in

Soit a une racine de la dérivée ; si on pose x = a. dans cette relation, F' (a) étant nul, il reste

quantité positive. Tous les résultats de la substitution des racines de la dérivée dans F (a?) sont positifs et l'équation proposée aura toutes ses racines imaginaires.

Soit, en second lieu, l'équation

F(a;) = (a?* — i)*" = o, ou bien

F(ic) = {x — i)'" {x + lY = o.

Le premier membre renfermant les facteurs x — i ti x -\- i à la m^^* puissance, -j- i et — i sont des racines multiples du degré 711 de multiplicité. L'équation dérivée

est du degré 2m — i et renfermera les facteurs x -\- i et a? — i à la puissance 7?^ ~ i, d'après le principe des racines égales; les deux racines multiples -}- i ^t — i de l'ordre m — i sont équivalentes à -zm — 2 racines simples; il en reste une autre que nous désignerons par «i, et qui sera comprise entre -\- 1 et — i , les deux racines de l'équation précédente, conformément au théorème de Rolle.

L'équation

contiendra œ — i el^-[~^ ^'* puissance m — 2; les deux racines multiples -j- I et — I de l'ordre m — 2 représentent 2m — 4 racines simples; mais cette équation étant du degré 2m — 2, il y en a encore deux autres; soient |3| et |3s celles-ci ; elles devront se trouver dans les intervalles des racines

— I, «1, + I de l'équation ¥' (x) = o; elles seront réelles et plus petites que l'unité. En continuant ainsi, après m dérivations, on arrivera à l'équation

qui jouira de cette propriété d'avoir toutes ses racines simples, inégales et comprises entre -j- i et — i .

Théorème de Sturm.

59. Ce théorème donne une solution parfaite du problème de la détermination du nombre des racines réelles comprises dans un intervalle donné. A l'exemple de Fourier, Sturm étudia les variations de signe d'une suite de fonctions déduites du premier membre de l'équation ; le procédé de dérivation n'ayant réussi qu'incomplètement, Sturm imagina d'employer le procédé de la recherche du plus grand commun diviseur, comme nous allons l'indiquer. Soit

une équation du degré m qui n'a pas de racines égales; désignons par R' la dérivée de R ; divisons R par R' et soit R2 le reste chatigé de signe ; divisons ensuite R' par R2, et soit R5 le reste changé de signe; divisons encore R» par R5 et soit R4 le reste changé de signe. On continue de cette manière les divisions comme pour chercher le plus grand commun diviseur de R et de R' en ayant soin de changer chaque fois le signe du reste obtenu. On arrive ainsi aux fonctions suivantes

W R, R', R2, R5, ..., Rp

dont les degrés diminuent depuis m jusqu'à zéro en avançant dans la suite,

de telle sorte que Rp est une constante numérique, attendu qu'il n'y a pas de

plus grand commun diviseur enlre R et R'. En général, ces fonctions sont au nombre de ni-\-if et leurs degrés diminuent régulièrement d'une unité. Cela étant, le théorème de Sturm consiste dans l'afTirmation suivante :

Le nombre de racines réelles comprises entre deux nombres a et ^^ a est égal au nombre de variations perdues dans la suite (r) en passant de X = a à X == P». ^

Plaçons-nous dans l'hypothèse où x varie d'une manière continue depuis a jusqu'à |3. Lorsque x prendra une valeur telle que x = a^ racine de R = o, on sait, qu'immédiatement avant, R et R' sont de signes contraires et, immédiatement après, de même signe ; après que x a dépassé a, il se perd donc une variation en tête de la suite de Sturm; il en sera de même chaque fois que x passera par une valeur racine de l'équation; en somme, pour tout l'intervalle, il se perdra au commencement de la suite {r) autant de variations qu'il y a de racines entre a et j3.

11 reste à démontrer que, si x rencontre une valeur qui annule une fonction intermédiaire, le nombre des variations de la suite ne sera pas altéré. D'après leur origine, on a, entre les restes de Sturm, les relations

R=;Q,R' — R2, R' = Q2R2 — Ri etc. '

En général,

Rn 4 = QnRf» Rn-f-l'

Supposons que, pour la valeur x =k comprise entre a. et j3, l'on ait : Rn = o ; l'une des deux fonctions adjacentes ne pourra s'annuler en même temps; car, si Ton avait, par exemple, Rn-i = o et R» = o, on devrait en conclure que R„^,=o; mais, d'après l'équation suivante, si R„ = o, R„^i = o, il faudrait aussi que R„^2 = o; en continuant ainsi, il en résulterait que Rp = o, ce qui est impossible, puisque Rp est une constante numérique. En vertu de l'égalité précédente, au moment où R« devient nul, les fonctions R„i et R„^i sont de signe différent. En désignant par h une quantité suffisamment petite pour que les deux fonctions Rn i et Rn+i conservent leur signe respectif entre a — h et a -^^ h, là suite des restes

Rn-l, Rni Rn+1

présentera une variation pour x = a — h, et aussi pour x =^ a + /t ; car, quel que soit le signe que Ton place entre deux signes contraires, il n'en résulte qu'une seule variation; il est donc indifférent que R„ passe du négatif au positif ou du positif au négatif en s'évanouissant; aucune perte n'aura lieu

de ce chef dans le nombre des variations. Ce raisonnement pouvant se répéter à propos de toute autre fonction intermédiaire qui viendrait à s'annuler dans l'intervalle, on est en droit de conclure que le nombre de variations perdues de a; = a à ^ = j3 est égal au nombre de fois que x a rencontré de racines de l'équation. Appelons v^, v^ les nombres de variations que présente la suite (r) pour 0? = a et 0? = j3, et w le nombre de racines comprises dans l'intervalle ; on aura la relation

11 = Va — f p .

Il ne serait pas inutile de faire remarquer de quelle manière les variations viennent se perdre en tête de la suite de Sturm. Supposons, pour fixer les idées, qu'il y ait trois racines a, h, c entre a et j3. Avant que x n'arrive à la valeur «, il y a une variation entre R et R', et, un peu après, une permanence ; pendant que x augmente à partir de a pour aller vers b, les signes des différentes fonctions se déplacent de manière qu'avant la valeur a? = &, une nouvelle variation apparaît en tête de la série; quand x a dépassé &, la variation se perd et, par de nouveaux déplacements de signes dans les restes, elle revient lorsque x se rapproche de la valeur c pour disparaître encore, après que x a passé par c pour augmenter jusqu'à la valeur p.

GO. Considérons le cas où l'équation F(^) = o a des racines égales. On forme toujours, comme on l'a indiqué, la suite (r); mais, dans ce cas, Kp sera une fonction de x puisqu'il existe un plus grand commun diviseur entre R et R'. En divisant toutes les fonctions R par Rp, il viendra la seconde suite

(s) S, S', Sj, Sj, ..,, Sp i, I.

L'équation S = o renfermera les racines simples de la proposée ainsi que les racines multiples, chacune d'elles une fois seulement. Les fonctions S jouissent des mêmes propriétés que les fonctions R. Ainsi, pour celles-ci, on a la relation

Rn l = QnR» Rn + I>

et, en divisant les deux membres par R^,, elle deviendra

par suite, lorsque x, en variant de a à |3. annulera Sn, il en résultera,

comme pour les fonctions R, que le nombre des variations ne sera pas altéré.

Nous avons encore la relation

les fonctions S et S' seront de signe différent ou de même signe en même temps que R et R'. Le théorème de Sturm est donc applicable aux fonctions S • le nombre de variations perdues en passant de x=cf. à a: = (3 indiquera le nombre de racines comprises dans l'intervalle, mais sans tenir compte de leur degré de multiplicité. Si on remarque que l'on passe de la série [s) à la série (?) en multipliant par un même facteur Rp, on peut se servir uniquement de la suite (r) sans qu'il soit nécessaire de calculer les fonctions S et la conclusion restera la même.

Gt. Le théorème de Sturm permet de déterminer le nombre de racines réelles d'une équation qui n'a pas de racines égales. Après avoir formé, pour cette équation, la suite (r), on y substitue — oo et -|- cxd ; le signe des diverses fonctions sera le même que celui des premiers termes, et la différence t;a5 -— i^-foo donnera le nombre exact de racines réelles. Dans le cas d'une équation admettant des racines égales, la différence qui précède fournit encore le nombre des racines réelles, mais abstraction faite de leur degré de multiplicité. Connaissant le nombre de racines réelles, on aura en même temps, celui des racines imaginaires. Lorsque la série des fonctions de Sturm est complète, on obtient aussi le nombre de racines imaginaires, en comptant le nombre de variations que présentent les premiers termes des m -]- i fonctions de la suite; si k est ce nombre, 2A; représentera le nombre de racines imaginaires. En effet, les m -\- i premiers termes considérés simultanément forment un polynôme complet ayant, par hypothèse, A variations et m — k permanences. En posant x = — 00 , les permanences deviennent des variations et l'on a :

v œ = tn — k\

d'un autre côté, pour a; = + 00 , il vient

par suite,

■y-oo 'y +00 = ?^ — 2A\

C'est le nombre de racines réelles; donc 2A; est celui des racines imaginaires.

Pour que toutes les racines soient réelles et inégales, la différence précédente doit être égale à m. Il faudra donc que la suite de Sturm soit complète et que les premiers termes n'offrent aucune variation, c'est-à-dire, qu'ils soient tous positifs comme le premier terme de l'équation.

Pour l'application du théorème de Sturm à une équation numérique, il

est nécessaire, dans le calcul des fonctions R, de multiplier ou de diviser par des nombres positifs afin de rendre les divisions possibles avec des nombres entiers; ce qui ne changera pas le signe de ces fonctions. Le calcul étant terminé, si l'on s'aperçoit qu'une fonction R* conserve le même signe, quel que soit a?, on pourra supprimer celles qui la suivent; car le nombre de variations entre Rfc et la dernière R^ reste le même, et il ne peut avoir aucune influence sur la valeur de v^. — ^3. Enfin, en substituant dans les fonctions trouvées les limites de l'intervalle a et (3, il peut arriver qu'une fonction intermédiaire s'annule ; on remplace alors dans la suite des signes le zéro correspondant par -|- ou par — ; ce qui est indifférent, attendu que zéro est toujours entre deux signes contraires. Lorsque la première fonction R est égale à zéro pour une limite, par exemple, pour ii? = |3, on remplace (3 par un nombre un peu plus grand |3 -|- '^ en tenant compte que |3 est une racine de l'équation comprise dans l'intervalle. Cette dernière remarque n'est pas très utile, parce que l'usage normal du théorème de Sturm se présente dans la recherche des racines incommensurables, alors que l'équation a été débarrassée de ses racines commensurables. Comme on prend généralement des nombres rationnels pour les substitutions, ceux-ci ne peuvent être racines de l'équation.

G!S. Comme exemple de la marche à suivre, soit l'équation

(i) R = ic* — ^x' — 3a7-|-23 = o.

On en déduit

Calcul de R2. Pour rendre la division possible entre R et R', on multiplie R par 4, et on effectue la division entre les polynômes

4iç* — i6ic^ — i2X-\-g2 et ^x^ — i2â?^ — 3.

Le dernier reste sera du second degré ; il a pour valeur :

En changeant les signes, il vient pour la fonction R2

(3) R2 = I2il?- -|- 9^1? — 89.

Calcul de R3. Il faut diviser R' par R2. On commencera par multiplier R' par 3 pour rendre la division possible. On trouve pour premier reste :

Afin de continuer la division, on multiplie ce dernier par 4; le second reste qui sera du premier degré a pour expression : 4913? — 1 371. En changeant les signes, on a donc

Rs = — 491^+ Ï37Ï- Calcul de R4. On divise R2 par R3, en multipliant d'abord Rj par 491. Après avoir trouvé le premier reste, on constate facilement, sans chercher sa valeur exacte, que le second reste est positif; par suite, nous pouvons écrire

Nous obtenons ainsi les cinq fonctions de Sturm relatives à Téquation donnée. Prenons pour intervalles successifs les nombres o, i, 2, 3. 4. On trouve, par les substitutions :

Pour

Rs,

— , 3 variations.

L'équation admet donc une racine entre 2 et 3, et une autre entre 3 et 4; comme son premier membre ne présente que deux variations, elle n'a pas d'autres racines positives. D'ailleurs les premiers termes des fonctions de Sturm offrent une variation et l'équation a certainement deux racines imaginaires. On arrive au même résultat par les substitutions — 00 et -|- 00 ; pour cet intervalle, il y a une perte de deux variations et, par conséquent, deux racines réelles.

Soit encore l'équation

R = a;^ — 4a;' -|- a?* -|- 6a? + 2 = o . On en tire

Pour les divisions on peut laisser le facteur positif 2 de la dérivée; en opérant comme dans l'exemple qui précède, on trouve

R2 = 5a;2 — lox — jy Rj = a? — I , R4 = + - La suite des fonctions de Sturm est complète et les premiers termes sont positifs; l'équation aura donc toutes ses racines réelles et différentes. Afin de

déterminer les intervalles qui renferment les racines positives, substituons successivement les nombres o, i, 2, 3. On trouve

R, R', R,, R3. R* Pour 57 = o, -|- -[- — — -(-, 2 variations.

On voit que la substitution x = i donne deux zéros dans les fonctions intermédiaires; on les remplace par -j- ou par — et l*on trouve deux variations. Ce tableau nous montre qu'il y a deux racines positives comprises entre 2 et 3.

En second lieu, substituons les nombres o, — i . Il viendra

R, R', R2, R|, R4 Pour x = o, ~1~ + — — +5 2 variations.

i5=— I, + — + — +» 4 En passant de ^ ^ — i à ^ == o, il y a une perte de deux variations; les deux racines négatives de l'équation se trouvent dans cet intervalle, et il est inutile de faire d'autres substitutions.

63. Autre méthode de calcul des restes de Sturm. Les équations

R == Q,R' Ra, R' = Q^R, — R5, R^ = QjR^ R„ etc.

étant résolues par rapport aux restes R donnent successivement

R, = Q.R' R, R3 == Q^CQiR' — R) — R' = {Q,Q2 — l) R' - Q2R, R, == Q5 [(Q,Q, — i) R' Q,R] Q.R' + R

= (QiQ2Q3 — Qi— Qi)R'~(Qi.Q5- i)R, etc.

Si on remarque que tous les quotients Q sont du premier degré en a?, on voit qu'un reste R* s'exprime au moyen de R et de R' par une expression de la forme

Ri = AR' — BR

où A est une fonction entière de x du degré k — i, et B une autre fonction de X du degré A; — 2.

Cette propriété permet de calculer directement les restes de Sturm. Par exemple, pour trouver R2, on pose :

R2 = (aic + 6)R' — R

a et 6 étant deux coefficients indéterminés. On trouve leurs valeurs en remarquant que Rj est du degré m — 2 tandis que le second membre est du degré m; par suite, les coefficients de ^x'" et de a^^"*~' doivent être nuls; on aura ainsi deux équations pour calculer a et h. Dans le cas général, on part de l'égalité

Rfc = AR' — BR,

A et B étant deux polynômes renfermant respectivement k et A — i coefficients indéterminés; il y a donc au second membre 2k — i constantes arbitraires; maison peut toujours diviser par l'une d'elles et, en réalité, il ne faut compter que 2k — 2 coefficients inconnus. Or, Ri est du degré 7)1 — k en a?, et le second membre du degré m -\-k — 2. Afin de ramener ce dernier au degré m — A, on égalera à zéro les coefficients des diverses puissances ^7*"+*"^, ^'"+*~^, etc. jusqu'à x'^~^ exclusivement. On obtient ainsi un système de 2A — 2 équations du premier degré qui sont suffisantes pour déterminer les coefficients inconnus; par suite, on aura la valeur de R* et cette valeur sera unique.

Il existe entre les polynômes A et B qui figurent dans les restes successifs une relation importante. Pour la déterminer, donnons à A et B des indices correspondants aux restes, et considérons d'abord les identités

Q,R' — R = A2R' — B2R, (Q1Q2 - i) R' — Q2R = A3R' — BsR.

On en tire

A2 = Q,, Bt=i, A3==Q,Q2 — I, B3 = Qj;

par suite, il vient

Cela étant, nous allons voir que pour deux restes consécutifs quelconques Rk et Rfc^i , on aura également

AfcBfc^i —r- Afc^iBfc = I.

En eff'et, avec la notation convenue, nous pouvons écrire

Rfc^, = Afc+,R' — B*^-iR = QikR* — R*i ou bien,

A*4.,R' — B,^.iR = Q*(AfcR' — B*R) — (Afc,R' — B*,R).

Dans cette identité, égalons les coefficients de R' et de R ; il viendra

Afc+i = QjfcAft — Ak i, Bk-i-i = QfcBfc — Bfc i.

Si, maintenant, nous éliminons (^H entre ces égalités, on trouve AjBi^i — Aà^iBt = A*. tB* — AiB4 i.

La différence du premier membre est donc constante quel que soit A-, et comme

AjBs — A|Bj = I, nous aurons aussi

AiBi^l Àk^^ Bi = I .

D'après la nouvelle expression des foutions de Sturm que nous venons de considérer, on doit admettre que toute fonction entière de r qui peut se ramener à la forme AR' — BR, les polynômes A et B étant convenablement choisis, ne pourra différer d'un reste de Sturm que par un facteur constant.

•4. Expressions des restes de Sturm en fonction des racines. Désignais par (11, az, a^ ... a^ les racines de Téquation du degré m

où nous supposerons le coefficient du premier terme égal à Tunité, et considérons les fonctions suivantes que l'on appelle fonctions de Sylvester

R = (j? — Qi) {x — ai) (x — aj) ... («c — a,«), R' = 3 (x — a-) {x — as) ... (x — a«). Ta = 2(ai — at)*{x — «$) (x — a^) ... (x — o«), Tj = 2(ai — «>)*(»! — ai)'(aî — «i)*(vr — a,){x — as) ... (x — a^),

Tm = (a, — aj)'{ai — «s)'-., («i — a«)-(a2 — a-,]' ... (»«! — a^)-.

Les deux premières fonctions nous sont connues. La somme Tj se compose des termes que l'on obtient en laissant de côté deux facteurs linéaires pour les remplacer par le carré de la différence des racines omises; la somme Tj est l'ensemble des termes obtenus en laissant trois facteurs linéaires et en les remplaçant par le produit des carrés des dilferences des trois racines omises; ainsi de suite. La dernière fouction T,» est le produit des carrés des différences de toutes les racines. Nous allons démontrer que toutes ces fonctions jouissent de la propriété de se ramener à la forme

comme les restes de Sturm. Soit, par exemple, la fonction

(a) T» = 2 (fli — a2)-(ai — tts)'!»! — a3)*(x — a^) {x — a») ... {x — a.,).

et montrons qu'elle peut prendre la forme (r,) où A' est une fonction du second de^é, et B' une fonction du premier degré en x. Si on pose jr = r/, dans (a), il Tient

(a!) 2(ai — a2)'(ai — «»)*(«» — «sj^rti — a») («i — as) ••• a, — a«),

tandis qiie l'expression (ri) se réduit à

(r.) A' (a, — aî)(ai — a$) (a, — a,) •••(oi — «•),

car R est égal à zéro pour cette valeur, et tous les termes de la dérivée R' s'annulent excepté celui qui ne renferme pas le facteur x — ai. En remplaçant A' par

2 («2 — »s)*(ai — «i) («1 — «;)

(/•j) devient égal à (a') ; on est ainsi conduit à prendre pour A' la fonction du second degré en x

A' = I (a: — fls)* {x — ttî) {x — as)

c'est-à-dire, la somme des termes que Ton trouve en groupant deux à deux les facteurs linéaires, et en multipliant par le carré de la différence des racines correspondantes. Si Ton prend les deux premiers facteurs x — a», x — ai, on peut encore écrire

A' = 2 a, — ai)*(a; — a,) (x — as .

Avec cette expression, A'R' prendra la même valeur que Ts pour ar= ai, ainsi que pour x = r?2, x = o.i. •••, /. = a^. Enfin remplaçons B' par ax-\- b, a etb étant deux coefficients indéterminés, et posons l'égalité

2(fl, — a2)*(ai — as)-{a2 — a;)*(x — ai){x — Os) ••• = l(at^ a,yfx — as) (x — a.). R' — (ax + 6) R.

Elle sera satisfaite par les m valeurs de x : ai, a^, ...» a^. d'après le choix que l'on vient de faire pour la fonction A'. Si, de plus, nous posons successivement /= ri. JT = rj, ..ri etXi étant deux valeurs déterminées, on aura deux relations pour calculer a eib; mais alors cette équation du degré m -\- i ayant lieu pour m -\- 2 valeurs de x doit être identique. Il est donc démontré que Ts peut se ramener à la forme A'R' — B'R. In raisonnement analogue s'appliquera à une fonction quelconque Tt, en prenant pour A' une somme de termes renfermant chacun A" — i facteurs linéaires multipliés par les carrés des dififérences des racines correspondantes, et pour B' un polynôme du degré k — 2.

En vertu de cette propriété, les fonctions T ne peuvent différer des restes de Sturm que par un facteur constant et nous pouvons poser :

Ti = hB.2, Ts = A5R5, T« = A4R4, etc.

Afin de calculer ces constantes, considérons d'abord l'identité

dans laquelle, suivant la définition de A', A'^ = 2{x — ft,), et B, est une constante. Remarquons que T2 est du degré m — 2; or A'^R^ renferme le terme : 7nx X ifi'Oo'^~^ == m^^"», tandis que R renferme ^'»; pour que cette puissance disparaisse, il faut que B'j, = m'^ . D'un autre côté, en comparant terme à terme les deux membres de l'identité, on voit que I2 doit être égal à B^; donc A2 = w?^.

Cela étant, nous avons vu précédemment que les polynômes A et B des restes de Sturm satisfont à la relation

A*Bi^i — BftAt^i = I.

En multipliant les deux membres par hh+\, elle xievient

ou bien

A*Bfc j., — B^Ajt^i = ^fc^A^i.

Mais, on a

Tfc = A^R' — B;R, T*+. = A;+,R'-Bi+,R;

par l'élimination de R' entre ces deux égalités, on trouve

A'k^iTk — AfeTfc+j = {A'kBlcj^i — BfcAfc+,)R = ^^^a+iR.

Comparons, dans cette identité, les termes qui renferment a? à la m*^'"" puissance. Celle-ci ne peut se trouver dans le produit AiT^+i qui est du degré

k — i-\-m — k — i=m — 2, mais dans le terme Ai+iT* qui est du degré

Posons, pour abréger,

P2 = 2(fi^, — «2)% Pi == 2(^1 — ds)* {at — as)' («2 — «5)% ;>4 = 2(ai — <i2)^ (a, — «5)* (a, — a^Y («2 - a%Y («2 — a*)^ («s — «♦)'

En vertu des expressions choisies pour A' et T, le coefficient de la plus haute puissance de x dans Afe+, et dans T* est pk. D'après l'identité précédente, nous aurons donc

En posant, dans cette relation, A == 2, 3, 4, ..., il vient :

Pl = \'^zy ^5=^3'^»' P* = ^4^5' pI = K^s^ etc. Comme on connaît la valeur de ^2, ces égalités permettent de calculer

toutes les autres constantes. On en déduit

As =3 — - , /4

fïi'^pl

etc.

Il en résulte que les fonctions de Sylvester ne diffèrent des restes de Sturm que par des constantes positives; ce qui est sans influence sur les signes. Par conséquent, si la suite des coefficients de leurs premiers termes

I, m, J02, JO3, ^4,

Pmy

présente A: variations, l'équation R = o admettra 2 A racines imaginaires.

Il est à remarquer que les quantités p sont des expressions symétriques des racines, et qu'il est possible de les remplacer par des fonctions rationnelles des coefficients de l'équation. Étant donnée une équation à coefficients réels, les fonctions de Sylvester peuvent donc servir à la détermination du nombre de racines réelles et imaginaires de cette équation.

On peut remplacer les quantités p par des déterminants aux puissances semblables des racines. Nous avons vu (N** 24) qu'en posant :

le déterminant

Si S2 Ss

S2 Ss Si

Sm-l S m

5m l Sm Srn+l ••• S2m-2

représente le produit des carrés de toutes les différences des quantités tti, «2 ... «m; c'est la valeur de pm» De même

^2 = 2(^1 — (12)^= So Si

Si 52

ps = 2(ai — ^2)* («1 — asY («2 — a^y = So si Sj

Si S2 Ss

S2 Ss s%

et ainsi de suite. Donc, si on calcule, pour une équation du degré m, les quantités

Sq Si

Si S2

etc.

5o S\ $2 Ss

Si 52 55 S:,

Si Ss 54 Ss

Ss Si 5s 56

le nombre de racistes imaginaires sera égal au double du nombre de variations qu'elles présejitent, et pour que toutes les racines soient réelles, il faut et il suffit que ces diverses quantités soient positives.

G5. Avant de terminer ce sujet, nous ferons encore observer que les mineurs du déterminant symétrique de Tordre m

an -\- X ai2 a\5

«31 ^sa ass -^ X

ast

ami

ams

jouissent des mêmes propriétés fondamentales que les fonctions de Sturm, et que l'équation

doit avoir toutes ses racines réelles. Nous avons vu que le développement de ce déterminant conduit à une fonction entière du degré m. Désignons par Ai, Aï, ..., Am i les mineurs des différents ordres provenant de la suppression des dernières lignes horizontales et verticales, et par Am une constante positive. La suite

(a) A, A,, As, As, ..., Anv-i, A,n

renferme des fonctions de x dont la première est du degré 7?i, la seconde du degré m — i, et ainsi de suite; les degrés diminuent régulièrement d'une unité jusqu'à la dernière.

Afin d'étudier les propriétés de ces fonctions, considérons les plus simples savoir :

an -\- X fti2 an

a\2 «22 -\- X «jg

an -f- X «12

Am l =«II+I

En développant, on aura

Am 3 = (ctn + x) («22 + x) {ait + x)

Am 2 =(«)!+ a?) («22 + x) rij j,

Am-i =a\\-\-x.

On appelle premiers mineurs principaux ceux qui correspondent aux éléments de la diagonale. Quand un déterminant symétrique est nul, il existe entre ses mineurs les relations

Il en résulte que tous les mineurs principaux sont de même signe, et, si on connaît leurs valeurs, on en déduit celles des autres. Enfin, on vérifie également que la dérivée de Am 3 est égale à la somme de ses mineurs principaux et Ton a :

A'»i-3 = Ah -\- A22 -\- A33.

Après avoir rappelé ces diverses particularités, nous allons démontrer que ) les fonctions de la suite (a) jouissent des mêmes propriétés que celles de Sturm. Nous avons dit que Am est une constantej)Ositive et il en doit être ainsi. En effet, si Am i s'annule, on a : aw -\- x =-o ti, par suite, x = — Orn. Pour cette valeur, Am-2 se réduit à la quantité négative — «Ja- ^^ ^^"* ^^^^ prendre Am positif afin que Am i s'annulant, les fonctions adjacentes soient de signes contraires. Il en est toujours ainsi pour trois fonctions consécutives quelconques

Ai i, Ai) Ai^i ;

nous avons vu. dans la théorie d'un déterminant symétrique, que si Ai devient ^

nul, les deux autres sont de signe différent. C'est là une des propriétés ^ -^

caractéristiques des fonctions de Sturm.

Remarquons encore que la dérivée de A par rapport à « est la somme des • premiers mineurs principaux qui sont tous de même signe quand A s'annule; or, Al est l'un de ceux-ci ; donc la dérivée de A a le même signe que Ai. Si la variable x prend une valeur a qui annule A, immédiatement avant, A et Ai seront de signe différent et, immédiatement après, de même signe. C'est encore là un caractère de la suite de Sturm. Admettons, pour un moment, que deux fonctions consécutives de la suite (a) ne s'annulent pas pour une même valeur de x ; comme les premiers termes des fonctions sont tous positifs, en posant a; = — 00 , il y aura m variations, et, pour ic = 00 , il ne reste que des

permanences. Donc, l'équation A = o a toutes ses racines réelles et il en sera de même des équations

Ai = o, A2 = o, A3 = o, etc.

Nous allons maintenant démontrer que, dans le cas où les coefficients are sont différents de zéro, deux fonctions consécutives ne s'annulent pas en même temps. Reprenons encore les trois fonctions Am 5, Am 2, An»i et supposons Am-2 = (aii -\-x) {a22 + x) — a]^ = 0.

Dans notre hypothèse, la valeur de a? qui satisfait à cette relation n'annule pas les mineurs principaux An, A22 de A,».-; par suite, Am-i qui est l'un de ces mineurs ne sera pas nul. D'un autre côté. Ams peut être considéré comme un déterminant bordé dont le déterminant de base Am 2 est nul; dans ce cas, il se réduit à un carré parfait (N« 26, Déterm.) savoir :

— K3A, i + a'l-A22 ± 2^,3^23 |/A, , A^,) == — («,3 ^A, , ± a,3 \/Â^y. Comme les mineurs An, A22 sont différents de zéro, on doit admettre, qu'en général, Am-s ne sera pas nul en même temps que Am a. Un raisonnement analogue s'applique à trois fonctions consécutives quelconques, Ai i , A», Ai^t . Supposons maintenant que certains coefficients ars soient nuls ; on peut leur substituer des quantités krs très petites pour former une autre suite

A', A'i, A'2, ..., A',„., A',„ jouissant de la propriété que nous venons de démontrer et l'équation A' = o aura toutes ses racines réelles. Si on suppose que les quantités kra tendent vers zéro, cette propriété ne cessera pas d'exister et, à la limite, on doit admettre que A == o aura aussi toutes ses racines réelles.

Ainsi le déterminant A égalé à zéro fournit une équation algébrique, extrêmement remarquable ; elle a toujours toutes ses racines réelles quelles que soient les valeurs des coefficients.

Théorème de Cauchy.