Soit
une équation du degré m dans le sens général; remplaçons l'inconnue z par x-\-y [/ — i ; elle prendra la forme
où P et Q sont des fonctions réelles de x et de y. Lorsque les valeurs œ ^=x^, y = yo annulent les polynômes P et Q,. on dit que
Zq = a?o -\- yo ]/ — I
est racine de l'équation; elle est figurée dans le plan par un pointa ayant pour coordonnées iCo, yo, et que l'on appelle /?omf racine.
Avant d'énoncer la proposition de Cauchy, il est nécessaire de démontrer une propriété de la fonction entière d'une variable imaginaire. Décrivons du ^ point a, comme centre, une circonférence de rayon r de manière qu'elle ne traverse aucun point racine de l'équation ; menons ensuite une droite parallèle à ox, ainsi que le rayon am incliné d'un angle 0 sur cette droite. Proposons-nous d'étudier les changements de signe du
P rapport -> lorsque 2r, considéré comme une variable imaginaire, décrit la
circonférence. Ce rapport aura une valeur déterminée en chaque point de la
courbe; car il ne peut prendre la forme - que si l'on a en même temps P = o,
Q = o; ce qui est contre l'hypothèse admise que la circonférence ne renferme aucun point racine. Désignons par x eiy les coordonnées du point m; on aura
X = Xq -\- 1' cos 0, y = yo-\-'i" sin 0 ; par suite,
z = x-\- y\/— \=ZQ-\-r (cos G + V^ — i sin 0).
Pour plus de généralité, nous supposerons que le point a est un point racine du degré n de multiplicité. Dans ce cas, en développant F(z), il viendra
F [z) = F \z, + r (cos 0 + \/^^ sin 0)] (COS0 + L/— I sin 0)" ^-^+ r'»+' (cos 0 + i/- i sin 0)»+' r^-,^4
Posons :
F<'»)(;2ro)
= Vn (cos a„ -]- |/ — I sin a„),
= rn+i (cos a»+i -]- \/— I sin a^^-i), etc.
Par la substitution de ces expressions et l'application de la formule de Moivre, on trouve
F(z) = r"r,. [cos {71B -\- a„) -\- \/ — i sin (w0 + «„)]
+ r''+'r„+, I cos \{n + i) 0 -|- a„+,] -|- \/ - i sin \{n -|- i) 0 + «„+,] j
On en déduit pour la valeur du rapport -- >
P /•„ cos (w9 + a„) + rr„+i cos \{n + 1)0-1- a„+i] -]
Q rn sin (w0 -|- a„) -|- rr^+i sin \[n -\- i ) 0 + «n+i] + •••
Supposons maintenant que le rayon r de la circonférence soit suffisamment petit pour que le numérateur et le dénominateur aient le même signe que leurs premiers termes; dans ces conditions, le signe du premier membre sera le même que celui du rapport
r„cos(w0 + a„)
^-T~K-\ N = rotang {n'a + a„).
Cela étant, lorsque la variable imaginaire décrit la circonférence entière, l'angle 0 varie de o à 277; par suite, l'angle ?i0-|-a„ variera de «« à an-\-2m:. Cet intervalle comprend ?i circonférences savoir: anàa„-]-27r, a„-}-27: à «n -j" 47Î") etc. Or, on sait que, pour une circonférence, la cotangenle passe deux fois du positif au négatif en s'évanouissant, et jamais du négatif au positif, si ce n'est en traversant l'infini. Il en résulte que pour l'intervalle complet, la cotangenle s'annulera 2n fois en passant du positif au négatif. De là cette propriété :
Lorsque la variable z décrit une circonférence ou plus généralement un contour très 'petit autour d'un point racine du degré n de multiplicité ^ le
rapport - passe 2n fois du positif au négatif en s'évanouissant.
07, On sait que le théorème de Sturm se rapporte au nombre de racines réelles comprises dans un intervalle donné. Les racines imaginaires étant figurées par des points dans le plan, il faudra, au lieu d'intervalles, considérer des contours et chercher une règle pour déterminer le nombre de points racines qu'ils peuvent renfermer. C'est là le but du théorème de Cauchy que l'on peut énoncer ainsi :
Ltant donnée une équation
et un contour ABCI) qui ne passe par aucun point racine, on suit le contour dans un sens déterminé en partant d'un point A pour revenir au point de
départ. Si k est le ?iomhre de fois que le rapport — » en s' annulant, passe du
positif au négatif, et k' le nombre de fois que ce rapport, en s'annulant, passe du négatif au positif, la différence d = k — A' est toujours égale au double du nombre de racines comprises dans l'intérieur du contour.
Il faut d'abord remarquer que, si deux contours tels que ABC, ACD (fig. 3) ont une partie commune AC, on peut supprimer celle-ci et prendre seulement la valeur de d ==: k — k' pour le contour extérieur ABCD. En effet, le premier contour étant parcouru à partir de A vers B et C pour revenir en A, l'arc AC est parcouru dans le sens CA tandis que, pour l'autre contour, il est parcouru en sens opposé de A vers C ;
SI le rapport — s'annule et passe un certain nombre de
fois du positif au négatif en allant de C vers A, il passera le même nombre de fois du négatif au positif en allant de A vers C, et la différence d ne sera pas altérée. ^*^' ^'
Si donc le théorème se vérifie pour deux contours ABC, ACD juxtaposés, il s'appliquera également au contour formé de leur réunion en négligeant la partie commune. Il en sera encore ainsi, quel que soit le nombre de contours juxtaposés; car, on peut supprimer d'abord la partie commune à deux contours adjacents; ensuite, en comparant le contour résultant avec le suivant, on laissera de nouveau la partie commune, etc.
Cela étant, considérons un contour ABCD ne renfermant aucune racine ; on n'aura jamais à la fois P = o et Q = o ; mais il pourra se présenter des points pour lesquels P et Q s'annuleront séparément. Divisons le contour en différentes parties telles que chacune ne renferme dans son intérieur ou sur son contour aucun point où P == o, ou bien, aucun point où Q = o. Pour
P un contour partiel où l'on n'a jamais P = o, le rapport - ne s'annule pas et
(5 = 0; pour un contour partiel où Q n'est jamais nul le dénominateur conserve le même signe; d'un autre côté, après avoir parcouru le contour entier, le rapport reprend sa valeur initiale avec son signe ; il est évident que s'il passe un certain nombre de fois du positif au négatif en traversant zéro, il doit passer le même nombre de fois du négatif au positif et l'on a
encore ^ = o. L'excès étant nul pour tous les contours partiels, il le sera aussi pour le contour extérieur ou le contour ABCD.
Supposons, en second lieu, que le contour donné renferme un seul point racine a (fig. 4) du degré n de multiplicité. Décrivons une circonférence intérieure suffisamment petite ayant pour centre le point a, et relions-la par
P les arcs AE, GC au contour donné. Il y a ainsi dans la figure trois contours, savoir : ABCGFEA, la circonférence EFGH et AEHGGDA. Pour le premier et le dernier qui ne renferment aucune racine, ô = o; pour la circonférence, en vertu d'une propriété démontrée, k = 2n, A'=o; par suite, d = 27i. L'excès d pour les trois contours est donc 2n ; il aura la même valeur pour D^"" ^"^ le contour extérieur ABCD. Si l'on en doute, on
Fig. 4. observera que le premier contour ABCGFEA a
pour partie commune avec la circonférence l'arc EFG que Ton peut supprimer, et le contour résultant est alors ABCGHEA ; celui-ci ayant la partie AEHGC commune avec le troisième AEIIGCDA, en la supprimant, il reste le contour ABCD.
Enfm, s'il s'agit d'un contour renfermant plusieurs points racines, on le partagera en plusieurs autres à une seule racine ; le théorème sera applicable à chacun d'eux et aussi au contour formé de leur réunion.
La proposition de Cauchy se trouve ainsi vérifiée dans tous les cas. G8. Ce théorème jouit encore de la propriété de fournir une démonstration de ce principe fondamental que toute équation du degré m admet m racines. Soit, en effet, l'équation
¥{z) = Ao^:"» + AiZ""-^ + ..• 4- An» =r o. Posons :
z = r (cos G -j- [/ — I sin G), A» = n (cos «j + [/^— i sin a,). En substituant et en effectuant les multiplications, on trouve.
E{z) = r'^ro [cos {mO -\- cco) + |/— - i sin (mB + «o)]
+ r'"-'ri I cos [(m — 1)6 + «<] + 1/— i sin [(m — 1) G + ««] ] + D'où on tire
P r'»ro cos (w0 -\- «o) + 7"»-'ri cos [(m — i ) G -\- ct,]-f- ♦" Q ^my.^ sin (wG + «o) +r"»~*ri sin [(w — i) 0 + «»]+ •*•
Le numéraleur et le dénominateur de cette fraction sont des fonctions entières de r ordonnées suivant les puissances décroissantes ; si r est suffisamment grand ou infini, ils auront le môme signe que leurs premiers termes;
P dans cette hypothèse, le signe du rapport - sera le même que celui de
HT
. . Q 1 : = cotang (m9 + ao).
Mais, supposer r infini revient à dire que la variable imaginaire décrit autour de l'origine une circonférence qui embrasse toute l'étendue du plan. Or, quand 0 varie de o à 27r, Tangle m0 -\- «o varie de ao à «o + 2rm: et le rapport doit passer 2m fois du positif au négatif en s'évanouissant et jamais du négatif au positif, si ce n'est en devenant infini ; par suite, k = 2W, k' = o ti 0 = 2m ; donc m est le nombre des points racines.
