DES RACINES

49. Les racines réelles et imaginaires de l'équation du degré m

F(a;) = aj"» + A4i2;"»-*H |-A,n = o,

où le coefficient du premier terme est l'unité, étant désignées par et, 6, c,..., /,

on a:

F (X) = {x — a)(x — b){sc ^ c) .,. {X — J),

ou bien, en développant,

-|- ac 4-&C

a?*""' — abc

— abd

— bcd

9^n compare cette expression terme à terme avec F (^), il vient les relations

C^|?>| ... -)-/== — Ai

a6-|- ac-j- ••• == ^»

(a) ' abc + abd -J- .. • = — A»

abc ... M= ± Am«

Ainsi, quand le coefficient du premier terme d'une équation algébrique est riinilé: l'' La somme des racines est égale au coefficient du second terme en signe contraire; 2° La somme des produits deux à deux est égale au coefficient du troisième terme, et ainsi de suite; 3" Le produit des racines est égal à plus ou moins le coefficient du dernier terme. Lorsque le coefficient Ao du premier terme n'est pas l'unité, on doit diviser les seconds membres des égalités (a) par Ao.

418. Les premiers membres des relations précédentes jouissent de cette propriété de rester invariables par l'échange de deux racines quelconques. Lorsqu'une expression renfermant les racines r^ h, c, ...^ l présente ce caractère, on dit que c'est une fonction symétrique des racines.

On appelle fonction symétrique simple celle où chaque terme renferme une seule lettre élevée à une certaine puissance; nous la désignerons par S^; par définition, on aura:

Sp = ap + 6PH +-/P.

Si on groupe les lettres deux à deux de toutes les manières possibles en donnant à la première lettre l'exposant p, à la seconde l'exposant q, la somme des termes ainsi obtenus est la fonction symétrique double; en la représentant par S {a^b^), on écrit:

S (aP&«) = aPb'i + aPCi + bf>ci H

En groupant les lettres trois à trois et en leur donnant respectivement les exposants jo, g, r, on obtient la fonction symétrique triple

S(ftP6?c'') = aPb'^c'- + aH)''d'- + ••• ;

ainsi de suite. Toutes ces expressions sont homogènes et entières par rapport aux racines; elles jouissent de la propriété de pouvoir s'exprimer rationnellement au moyen des coefficients A|, As, ..., A,n de l'équation. Pour le démontrer, formons, par la règle connue, la dérivée de F(ir); on obtient:

¥\x)=:=mx'^~^-{-{m—i)AiX'^-'-\-{m — 2)AiX"'-^-] 1-2A„,2.t+A,„,.

D'un autre côté, on sait que la dérivée est aussi la somme des quotients de F {x) par X — a, x — b, etc. Or le quotient de la division par x — a est l'expression

H suffît de remplacer » par &, c, .. ., pour avoir les autres quotients; leur somme aura pour valeur

ma?"*"' -j-Si

-\- AiSm 2

Oi""* -\- S2

+ A,S, -f- WA2

-j- mAm i

La comparaison des deux expressions de la dirivée conduit aux égalités suivantes :

Si -^mfii ^(m — i)A,

Sa-j- AiSi +;wA» = (w — 2)A.2

Sm-I + A|Sm 2 -\- A2Sm 3 + *•• + Am 2S, -\- mk^-t = Am l .

En allant de proche en proche pour les résoudre par rapport à Si, S2, etc., on trouve:

54 = a; - 4A^A, + 4A,A3 + 2kl — 4A,

S, = - a; + 5AÎA, - 5A5A3 - 5A|A, + 5A,A, + 5AA - 5^ Se = AJ - 6A; A, + 6A^A3 + gAjAf - ÔAjA, - 12A. A,A, - 2X1 + 6A, A, + 6A3A, + 3Af - 6Ae

On peut également les résoudre par rapport aux coefficients; il vient ainsi: 1.2A, = SJ — Sj

i.2.3A3 = -S; + 3S,S, -2S3 1.2.3.4A, = s; ~ 68^8, + 88,83 + 3SÎ - 68,

1.2.3.4.5A5 = - S? + io8;s, — 208^83 — 158,8* + 308,8, + 208,83 — 24S,

Les égalités ci-dessus permettent de calculer les sommes 8 jusqu'à 8m i. Afin de s'élever aux sommes 8m, 8m+i ..., multiplions l'équation F(a?) ^o par a?"; il viendra

.^m+n [ A,a?'"+"-* -f- A,â;'»+--' -\ j- AmiC" «= o.

En remplaçant X successivement par a, 6, c, ... /, et en faisant la somme des résultats, on trouve

Stn+n -|- A|Sm+n-l -t~ A»Sm4.n--î "f" ' * • -|- Am«Sn+i -|- AmSn = O.

Si l'on pose tour à tour n = o, i, 2, 3, 4 ..., il viendra des équations permettant de calculer Sm, Sm+i ... De même, par les valeurs n = — i, — 2, — 3, etc., on pourrait aussi calculer les sommes des puissances négatives des racines.

Il faut remarquer que dans les expressions de S|, Sa, S3, S4, etc., la somme des indices dans chaque terme est constante; cette somme s'appelle poids de la fonction symétrique. Ainsi Sm est de poids w, et, en même temps, du degré m par rapport aux coefficients.

Considérons maintenant les fonctions symétriques d'ordre plus élevé. Soit d'abord à calculer S(ftî'69). On a:

Sp = aP + ^^ + c^ + • • + ^^, Sg = aï -|- &î + c^ H \-li.

Le produit des seconds membres donnera des termes de la forme «'+9, 6""^', etc. dont l'ensemble est Sp^.^; ensuite, des termes tels que 0^6'', o^c^, etc. dont la somme est S («?&«). Par conséquent, l'on a :

S^.Sg = Sp+5 + S(aP&5); par suite,

S(aP55) = SpSg — Sp+g.

Effectuons encore le produit des équations

S(aP65) — aP5? ( aPC^ -\- b^C^ -\

Sr = a' -\- h^ -\- c"- -\

Au second membre, il viendra trois espèces de termes savoir:

ap+'"6î, ap&9+r^ a^jjqcr dont les sommes respectives sont :

S(aP+'-59), SiaPb'i+'), Sia^b^^c').

Le produit donnera donc l'égalité

S(aP69)Sr == S{aP-^'b'J) + S{af>b'i+'-) + SCaP^C"), ou bien, en substituant aux fonctions doubles leurs valeurs

(SpSq Sp^g)Sr = Sp^rSg — Sp^g^r -\- SpSg^r Sp^g^r -7- S((lPO'C'");

d*où on tire

En continuant ainsi, on voit qu'il est possible d'exprimer les fonctions symétriques d'ordre plus élevé au moyen des fonctions symétriques simples, et de même que celles-ci, elles seront des fonctions rationnelles des coefficients Al, A2, ... Am de l'équation.

Lorsque dans la fonction symétrique double S(aP&9) on a jo = ^, les deux termes a^bt, a'^h^ deviennent identiques, et ainsi des autres termes groupés deux à deux; il faudra, dans ce cas, diviser le second membre de la formule précédente par 2, et écrire

Pour la fonction symétrique triple, tous les termes provenant de a^h^c^ par la permutation des lettres a, &, c deviennent égaux en posant p=q=r. On devra diviser par i. 2. 3 au second membre pour avoir S (a^b^c^). En général, si la fonction symétrique est d'ordre a, il faut diviser le second membre de la formule par i. 2. 3 ... a lorsque les exposants sont égaux.

Nous n'avons considéré jusqu'ici que des fonctions symétriques homogènes; s'il n'en est pas ainsi, en réunissant les termes d'une même espèce, elle sera composée d'une suite de fonctions homogènes. Par exemple, pour les racines a. by e d'une équation du troisième degré, l'expression

a -\- b -\- G -]- a^ -\- b^ -{- c^ — 2abc

est une fonction symétrique non homogène, mais composée de fonctions homogènes qui rentrent dans les précédentes.

Si la fonction symétrique est fractionnaire, après avoir réduit les diverses fractions au même dénominateur, il ne restera plus aux deux termes de la fraction que des fonctions symétriques entières.

Il y a encore les fonctions symétriques des différences des racines qui sont les plus importantes au point de vue de l'étude des fonctions algébriques. Ainsi, pour l'équation du 4« degré dont les racines sont a, b, c, d les expressions

S{a — by (c — d)\ S(a — by {c — d)* {a — c) (6 — d), (a — by {a — cy (a—dy(b — cy (6 — dy (c — dy

sont des fonctions symétriques ; elles restent invariables par l'échange des lettres. Après avoir développé les sommes et effectué les produits dans les diffé-

rents termes qui les composent, on arrive encore à des fonctions symétriques entières.

Nous pouvons maintenant regarder comme démontrée cette belle proposition générale : Toute fonction symétrique rationnelle des racines d'une équation algébrique est équivalente à une expression rationnelle des coefficients de cette équation.

4». Nous terminerons ce sujet en signalant une conséquence importante de la théorie des fonctions symétriques. Considérons une fonction rationnelle d'une racine unique a de F(a;) = o, par exemple,

En multipliant les deux termes par

■!t(b)^(o)...m), elle devient

Mb)'i/{c)...'i/{i)

Le dénominateur ne change pas, si l'on permute deux racines quelconques ; c'est une fonction symétrique que l'on peut remplacer par une expression rationnelle des coefficients de F(a?) = o. Le numérateur est aussi une fonction symétrique des racines de l'équation

c'est-à-dire, l'équation primitive débarassée de la racine a. Or, en effectuant la division par x — a, les coefficients de cette équation seront des expressions rationnelles par rapport à a. Il suit de là que la fonction donnée est susceptible de se ramener aune fonction entière de a; désignons-la par 6 (a). Si le degré de 9 est supérieur à m, on peut diviser 0(a) par F(ft), et en appelant R le reste,

on aurait

puisque F(a) ==o; mais R est au plus du degré m ~ i relativement à a\ donc, une fonction rationnelle quelconque d'une racine de l'équation Y[x) = o^ peut toujours s'exprimer par une fonction entière de celte racine dont le degré est au plus m — i ,