (xo)

Lorsque la dérivée est positive au point Xo, les différences des premiers membres sont de signes contraires; la première est positive et l'autre négative. Les valeurs

V{xo — h), ¥{Xo)y F(ii?o + /0

sont donc croissantes. C'est Tinverse, si la dérivée est négative au même point. Donc, la fonction est croissante en un point, si la dérivée est positive, et décroissante, si la dérivée est négative.

Dans ce qui précède, les différences ifi) changent de signe avec h. 11 n'en

est plus ainsi, lorsque W{xq) == o et W {xq) ^ o; car, les seconds membres

commencent alors par un terme renfermant A'. Supposons que la dérivée seconde soit négative au point Xo ; on aura, d'après (j3), pour h sufTisamment petit

F {Xo + /O < F {xo), F (^0 — /O < F («^o) .

Dans tout l'intervalle (xo — /i, XQ-\-h)-, le point Xq excepté, la fonction reste inférieure à F(a?o); on dit alors que F(xo) est un viaximum de la

fanction pour cet intervalle. Au contraire, si la dérivée seconde est positive au point Xo, il vient

F(^o + /') > FG^o), F(xo — h) > F(^o);

dans tout l'intervalle (^o — /', ^o + h)^ le point Xq excepté, la fonction reste supérieure à F(^o); on dit alors que F(.To) est un minimum de la fonction pour cet intervalle.

Quand une fonction entière est maximum pour une valeur x = a?o, avant cette valeur, de Xq — h à Xo^ elle est croissante, tandis que, de Xo à Xo -\- h, elle est décroissante. Pour exprimer ce mouvement de va-et-vient, nous dirons que les diverses valeurs de la fonction forment une ondulation dans l'intervalle (^o — h, Xo -|~ '0- I^orsque la fonction est minimum pour X = Xo, elle est décroissante de Xo — h à x^, et croissante, de Xo à Xo 4" ^^• Les diverses valeurs de la fonction forment encore une ondulation, mais en sens opposé.

La dérivée pourrait s'annuler pour les valeurs de la variable Xo, X\y X2, etc. et. dans ce cas, plusieurs ondulations vont se succéder. Après un maximum, viendra un minimum suivi lui-même d'un maximum etc. Supposons ii?o <! ^i <C^2 etc. Si la fonction est maximum au point x^, elle décroît à partir de Xo jusqu'au point Xi où la dérivée s'annule pour changer de signe; à partir de Xi, la fonction redevient croissante jusqu'au point X2 et, à partir de iC2, elle décroît de nouveau; ainsi de suite.

Dans le cas où F''(^o) = o et F'''(^o) \ o, les seconds membres de (j3)

commencent par un terme en h^; les différences changent de signe avec h et la fonction ne peut devenir maximum ou minimum au point Xo- Dans le cas général où les p — i premières dérivées s'annulent pour x = Xq,

tandis que F^^^x^) ^ o, il y aura seulement maximum ou minimum au point

Xo. si p est pair.

La fonction linéaire

F(x) = kox + Al

ne peut offrir d'ondulation puisque sa dérivée est indépendante de la variable.

Une circonstance analogue peut se présenter exceptionnellement pour la fonction d'ordre impair

où nous supposerons le premier terme positif. Lorsque x varie d'une manière continue de — co à -{- co , la fonction part de la valeur — ai pour augmenter ensuite régulièrement jusqu'à la valeur + co ; ce qui peut se faire sans aucune ondulation dans l'intervalle. Il en sera ainsi nécessairement, si la dérivée n'est jamais nulle pour une valeur réelle de la variable. Cette particularité ne peut pas se présenter pour une fonction d'ordre pair

F(a?) = Ao ^^'" + A, .j;2— -\ 1- A,„,;

. car, X variant de — oo à -[- co , Ao étant positif, la fonction part de la valeur -f- °o pour décroître ensuite; mais, à un moment donné, elle devra augmenter puisqu'elle doit revenir à sa valeur initiale -\- oo . Elle offrira donc au moins une ondulation qui correspond à un minimum de la fonction. La dérivée étant un polynôme de degré impair, on en conclut qu'un tel polynôme doit toujours s'annuler pour une valeur réelle de la variable.

40. Principe fondamental de la théorie des équations. Il consiste à dire que toute équation algébrique a une racine. Il existe plusieurs démonstrations de cette proposition. Les meilleures présentent de longs développements assez difficiles à suivre. Nous croyons qu'on peut légitimer ce principe plus simplement comme nous allons l'indiquer.

Soit une équation algébrique du degré m

F(^) = Ao ^*'"+ Al ^'"-' -f- • [- Am = o.

On dit qu'un nombre réel ou imaginaire a est racine, lorsqu'en remplaçant X par a, le premier membre s'annule. La condition générale pour que a soit racine est donc

F(ft) = Aoft"» + Ai«"'-* -| t-A,„ = o.

Cette relation est aussi la condition pour que le polynôme l^(jr) soit divisible par x — a-, ainsi, lorsque a est racine, cette division se fait exactement et, réciproquement, si F (a;) est divisible par x — «, a est racine. En faisant la division, on pourra poser

le quotient Fi [x) étant un polynôme du degré m — i . Il en résulte que les racines de Fj {x) = o appartiennent aussi à l'équation F(a?) = o. Celle-ci ne pourra avoir plus de m racines, car alors l'équation Fi [x) = o en aurait plus de m — I, et, en continuant ainsi, il faudrait admettre qu'une équation du premier degré possède plus d'une racine; ce qui est impossible.

Considérons maintenant un produit de m facteurs

a, by .../ étant des nombres quelconques. Si on effectue ce produit, on arrivera à un polynôme du degré w qui, égalé à zéro, sera une équation du degré m ayant pour racines, a, b, ... l. Les nombres a,b, ... l peuvent être réels ou imaginaires; si les quantités imaginaires sont en nombre pair et conjuguées deux à deux, les coeffîcients du polynôme seront réels; car, si on pose

il vient

(x^a){x—b) = {x—'p — q\/-^l){x — p-^q[/—i) = [x—pY-{-if,

Il est donc possible de former une équation de degré pair à coefficients réels ayant toutes ses racines imaginaires. Pour arriver à une équation de degré impair, il faudrait ajouter au produit un facteur qui ne peut plus être imaginaire, si les coefficients doivent être réels.

Cela étant, soit d'abord une équation de degré impair à coefficients réels

Aoa;«-+* + k,x^-^ -1 1- k.m^x = o,

où nous supposerons le premier terme positif. Si x varie de — oo à + oo , la fonction du premier membre prend d'abord la valeur — oo pour augmenter ensuite; elle finira par devenir positive puisqu'elle doit arriver à la fin à la valeur -f- oo . La fonction change nécessairement de signe dans l'intervalle; par suite, il existe au moins un nombre a7o qui annule la fonction; nous disons au moins parce que la fonction pourrait changer un nombre impair de fois de signe entre — oo et + oo . Toute équation de degré impair possède donc toujours une racine. Nous allons voir qu'il en est encore ainsi pour une équation de degré pair. Pour le démontrer, considérons d'abord l'équation du second degré

à coefficients réels dont le premier terme est supposé positif. On en déduit pour l'équation dérivée

Y\x) = 2k(,x-\- Al =0.

Celle-ci possède toujours une racine réelle et une seule; elle correspond, comme nous l'avons vu, à un minimum de F(ic). Désignons par p ce mini-

mum et par a la valeur de x qui lui correspond, c'est-à-dire, la racine de l'équation dérivée. Étudions les changements de signe du minimum quand on fait varier les coefficients Ao, A,, Aj de toutes les manières possibles. Il y aura des systèmes de valeurs pour lesquels p sera négatif, d'autres pour lesquels \x sera positif; enfin, il peut aussi arriver que \k soit nul. Ce dernier cas se présente, lorsqu'on donne aux coefficients des valeurs telles que F(^) renferme le facteur {x — a)^; la dérivée renferme aussi ce facteur au premier degré et s'annule pour i5 = a; or, en substituant dans F(â?), on a : |U, = o.

Dans le premier cas où }x est négatif, en substituant à x les valeurs « et — 00 ainsi que les valeurs a et -i- oo , on obtient des résultats de signes contraires; il y a une racine réelle et une seule dans chacun des intervalles (a, — ^ 00 ), (a, -f- 00 ); car la fonction du premier membre passe une seule fois par zéro avant d'arriver à son minimum et une seule fois après. Supposons que les coefficients varient de manière que ^. tende vers zéro en restant négatif; les racines ne cessent pas d'exister, mais elles se rappro» chent de a; quand \h s'annule, les racines se réunissent sur a et deviennent égales. Si \k prend une valeur positive, les substitutions a et — oo ainsi que a et -|- 00 , donnent des résultats de même signe ; il n'y a plus de racine réelle dans les intervalles. Cette circonstance provient uniquement du signe du minimum et non de sa grandeur. Cependant lesracines ne cessent pas d'exister, elles deviennent nécessairement imaginaires. En effet, si elles disparaissaient, il faudrait admettre que par la variation des coefficients deux racines réelles d'une équation du second degré ne peuvent devenir imaginaires on, si l'on veut, qu'il est impossible de former une équation du second degré à racines imaginaires; ce qui est absurde. Donc, toute équation du second degré à coefficients réels possède toujours deux racines.

Soit, maintenant, l'équation générale de degré pair à coefficients réels

F(x) = Ao ^^"*+ A, ^^'"-' + + Ao,,, = o

où Ao est supposé positif. Le premier membre est susceptible d'un minimum puisque sa dérivée étant de degré impair s'annule toujours pour une valeur réelle de a?. Admettons d'abord que a; = a soit la seule valeur qui annule la dérivée: nous savons qu'alors elle correspond à un minimum de F(iP). On raisonne ici comme dans le cas de l'équation du second degré. Suivant les valeurs attribuées aux coefficients Ao, Ai, ..., ce minimum pourra être négatif, positif ou nul. Dans le premier cas, les intervalles (a, — ce ),

^^^ J 00 ) renfermeront chacun une racine réelle et une seule; car la fonction passe une seule fois par zéro avant d'arriver au minimum et une seule fois après. Si les coefficients varient de manière que p. tende vers zéro en restant négatif, les racines ne cessent pas d'exister; pour fj. = o, elles deviennent égales à a et quand ^x prend le signe positif, il n'y a plus de racines réelles mais deux racines imaginaires; car, si elles disparaissaient, on devrait admettre que deux racines réelles ne peuvent jamais devenir imaginaires par la variation des coefficients; ce qui est absurde, attendu qu'une équation de cette espèce peut ne posséder que des racines imaginaires.

Supposons, en second lieu, que la dérivée F' (a?) s'annule pour plusieurs valeurs de la variable. Dans ce cas, on prend pour a la plus petite de ces valeurs qui correspond nécessairement à un minimum ; car, iV variant de — 00 à a, la fonction décroît régulièrement jusqu'au point x= ccoh la dérivée s'annule pour changer de signe; par suite, immédiatement après, la fonction devient croissante.

Si le minimum correspondant est négatif, le premier membre passera une seule fois par zéro entre — oo et a et au moins une fois encore entre a et -f- 00 . Quand, par la variation des coefficients, le minimum p. se réduit à une quantité négative très petite, F(ic) passe par zéro un peu avant ce = a et une seconde fois après ; on peut toujours supposer fx assez petit pour qu'il en soit ainsi; ce qui signifie que l'équation possède alors deux racines réelles voisines de a; quand (x s'annule, ces racines se réunissent sur a pour devenir égales; enfin, si /lx prend une valeur positive, les deux racines deviennent nécessairement imaginaires pour le motif indiqué précédemment. Ainsi, toute équation de degré pair à coefficients réels possède toujours deux racines.

Il nous reste à considérer l'équation générale algébrique

V{z) = AoZ^-{~Ai z^-' + .. . -f- A„, = o à coefficients imaginaires. Posons

z = x-\-y\/— I, X G.i y étant deux indéterminées quelconques. En substituant, il vient

Ao {x-\-y\/— 1)"» + A, (x-\-y\/^ i)'""' -1 1» A,n = o

Après avoir effectué les développements, il y aura un ensemble de

termes réels et un ensemble de termes renfermant \/ — i en facteur. L'équation prendra donc la forme

Pour y satisfaire, on doit avoir simultanément

((3) P(a;,yy) = o, 0(^,.y)=o.

D'après leur origine, P et Q sont des fonctions réelles de x et de y. Toute solution commune du système ((5) fournira une racine de l'équation proposée. J'affirme qu'une telle solution existe toujours. En effet, éliminons par un procédé quelconque l'indéterminée ?/; on arrivera à une équation à coefficients réels en x. Celle-ci, nous l'avons démontré, admet toujours une racine réelle ou imaginaire x^\ cette valeur annulant le résultant du système ((3), les équations

ont nécessairement une racine commune que l'on peut déterminer en cherchant le plus grand commun diviseur entre les premiers membres. •

Soit ^0 cette racine commune réelle ou imaginaire; les quantités iCo» ])q annulant les fonctions P et Q, la valeur z = X(i-\- v/o \/ — i est une racine de l'équation ^{z) = o. Donc, finalement, toute équation algébrique a une racine.

41. Une équation algébrique du degré m admet ni racines. Nous savons que, si un nombre quelconque a est racine de l'équation

(i) F (^) = Ao^r- + A,2r— ' -f . • . A^ = o,

le premier membre est divisible par z — â^, et on a la relation

(2) ¥(z) = (z-a)qr.-u

Q,n i étant le quotient de cette division. On voit ainsi que J^[z) s'annule en

même temps que Qm i et les racines de Q„,, = o appartiennent à l'équation

proposée. Soit h la racine qu'admet cette nouvelle équation; on aura aussi

Qn.2 étant un polynôme du degré m — 2. En substituant dans (2), il vient

Posons encore Qm 2 = o et soit c la racine qu'admet toujours cette équation ; on aura encore

Qm 2 = (^ — c)Q,„5;

par suite, en substituant dans la relation précédente on trouve

En continuant ainsi, on arrivera après vi — 2 divisions à mettre F(;^) sous la forme

F(z) = {z — a){z~ h) ... (^ - g) {h,z^ J^Vz-\-q).

Le dernier quotient n'est plus que du second degré et son premier terme a pour coefficient Ao qui reste dans tous les quotients successifs. Désignons par k et / les racines de Aqz'^ -\- Vz -[- O = o; on peut écrire

Ao^^ + P- + <.> -= Ao (:r — h) (z — /).

Si on remplace le polynôme du second degré par cette valeur, le premier membre de l'équation proposée est ramené à la forme

l\z) = Ao(:r - a) {z - b) (z -- c) -"{z — l),

c'est-à-dire que ^(z) est égal à un produit de m facteurs linéaires. Un tel produit s'annule seulement pour z = a, z = b, ..., ;2r = / et pas autrement. Donc une équation du degré m possède m racines et pas davantage.

Pour une équation à coefficients réels, cette conclusion découle de ce que nous avons dit au numéro précédent. Soient «0, fti» »2 ... un système de valeurs des coefficients pour lesquels l'équation correspondante admet m racines choisies à volonté. En faisant varier Ao, Ai, A2, ..., à partir des quantités «o, «1, «2, ..., les racines vont changer de valeur mais elles ne cessent pas d'exister. Deux racines réelles peuvent devenir égales, puis imaginaires ou, inversement, deux racines imaginaires cesser de l'être en devenant égales pour se changer ensuite en deux racines réelles. Dès que l'on a constaté que, dans un cas, une équation du degré m possède m racines, il est permis d'affirmer qu'il en sera ainsi pour toute équation du même degré.

PRINCIPES d'identité, DES RACINES ÉGALES, DES RACINES IMAGINAIRES, DE LA^ TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS, DES VARIATIONS DU PREMIER MEMBRE.

4». Principe d'identité. Nous appellerons équation identique^ une équation qui est satisfaite quelle que soit la valeur attribuée à l'inconnue. Cela étant, on a la proposition suivante : Une équation algébrique du degré m est identique^ lorsqu'elle est satisfaite par m -{- i valeurs de Viiiconnue, et,

dans ce cas, les coefficients des diverses puissances sont 7iuls, s'il n\i/ a pas de second membre; si les deux membres sont des polijnômes entiers dit degré m, les coefficients des mêmes puissances sont égaux. Soit réquation

F(a;) = Ao^;'» + ka"^-' -\ j- A„» = o

que nous supposerons vérifiée par les m nombres a, b, c, ... /. Le premier membre peut se ramener à la forme

F(x) = Ao(a? — a) (x — h) ... (a; — /).

Désignons par p une valeur de x différente des autres et annulant F(a:); en posant a? = p, le premier membre de cette égalité est nul, tandis que le second ne peut l'être qu'avec Ao = o, et, dans celte hypothèse, le second membre est nul quel que soit x» Puisque Ao = o, l'équation proposée devient

Aix"»-* + A2X"'-2 -\ ]- Am = o.

Pour le même motif^ celle-ci étant vérifiée par plus de m — i valeurs de 57, on doit avoir Ai =o; ainsi de suite. Tous les coefficients sont nuls et l'équation est satisfaite quel que soit x.

En second lieu, l'équation

ka'^-^kxX'^-' -\ 1- Am= Box'^-f B.a;"*-' + 1-B,„

se ramène à la précédente par la transposition des termes; ce qui donne

(Ao - Bo)i2î"» + (A, — Bi)a;'»-' -I 1- A,„ — B,n =- o.

Si elle est vérifiée par m -\- i valeurs de x, tous les coefficients doivent être nuls. 11 vient donc les égalités

Ao = Bo, Ai=B,, ..., Am == B,rt, c'est-à-dire que les polynômes des deux membres sont composés des mêmes termes.

C'est, sur ce principe, qu'est basée la méthode des coefficients indéterminés si utile en Algèbre. Elle consiste à calculer, par certaines conditions, des coefficients inconnus qui entrent dans une expression algébrique. Pour en donner un exemple, cherchons le quotient du polynôme donné

x^ + kxx^ -\- k^x^ + k,x^ + A*^;^ + k^x + Ac par x"^ -\- px -\- q. On désignera le quotient inconnu qui doit être du

4** degré par

a?* + B.ii;^ + Boa;» + BjO? + B« .

En le multipliant par le diviseur, on trouve

+ ((/B, + ;)B5 + BO ^2 + (^B5 + jt^BO x + qn,.

Cette expression doit être identique au polynôme proposé, et, d'après le principe, il y aura égalité entre les coefficients des mômes puissances. En égalant les coefficients de a?% œ^ co^, x"^, on a

jo + B, == A,, (/ + ^B, +B2 = A2, qB, +;jBo-f B8 = A3

7B2+jyB3+B4 = A4.

La première donne Bi; Bi étant connu, la seconde donne B2; les deux dernières donneront ensuite B5, B4.

La méthode des coefficients indéterminés peut également être employée pour extraire la racine n''""' d'un polynôme, développer une fonction en série etc.; ses applications sont extrêmement nombreuses et variées.

43. Principe des racines égales. En désignant par a, h, c, ... / les racines de l'équation du degré m

on a :

(a) 'B(x) = Ao(i2? — a)(x~b)(x — c) ...(x— l),

et, pour la dérivée,

((3) r(.) = li^ + Ii±^... + m.

Si on pose a = b dans (a), 'F{x) renferme le facteur {x — a)S et on dit alors que a est une racine double; en général, si p racines sont égales à a, F(ir) renferme le facteur {x — ay, et on dit que a est une racine multiple du degré p de muUiplicité. Pour une telle racine, le second membre de (/3) contient p termes égaux au premier et l'on a :

Le quotient de V{x) par x — a du premier terme du second membre conservera le facteur (x — ^O**"', puisque {x — ay se trouve dans F(a?); les autres quotients par x — g, etc. conserveront {x — a)^; il en résulte que {x — a)p~' sera un facteur commun du second membre; par conséquent, a est une racine multiple de l'équation dérivée

du degré p — i de multiplicité, car V'{ûd) renferme le facteur (x — a)^~\ Pour le même motif, la dérivée de la dérivée ou la dérivée seconde contiendra le facteur (co — ci)^~^y la dérivée troisième le facteur (x — ^t)*'"', et ainsi de suite; la dérivée de l'ordre /) — i ne renfermera x — a qu'à la première puissance, et^ dans la dérivée suivante, ce facteur aura disparu; celle-ci ne s'annulera pas pour x = ft, mais bien toutes les dérivées précédentes. Donc, U7ie racine multiplG dic degré p de maUiplicilé annule V{.x) et ses y> — i premières dérivées.

11 résulte de ce que l'on vient d'exposer que, pour une racine a du degré p de multiplicité, il y a entre F(ip) et F'(x) le facteur commun [x — «)''"'. S'il existe une autre racine h du degré q de multiplicité, il y aura entre les mêmes fonctions le facteur commun (x — hY~^, etc. De là résulte ce principe fondamental :

Si une équation F(a7) = o admet des racines multiples, il existe entre le premier membre et sa dérivée un plus grand commun diviseur qui se compose du produit des facteurs correspondants à ces racines, cliacun d'eux élevé à une puissance inférieure d'une unité à leur degré de multiplicité.

D'après cette propriété, si l'on veut débarrasser une équation de ses racines multiples, il faut chercher le plus grand commun diviseur entre F(a?) et F'(iP), et diviser ensuite F(â?) par ce plus grand commun diviseur. Soit (î){x) le quotient ainsi obtenu; l'équation

renfermera les racines simples de l'équation primitive ainsi que les racines

multiples, mais chacune d'elles une fois seulement.

44. Principe des racines imaginaires. Les racines d'une équation à

coefficients réels

peuvent être rationnelles, irrationnelles ou imaginaires; mais, en vertu de

l'identité

V{x) = k^ix — a) (x — h) ... (x — /),

le produit des facteurs linéaires qui leur correspondent doit être réel. Supposons que a et b soient deux racines imaginaires, et posons :

a==a + (3p^^— I, b = a' + Çy\ '- I. Cherchons la condition pour que le produit

{x — a) {x — b) = (x — cy. — (3|/— i) (x — a' — ^'y — i)

soil réel, quel que soit X, En effectuant la multiplication, et en égalant à zéro le coefficient de \/ — i , on trouve

{x — a)(3' + (ic — a')l3 = o ou bien

Cette relation aura lieu pour une valeur quelconque de x avec les conditions

On en tire

P' = - (3, aJ = a.

Par conséquent, si a-j-|3|/ — i est une racine imaginaire, l'autre est de la forme a — Pi/— i ; le produit {x — a){x — h) est alors réel et il a pour valeur

De là cette règle : les racines imaginaires d'ione équation algébrique à coefficients réels sont conjuguées deux à deux. Ainsi, toute racine imaginaire a -\- 13|/ — I est nécessairement accompagnée de la racine conjuguée a — j3^ — I, et si a 4- jS^/ — i est une racine double, il en sera de même de a — j3|/ — i, etc. D'après cette propriété, le nombre des racines imaginaires est toujours pair et, pour ce motif, une équation de degré impair doit toujours admettre au moins une racine réelle; de plus, le nombre total de ses racines réelles sera impair. Puisque le produit des facteurs correspondant à deux racines imaginaires conjuguées est réel et du second degré, on en conclut encore qu'il est toujours possible de ramener F (a?) à un produit de facteurs réels du second degré.

45. Premiers principes de la transformation des équations. Il est nécessaire d'indiquer ici quelques opérations très souvent employées dans la résolution des équations.

1" Changer le signe des racines.

Reprenons la relation fondamentale dans le cas d'une équation à coefficients réels,

(a) V{x) = Ko{x — a)(x-- h) ...{x — /),

et remplaçons iP par — x\ on aura

F(--i2j)=^ Ao(— .'» — a)(— i?; — h) ...{— X - /).

Les racines de la transformée

s'obtiennent en égalant à zéro chaque facteur du second membre. On trouve ainsi

£pz= — ft, x = — 6, ..., x = — /.

Donc, pour changer le signe des racines d'une équation, il faut remplacer X par — X dans le premier membre.

Par cette substitution, les termes de degré impair seuls changent de signe.

Une équation qui ne renfermerait que des puissances paires de Pinconnue

resterait invariable; une telle équation admet à la fois pour racines -j- a,

— a\ -\-h^ — &, etc., c'est-à-dire que les racines sont égales et de signes

contraires.

2» Changer les racines en leurs inversés.

Remplaçons x par - dans (a) ; on aura

Si on égale les facteurs de droite à zéro, on trouve que les racines de

sont respectivement

Soit, pour réquation proposée

F(aj) = AoOJ"» + A,a;"*-' -| \- km-xX + A„, = o.

En changeant x en - et en multipliant ensuite par iC"*, il vient pour

réquation aux inverses des racines

Ami2?"* + Am ia?"*"' H [- AïOÎ-f Ao==0.

Elle se déduit de la première en échangeant les coerticients à égale distance des extrêmes.

Cette équation est très utile pour établir les conditions de racines infinies.

Si Ao = o, elle possède une racine nulle et la première une racine infinie. Quand on a :

Ao = o, Ai = o ... Ap( = o, Ap^o,

il y a /7 racines nulles pour la seconde et, par suite, p racines infinies pour la première.

3" Multiplie)' ou diviser les racines par une constante A.

Dans la relation (a), remplaçons x par r > il viendra

'(')-a-)(?-') -ii-y

par suite, les racines de la transformée

seront :

la, ïb, ... 11.

Par le changement de x en Ix, on trouve aussi que les racines de l'équation

sont :

ah l

Faisons les substitutions indiquées dans Téquation

F(a?) = AoaJ'^ + A,a?'"-* -| [- Am = o,

on aura d'abord

et, en chassant les dénominateurs,

Ao«J"» + A,Ai»"-» 4- AaA^a?"»-' -| f- AmA"» = o.

Donc, pour multiplier les racines par une constante A, il faut remplacer

l'inconnue x par - ; ce qui revient à multiplier chaque coefficient par une

puissance de À égale à son indice.

On a aussi

Y(lx) = AqA^^x'" -^ At/r-'x"^-^ -]- ... 4- Am = o.

Ainsi, pour diviser les racines par une constante )., il faut changer X en Aa?; ce qui revient à multiplier chaque terme de l'équation par une puissance de A égale à celle de x, •

Si Ton prend pour inconnue, le rapport -> Téquation du degré m peut se

mettre sous la forme homogène

Aoa;"* + Aifl?'"-'?/-]- ••. + Am-iirt/"»-' + Amy"* = o.

Alors la règle de multiplication et de division des racines revient à dire qu'il faut dans le premier cas remplacer y par ).y et, dans le second, x par Ax. Comme application de ces règles, considérons l'équation

F(â?) = aj' — 25;^ — a? + 2 = o qui est vérifiée par

iP= I, a;= - I, x = 2.

Cherchons une transformée ayant pour racines ces nombres multipliés par 2. Ce sera

ou bien

Les racines de cette équation seront :

comme il est facile de le vérifier.

On a aussi

'E{2X) = (2Xy — 2 (2Xy — (2a?) 4-2 = 0

c'est-à-dire

celle-ci aura les mêmes racines que l'équation proposée mais divisées par 2. Ce sont :

4* Augmenter ou diminuer les racines d'une quantité A. Remplaçons dans (a) x par x — A ; on aura

et l'on voit que les racines de la transformée

seront :

De même, par la substitution de a? + A à a;, l'équation

admettrait pour racines

11 est souvent nécessaire de calculer les transformées précédentes, et il faut indiquer un procédé facile et commode pour déterminer leurs coefficients. Par une formule connue, on a :

F'' il) F<«>('A)

L » ^ i«^«<. //If

D'un autre côté, on peut écrire

On sait que le reste de la division de F {ce) par x — A est F(X), c'est-à-dire, ce que devient le second membre pour a? == A. D'après ce développement, le quotient a pour expression

en y faisant ce = l, il reste F' (A) ; donc, si on divise de nouveau par a — )., le reste de la seconde division sera F' (A), et le quotient

Une troisième division par x — A admettra pour reste t et ainsi de

suite. Il résulte de là, que les coefficients de la transformée

seront les restes successifs de ces divisions.

Rappelons, maintenant, que pour diviser un polynôme F (x) par x — A, on a la règle suivante : le coefficient du premier terme du quotient est égal au

coefficient du premier terme de F (a;) ; celui d'un autre terme quelconque s'obtient en multipliant le coefficient du terme précédent par ), et en ajoutant ensuite le coefficient du terme correspondant <le F (a?) ; enfin, si S représente le dernier terme du quotient, et A„, le dernier terme de F(a? , le reste est

Soit l'équation précédente

ayant pour racines i, — i, 2. Proposons-nous de diminuer les racines d'une unité. Les calculs des coefficients de la transformée

se disposent comme suit :

La première ligne renferme les coefficients de F (a;); les nombres des autres lignes sont les coefficients des quotients successifs des divisions par x — i conformément à la règle indiquée ; enfin, les nombres entre parenthèses indiquent les restes; ce sont les coefficients de la transformée en commençant par le dernier qui doit être le coefficient de la plus haute puissance de x. Cette transformée sera donc

elle aura pour racines o, — 2, i.

Lorsqu'on veut une transformée où les racines sont augmentées de }., il faut diviser par x -\- )y et se rappeler que, dans le formation des quotients, on doit multiplier par — A au lieu de -[- A.

Avec la même équation, cherchons, par exemple, la transformée où les racines sont augmentées de deux unités. On dispose les calculs comme suit:

La transformée F (a; — 2) = o sera donc :

x^ — 8a;* 4- 19a; — 12 = o; elle admettra pour racines 3, 1,4.

Il arrive qu'il manque des termes dans l'équation donnée; il faut en tenir compte dans le calcul et leur donner pour coefficient zéro. Ainsi, pour l'équation

si l'on veut former la transformée où les racines sont diminuées d'une unité, on aura le tableau suivant:

Il conduit à l'équation

46. Principe sur les variations du premier membre d'une équation» Étant donné un polynôme tel que

portons notre attention sur les signes des différents termes. Il peut arriver que deux termes consécutifs aient le même signe ou des signes différents; dans le premier cas, on dit qu'ils présentent une permanence, et, dans le second, une variation. Dans un polynôme complet du degré w, il y a m -f- i termes, et en comparant un terme au suivant, on trouve que les permanences et les variations réunies sont en nombre m. Il n'en est pas ainsi pour un polynôme incomplet.

Si, dans un polynôme complet, on change a; en — a?, les permanences deviennent des variations et les variations des permanences; ce qui n'arrive pas généralement dans un polynôme incomplet. Remarquons encore qu'entre deux termes non consécutifs de même signe, il y a un nombre pair de variations, et, si ces termes sont de signes contraires, un nombre impair.

Cela étant, consi^.érons l'équation

F(a?) = Aaa?"» 4- A, a?*"-' + ••• + A«i = o

et multiplions le premier membre para; — a, a étant positif; on introduira ainsi une racine positive, et nous allons voir que le nombre des variations du premier membre sera aussi augmenté.

En parcourant l'équation à partir du premier terme qu'on suppose toujours positif, une variation se présentera en arrivant au premier terme négatif. Soit — kqX^ ce terme ; par hypothèse, le terme précédent Ag ia;'+* sera positif; ces deux termes donnent la différence

En multipliant le second terme par x et le premier par — r?, il y aura dans le produit [x — «) F {x) le terme suivant ;

et depuis le premier terme du produit jusqu'à celui-ci, il y aura au moins une variation comme il y en a une entre k^x"^ et — kqX^ dans F(ic) ; mais, par la réduction des termes semblables, il pourrait se faire qu'il y ait plus d'une variation dans cette première partie du produit.

En continuant à parcourir Téqualion après — AgiZJ^, on rencontrera encore une variation en arrivant à un terme positif; soit Arây ce terme; le précédent Ar iiP''+' sera négatif; en les réunissant, il vient:

— Ar.a?'-+* + krX^

et, dans le produit, il y aura le terme correspondant positif

,(A.,a + Ar)^'•+^

Depuis le premier terme du produit jusqu'à celui-ci, il y a au moins deux variations comme entre koX'^ et Kx"" dans F {x). Supposons que les deux derniers termes de F {x) présentent une variation comme suit :

km^iX — An,.

II y aura au produit les termes

{km-\a + km)X -\- kma.

D'après notre raisonnement, il y a au produit entre Aoa;'"+' et le premier de ces deux termes au moins autant de variations que dans F(a;); or, ces termes donnent lieu à une variation qui appartient uniquement au produit. S'il n'y a pas de changement de signe à la fin du polynôme F(a;), il en sera encore ainsi à cause du produit de — a par Am. On a donc ce principe: Si on multiplie le premier membre d'une équation ou, bien un polynôme du

degré m par un facteur x — a, a étant positif, il y a au moins une variation de plus dans le produit que dans le polynôme primitif.

S'il y a plus d'une variation introduite, on peut démontrer que leur nombre est toujours impair. Lorsque dans F(a?) le premier et le dernier terme sont positifs, il y a un nombre pair de variations; mais alors le dernier terme du produit est négatif, et celui-ci en renferme un nombre impair; au contraire, il y a un nombre impair de variations dans F(ic), si le premier et le dernier terme sont de signe différent et un nombre pair dans le produit. Or, pour passer de pair à impair ou d'impair à pair, il faut toujours ajouter un nombre impair.

La propriété que nous venons de démontrer fait prévoir une relation entre le nombre de racines positives et celui des variations du premier membre d'une équation. Nous indiquerons plus loin cette relation importante.