V -\- v' = m '\- 2k -\- 2k' ; d'où

Mais, la différence du premier membre est positive ou nulle; donc, A; = o, k' = o, et les mêmes relations (i) et (2) se réduisent à

Lorsqu'une équation qui a toutes ses racines réelles est complète, il suffit de compter les variations et les permanences du premier membre pour avoir le nombre exact des racines positives et négatives.

55. Le théorème de Descartes est extrêmement précieux; son application n'exige aucun calcul et il donne souvent sans la moindre peine des indications très utiles sur la nature des racines d'une équation. Soient, par exemple,

(f) a?"» 4- jpa?" + q = o . (m, n impairs)

ft)Onai : V = i^ v' = i. Cette équation admet une seule racine positive et une seule racine négative; toutes les autres sont imaginaires.

b) V = ^y v' = o : il y a une racine réelle positive et deux racines imaginaires, ou bien trois racines positives. ?;

c) t' = I, v' = 3 : l'équation admet une seule racine positive; comme elle présente une lacune de quatre termes, il y aura au moins quatre racines imaginaires; elle peut encore avoir soit une, soit trois racines négatives.

d) V = ij v' = î : il y une racine positive et une racine négative; ces racines sont évidemment -]- i et — i ; toutes les autres sont imaginaires.

e) V = o, v' = o : l'équation ne possède aucune racine réelle.

f)Si p = -\- et q ^= ±1 , on di : v -\- v' = j; sip = — et t/ = db , il vient : t) -j- i/ = 3 ; l'équation peut donc avoir soit une, soit trois racines réelles.

Théorème de Budan-Fourter. Théorème des restes et règle de Jacobi.

55. Le théorème de Descartes porte sur les changements de signe des termes d'une équation : celui de Fourier est relatif aux variations que présentent les résultats de la substitution de certaines valeurs de x dans le premier membre et ses dérivées successives. Étant donnée l'équation du degré m

par la dérivation, nous pouvons former la suite

(ce) F(x), F'(^), F"(^), ..., F<-'(a;)

renfermant m -j- i fonctions ddj^t les degrés diminuent d'une unité en passant de l'une à l'autre. Le théorème de Fourier consiste dans la proposition suivante :

Le nombre des racines comprises entre deux quantités «o et a.i'^ «o, fie peut pas surpasser le nombre des variations perdues dans la suite (a) lorsqu'on passe de x = c/q à x= ot.x ; si ces 7iombres ne sont pas égaux, leur différence est un nombre pair.

En effet, supposons que x varie de «o à «i ; il peut arriver que x passe par une valeur a racine simple ou racine multiple. Examinons d'abord le cas où a est une racine simple. Nous avons vu qu'en choisissant h assez petit, F(a?) et F [x) sont de signe différent pour x = a — A et de même signe pour

x = a-^h; doac, une variation se perd en tête de la suite de Fourier après que X a dépassé a. Dans le cas où a est une racine multiple du degré p de multiplicité, toutes les dérivées s'annulent pour a? = a jusqu'à celle de l'ordre p exclusivement; par suite, dans la série partielle

(Je j5|i fonctions, il n'y aura que des variations poarx = a — /i. puisque deux fonctions consécutives sont de signe différent, et seulement des permanences pour X = (V -\- h. l\ Y 3i donc dans la suite totale une perte de p variations, quand x a dépassé la racine multiple. D'après ces remarques, le nombre de variations perdues dans la suite de Fourier entre a; = ao et a; = ai est égal au nombre de racines comprises dans l'intervalle; on regarde .une racine d'ordre p de multiplicité comme équivalente à p racines simples.

Il peut arriver aussi que, œ variant de «o à «i, une ou plusieurs fonctions intermédiaires s'annulent ; les variations perdues, de ce chef, sont toujours en nombre pair. En effet, soit la suite partielle

où k peut être égal à l'unité ; supposons que, pour x = b, toutes ces fonctions s'annulent excepté la première et la dernière. Pour une valeur suffisamment petite de /i, les fonctions F^''~^^ (x), F^'"^''^ (x) conserveront leur signe dans l'intervalle {b — h,b -\- h). Si elles ont le même signe^ il y aura dans la suite un nombre pair de variations pour x = b — h et aussi pour x = b -\-h ; si leur signe est différent, le nombre de variations sera impair pour x^b ~ h et a? = b -\-h. Or, la différence de deux nombres pairs ou celle de deux M nombres impairs est toujours un nombre pair. Par conséquent, si le nombre de racines comprises entre ao et «i, n'est pas égal au nombre de variations perdues dans la suite de Fourier, il en est inférieur d'un nombre pair. Soient Vo et Vi les nombres de variations de la suite pour ao et ai, on aura la relation

Va — Vi = r-f- 2k,

r étant le nombre de racines réelles comprises dans l'intervalle et k un entier positif. I

Le théorème de Fourier fournit une solution imparfaite du problème relatif tu nombre de racines comprises dans un intervalle donné. Cette imperfection disparaît dans deux cas qu'il importe de signaler. D'abord, pour V(, — Vi = i, on a, nécessairement r = i et A; = o ; donc, si une seule variation se perd, on peut affirmer qu'il y a une racinedans l'intervalle. En second lieu, suppo-

sons queF(ic) =o ait toutes ses racines réelles. Désignons par ro le nombre de racines plus petites que «o, par r le nombre de racines comprises entre ûCo et ai, par ri le nombre de racines plus grandes que «i. Comme on suppose toujours le premier terme d'une équation positif, on a

L'application du théorème aux différents intervalles donne aussi les relations

m — vo =yo + 2/10,

Vo — Vi = r -\- 2k, —^

Vi — o = n -\- 2kl.

En ajoutant membre à membre, il vient

m = ro -\- r -\~ Vi -\~ 2ko -{' 2k -{- 2ki ;

mais les racines étant toutes réelles, on a

ro-{-r-]-rt =m;

par suite, ko = k= ki = o ; donc, on arrive finalement à la relation

Vo — vt = r.

Ainsi le nombre de variations perdues est exactement le nombre de racines comprises entre «o et «i.

Le théorème de Descartes n'est qu'un cas particulier de celui de Fourier ; il correspond aux valeurs ao = o et ai = oc . Il faut remarquer qu'en posant X = o dans F(^) et ses dérivées successives, on trouve

Am, Am-l, I . 2 Am 2, .•■. I.2.3...WA0:

ce sont les coefficients de l'équation accompagnés de facteurs numériques ; Vo représente donc le nombre de variations du premier membre et comme V4-00 = o, on a

Vo = r-\-2k,

c'est-à-dire que le nombre de racines comprises entre o et oo ou le nombre de racines positives est égal ou inférieur d'un nombre pair au nombre des variations du premier membre.

Appliquons le théorème de Fourier à l'équation

La suite se composera des fonctions suivantes :

Avec les substitutions x == o et a? = 3, on trouve pour la succession des signes

+ — — -f-, pour a? = o, -j ]__] |, pour a; = 3.

Il y a une perte de deux variations ; l'équation peut avoir zéro ou deux racines entre o et 3.

Si on pose encore dans la suite x = — 2 et a? = o, il vient

— "l" — -|-' P<^"^ ^ == — 2, -|- — — |^ pour a? = o.

Une seule variation se perd en passant de — 2 à o ; il est certain que l'équation possède une racine négative entre o et — 2.

5G. Nous allons considérer maintenant le théorème de Fourier à un point de vue qu'on n*a pas encore signalé et qui est très avantageux dans les applications. On sait qu'étant donné un nombre quelconque a, on peut écrire

(No 45)

V{x)==?{a)-\'(x-a)V'(a)-\'(x~ay—^A L (^ >«).« JLJ^.

De plus, nous savons aussi qu'en effectuant les divisions successives de F(a7)para; — a, et en désignant les restes par R, R^ R", ... R*"**, on a

la formule précédente devient ainsi

On voit, d'après ces relations, que les signes de la suite des restes sont les mêmes que ceux de la suite des fonctions de Fourier pour x = a. On peut donc substituer Tune à l'autre et le théorème précédent s'énonce alors de la manière suivante : Etant donnés deux nombres «o e< a, > «o, on fait les

divisions successives de F(^) par les facteurs x — a^, ./• — a.\ pour arriver aux restes consécutifs

Ro, R'o, R^, ..., R<-'o; R,, R',, R",, ..., R<-),;

le nombre de variations perdues en passant de la première suite à la seconde est égal ou supérieur d'un nombre pair au nombre des racines comprises entre ao et cf.\.

Cette proposition pourrait s'appeler théorème des restes.

Comme exemple, soit l'équation

g^3 — 24a;2 | 1 5/p — o,ooi = o.

Effectuons les divisions par x, x — i, x — 2. Dans les divisions par X — o ou a?, les restes successifs sont les coefficients de l'équation

— o.ooi, 16, — 24, g;

ils présentent trois variations. Les deux autres divisions donnent lieu aux tableaux suivants :

La suite des restes du premier tableau ne présente plus que deux variations et, dans le second, tous les restes sont positifs. Il y a certainement une racine comprise entre o et i, et zéro ou deux racines comprises entre i et 2.

Le théorème de Fourier fournit une règle pour déterminer une limite supérieure des racines positives. Si on trouve un nombre l tel que, pour x = If F(a;) et toutes ses dérivées sont positives, il n'y a pas de racine plus grande que l ; car, pour la substitution x = /, la suite de Fourier ne présente que des permanences ; aucune variation ne se perdra entre / et -}- 00 . Cette règle devient plus facile et plus simple par le théorème des restes. On trouve une limite supérieure des racines positives d'une équation en cherchant un nombre l tel que les restes des divisions successives du premier rnetnbre par X — l soient tous positifs.

Dans le dernier tableau le nombre 2 satisfait à ces conditions; l'équation n'aura pas de racine positive plus grande que deux.

5V. Jacobi a aussi indiqué, sur le même sujet, une règle intéressante que nous allons faire connaître. Soit

F(ir) = o

une équation du degré m à coefTicients réels; désignons par y une nouvelle inconnue liée à la première par la relation

Il est visible que, x variant de a^ à a, , y reste positif et varie de o à -[- oo , et à toute valeur positive de y correspond une valeur de x comprise entre «0 et «1 . On tire de cette relation

En substituant dans F (a?) et en multipliant par (i -|-y)"* pour chasser les dénominateurs, on arrive à une transformée en y de la forme

Boy- 4- B,y— • H 1- B^ = o.

Les coefficients B sont des fonctions des coefficients de F(^) ainsi que des nombres ao et oL{. Autant il y aura de racines positives dans cette équation, autant il y aura de racines de F(ii?) = o comprises entre «o et aj.

Conformément à la règle de Descartes, il suffit de compter les variations

de la suite

Bq, B», B2, ..., Bm,

pour affirmer que : Le nombre de racines positives d'une équation F (a?) = o

comprises dans l'intervalle (ao, «i) est égal ou inférieur d'un nombre pair

au nombre de variations des coefficients de la transformée que Von obtient

X — «0 en posant : y = — •

CCi — X

Théorème de Rolle.

58. Deux racines consécutives d'une équation F(a?) = o comprennent toujours, soit une, soit un nombre impair de racines de l'équation dérivée

Désignons par

a, by Cy It

les racines de Téquation 'F(x) = o rangées par ordre de grandeur. On sait (N* 38) que F(a?) et "F' (ce) sont de même signe immédiatement après que x a traversé une valeur racine de l'équation, et de signe différent immédiatement avant. Donc, si h est une quantité suffisamment petite, les valeurs F (a -|- A), '£'{a-\- h) seront de même signe et F(^ — h), V'{b — h) de signes contraires; or, en suivant les variations de x^ de a -\- h a b — h,¥(x) conserve son signe puisqu'il n'y a aucune racine dans l'intervalle; c'est donc la dérivée qui change de signe et qui passe par CDnséquent par zéro entre a -{- h eib — h ou entre a et by h étant une quantité aussi petite que l'on veut. De plus, comme les valeurs du commencement et de la fin F' (a -[" h) ^^ F'(^ — h) sont de signe différent, la dérivée peut passer un nombre impair de fois par zéro entre a et b. Ce raisonnement s'applique à deux racines consécutives quelconques de V{x)y et il est démontré qu'il existe toujours entre elles, un nombre impair de racines de F'(.t) = o.

Le théorème ne dit rien de ^intervalle compris entre la plus grande racine ^et-j-oo. Remarquons que F (^ -(-/i) et F ( 00 ) sont de même signe; car il n'y a aucune racine entre l et ce , et, comme F(oo) = -|-, ce signe est positif; mais F' (l -\- h) est de même signe que ¥(l-\-h); donc F'(^ -\- h) et F'( 00 ) étant positifs, il peut y avoir zéro ou un nombre pair de racines de la dérivée entre / et oo . On démontre de la même manière qu'il en est encore ainsi pour l'intervalle compris entre la plus petite racine a et — oo.

D'après ce théorème, si ¥(x) = o possède k racines réelles, la dérivée en aura au moins A; — i, et si l'équation donnée a toutes ses racines réelles, il y aura m — i intervalles renfermant au moins une racine de la dérivée; donc celle-ci aura aussi toutes ses racines réelles: mais la réciproque n'est pas vraie.

Le théorème de Roile est encore applicable à une équation qui a des racines égales; lorsque, par exemple, F(a;) == o admet une racine b du degré p de multiplicité, cette même racine sera une racine multiple du degré p — i de la dérivée. On doit considérer la racine de l'ordre p comme donnant lieu à p — I intervalles identiques chacun d'eux renfermant une même racine de la dérivée.

Portons maintenant notre attention sur la réciproque du théorème de Rolle. Puisque deux racines consécutives de F (a?) = o, telles que b et c, peuvent comprendre plus d'une racine de F'(^)==o, il est clair que deux racines consécutives de celle-ci ne renfermeront pas nécessairement une racine de la première; s'il arrive que deux racines consécutives b' et c' de F'(a;)=o comprennent une racine de la proposée, cette racine sera unique ; car, s'il y

avait entre h' et c' deux racines h et c de 'F{x) = o, ces dernières ne renfermeraient aucune racine de la dérivée; ce qui est impossible. Désignons par a', b', c', ... k' les racines de l'équation dérivée rangées par ordre de grandeur, et considérons la suite

(r) — ce , a' , b\ c', ... A;', -j- oo ,

qu'on appelle nombres de Rolle. Ils jouissent de cette propriété spéciale que, pour eux, la règle de substitutioi\ conduit à des conclusions précises. Si deux de ces nombres consécutifs substitués dans F (a?) donnent des résultats de même signe, on est certain qu'ils ne renferment aucune racine et, si les résultats sont de signes contraires, on peut affirmer qu'il n'y a qu'une seule racine dans l'intervalle.

Lorsque la dérivée admet q racines réelles distinctes, la suite (r) ne donnera que q -\- i intervalles et l'équation proposée admettra au plus q-]- i racines réelles. L'équation F(a?) = o ne pourra avoir toutes ses racines réelles que si la dérivée admet m — i racines réelles distinctes; alors seulement la suite (r) offrira m intervalles, et si chacun renferme une racine, F(aj) = o aura m racines réelles. Dans le cas où la dérivée possède des racines égales le nombre des intervalles de la suite de Rolle sera diminué; mais nous croyons inutile d'insister sur ce point. Les substitutions précédentes ne peuvent se réaliser sans résoudre l'équation dérivée; or, celle ci est, en général, presque aussi difficile à résoudre que la proposée. Ce n'est que pour l'équation du troisième degré et quelques équations incomplètes que la suite de Rolle peut être utile.

Afin de montrer les différents avantages de la proposition de Rolle, reprenons d'abord la formule

Le théorème de Rolle permet d'en donner une simplification importante. En effet, on peut écrire, .^^

R représentant une fonction entière de x et de h. Cela étant, considérons l'expression

(/3) Fix + z) — F{x) — zF' {X) R

que nous regarderons comme une fonction de la variable 2. La dérivée de

Y(x-\-z) par rapport à z est le coefficient de h dans le développement de ¥{x + ^ -(- h), c'est-à-dire, ¥'(x -{- z). On a. donc, en prenant la dérivée de cette fonction relativement à z,

(y) F'{x + z)-F'(x)'-zK.

La fonction (|3) s'annule pour z ^= o, et aussi pour :2r = /?, d'après la formule (a); conformément à la proposition de Rolle, il y aura entre o et ^ un nombre h' qui annulera la dérivée (y), et celle-ci sera elle-même égale à zéro pour les valeurs z = o et z = h'.

La dérivée de (y) par rapport à z, c'est-à-dire,

d'après le même théorème, devra aussi être égale à zéro pour une valeur h" comprise entre o et Z^'. Il vient ainsi

mais, comme h" est une quantité comprise entre o et h, on pose généralement

h'' = Bh,

0 étant un nombre compris entre zéro et l'unité. On écrit donc

Il résulte de cette valeur que le développement proposé peut s'arrêter au troisième terme, et l'on a exactement

F{x + h) = F{x) + hF'ix) -] F"{x + Bh).

Appliquons maintenant le même théorème à l'équation trinôme F(a?) = X'" + px"" + ^ = o, (wt, n impairs).

Nous savons par la règle de Descaries que cette équation admet, soit une, soit trois racines réelles. En égalant à zéro la dérivée du premier membre, il vient

Lorsque p est positif, la dérivée n'a pas d'autre racine réelle que zéro : l'équation proposée ne peut avoir qu'une seule racine réelle. Si p est négatif, la dérivée s'annulant pour

np

il y a deui racines réelles puisque m — n est pair; les nombres de Rolle seront alors

En les substituant dans l'équation proposée, et en exprimant que les résultats doivent présenter la suite des signes

pour qu'elle admette trois racines réelles, on arrive aux inégalités

Si l'on met en facteur dans les preniiers membres la quantité

et si on simplifie, on trouve facilement

npy*-^ nq / wjoX"»-" nq

ml m — n \ m) m — n

Or, p est négatif, et si q est positif, la première inégalité est satisfaite d'elle-même; la seconde élevée à la puissance m — n peut s'écrire

(,) /^yj f^i y-"<o.

XM J \m — n/

Si q est négatif, c'est la seconde inégalité qui est satisfaite d'elle-même ; en transformant la première, on arrive à la même relation (s). Comme m est impair et m — n pair, elle ne peut être vérifiée que si p est négatif. Nous arrivons donc à cette conclusion : L'équation trinôme avec des exposants impairs admet une seule racine réelle si jt? > o. et trois racines réelles lorsque l'inégalité {s) est vérifiée.

Comme cas particulier, l'équation du troisième degré

x^ -\- px -\- q = o

aura ses trois racines réelles avec la condition

Dans certains cas exceptionnels, le théorème de Rolle peut être utile sans résoudre l'équation dérivée. Soit, en premier lieu, l'équation

X , x^ x^ . , a;'"* Fte)=i =o.

On en déduit pour l'équation dérivée