CHAPITRE IL PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS. THÉORÈMES CLASSIQUES

50. Nous nous occuperons d'abord du problème de la résolution des équations numériques, c'est-à-dire, des équations où les coefficients sont des nombres donnés que nous supposerons réels; dans cette hypothèse, nous exposerons les méthodes qui permettent de déterminer les racines, soit exactement, soit d'une manière aussi approchée que possible. Ces méthodes reposent sur différentes vérités algébriques importantes qu'il est nécessaire de démontrer préalablement. La grande question qui domine cette partie de l'algèbre est la détermination du nombre exact de racines comprises entre deux nombres donnés. C'est en parcourant les différents théorèmes qui suivent que l'on peut se faire une idée des efforts des géomètres pour résoudre ce problème. Nous commencerons par exposer une règle qui précède toutes les autres et que l'on appelle théorème de Descartes,

Théorème de Descartes.

5i. Le théorème de Descartes établit une relation intéressante et utile entre le nombre des variations du premier membre d'une équation et celui de ses racines réelles.

Lorsqu'une équation a toutes ses racines positives, il est visible qu'en effectuant le produit

F(x) = (a? — a) (a? — &)... (a? — ^)Ao

— lit —

n'y aurait dans F(x) m variations, c'est-à-dire, autant que de racines positives. Considérons le cas d'une équation quelconque du degré m

dont on ignore la nature des racines. Supposons qu'elle admette pour racines positives les nombres a, b, ... g. On peut écrire

(p(x) étant un polynôme qui représente le produit des facteurs linéaires correspondant aux autres racines. Nous avons vu précédemment que la multiplication d'une fonction entière (p{£û) par un facteur tel que (x — a), {x — b) etc. donne un produit renfermant au moins une variation en plus ; par conséquent, dans le produit total, ou bien dans F (a?), il y aura au moins autant de variations qu'il y a de facteurs {x — a), {x — b) etc., c'est-à-dire, que de racines positives.

D'un autre côté, lorsque le premier et le dernier terme d'une équation sont positifs, il y a, à la fois, un nombre pair de variations dans F (a) et un nombre pair de racines positives; au contraire, si le premier et le dernier terme sont de signe différent, il y a, en même temps, un nombre impair de variations dans F(iZ?) et un nombre impair de racines positives; dans ces deux cas, s'il existe une différence entre le nombre de variations de F (a?) et celui des racinies positives, cette différence est toujours un nombre pair. De là résulte cette proposition due à Descartes :

Le nombre des racines positives d'une équation ne peut pas surpasser le nombre des variations du premier membre; si ces nombres ne sont pas égaux, leur différence est un nombre pair .

En appelant v le nombre des variations de F (a?), et r le nombre des racines positives, on a donc la relation

(i) u = r + 2kf

k étant zéro ou un nombre entier positif.

Si nous remplaçons maintenant x par — x dans l'équation proposée, les racines négatives deviennent les racines positives de la transformée

et, en appliquant à celle-ci la règle précédente, on obtient cette proposition complémentaire :

Le nombre des racines négatives d'une équation ne peut pas surpasser

le nombre des variations de la transformée en — x; si ces nombres ne sont pas égaux, leur différence est un nombre pair.

Soit v' le nombre des variations de F( — x), et r' le nombre des racines négatives de F(rc) = o; on aura encore la relation

k' représentant un nombre entier positif pouvant être zéro. Si on combine (i) et (2) par addition, on trouve

d étant toujours un nombre entier qui peut être nul. On voit donc que le nombre total des racines réelles d'une équation est au plus égal hiV-\-v'j et la différence entre v -\- v' &i r -\- r' est zéro ou un nombre pair.

Lorsque l'équation Y {x) est complète, par le changement de a? en — x^ les permanences de Y{x) deviennent les variations de F( — x) et le théorème de Descartes peut alors s'exprimer ainsi :

Dans une équation complète, le nombre des variations est égal au nombre des racines positives ou le surpasse d'un nombre pair; le nombre des permanences est égal au nombre des racines négatives ou le surpasse d'un nombre pair .

5!3. Il est utile de remarquer que les nombres v, y', v -\- v' sont compris entre o et m ; dans certains cas, ils peuvent prendre leur valeur maximum qui est w, ou leur valeur minimum qui est zéro. Dans une équation où tous les termes sont positifs, on a t» = o, et la relation (i) donne nécessairement r = o\ une telle équation n'a pas de racine positive, ce qui est évident. Quand toutes les racines sont positives, r = m, et l'on a : t? = m -[- 2k\ mais comme v ne peut pas dépasser m, il faut que le nombre k soit nul; par suite V = 7n. Une équation qui a toutes ses racines positives doit être complète et ne présenter que des variations.

Si V = I. en vertu de la relation (i), on doit avoir r = i; de même si t;' = I, on a aussi r' = 1. Donc, une équation qui n'offre qu'une seule variation admet nécessairement une racine positive; de même, si la transformée en — X ne présente qu'une variation, il y a nécessaire7nent une racine négative,

La règle de Descartes fournit une limite supérieure pour le nombre des i racines réelles et, par suite, elle donne en même temps une limite inférieure

pour le nombre des racines imaginaires; car m étant le degré de l'équation et 2i le nombre des racines imaginaires, on a :

m — {v -\- v') -|- 2rf = 2i.

Cette relation prouve d'abord que la différence m — {v -^v') est toujours un nombre pair; ensuite, que m — {v-\-v') est une limite inférieure au nombre des racines imaginaires, de telle sorte que, si

l'équation admettra au moins 25 racines imaginaires. Par exemple, l'équation

aura au moins deux racines imaginaires; on a v = 2, et dans la transformée

— X^ -{- X -{- l = o, 1)' = i; par suite,

53. L'équation précédente offre, comme on dit, une lacune, c'est-à-dire, qu'elle manque de plusieurs termes consécutifs. Il existe, à ce sujet, une règle générale que nous allons faire connaître. Considérons l'équation

Ax"^ -f Bx'''-^^-* + CiC"'-*''-" -] = 0,

dans laquelle il manque 2k termes après le premier. Rétablissons les termes en leur donnant pour coefficients les nombres çi, ^2 ..• positifs ou négatifs; l'expression

est un polynôme complet de 2k -\~ 2 termes et il donnera, pour -j- a? et — a?, 2k -\- I variations. Or les nombres m et m — 2k — i étant de parité différente, si les termes Aa?*" et Bx'"~^''~^ présentent le même signe dans F (a?), ils auront des signes contraires dans F( — a?), et réciproquement; ils ne donnent lieu qu'à une seule variation. L'absence des termes diminue donc le nombre V -]r v' de 2k -\- I — 1 = 2k variations, et l'équation proposée aura au moins 2k racines imaginaires. De là celte règle :

S'il manque 2k termes entre deux termes consécutifs d'une équation, celleci admet au moins 2k racines imaginaires.

Soit, en second lieu, l'équation

Ai»'" + Ba;'"-^'^-^ 4- C'»-"'-^ "1 — =0

qui offre une lacune de 2k -f- i termes entre le premier et le second. En rétablissant les termes comme tout-à-l'heure, il viendra l'expression

qui présentera 2k -\- 2 variations pour -\- x ei — x. Ici, les nombres m et ^ — 2k — 2 sont de même parité et lorsque les termes Ax'^ et Ba?'*"'''-* ont le même signe dans F(a?), ils auront encore le même signe dans F( — x); si les signes de ces termes sont différents, ils donneront lieu à une variation dans F{x) ainsi que dans F(— x); dans le premier cas, il y aura une perte de 2k -\- 2 variations par l'absence des termes et, dans le second, une perte de 2k. Par conséquent,

Si, dans une équatmi, il manque 2k -f- i termes entre deux termes de même signe, il y a au moins 2 A* -|- 2 racines imaginaires ; si ces termes sont de signe différent, il y en a au moins 2k.

54. Le théorème de Descartes devient plus précis lorsqu'il s'agit d'équations qui ont toutes leurs racines réelles. Dans ce cas, le nombre des racines positives est égal à celui des variations du premier membre, et le nombre des racines négatives à celui des variations de la transformée en — x. En effet, en remarquant que r -J- r' = m, les relations (i) et (2) donnent