X — IX — I

Celle-ci aura lieu, en posant

d'où on tire

ic= I 4-N.

On a donc celle première rt'gle : Quand le coejjicienl du premier terme d'une équation est l'unité, on obtient une limite supérieure des racines positives en ajoutant l'unité au plus grand coefficient négatif pris en valeur absolue.

Soit, en second lieu, l'équation

OJ»" + Ali»"*-* -\ AniC*~~"H f- A,„ = o,

dans laquelle A„^'"-'* est le premier terme négatif. En attrilmant à N la même signification, le premier membre sera positif pour toutes les valeurs de X qui satisfont à l'inégalité

^m V^N^m-n LN^m-«-l J [- N > -^^ ^.

Mais, pour a? > i, cette relation sera vérifiée si l'on pose :

ou bien, ou, encore, On en déduit

De là, cette seconde règle : Dans une équation où le coefficient du premier terme est l'unité, on obtient une limite supérieure des racines positives en ajoutant l'unité à la racine n^^^^ du plus grand coefficient négatif pris eu valeur absohce, n étant égal à l'excès du degré m sur la puissance du premier terme négatif.

Lorsque le coeificient du premier terme n'est pas l'unité, mais un certain nombre positif Ao, on doit diviser par ce coeflicient et prendre pour limites

~Ao ~\/ ko

90. Troisième règle. — Si, dans tme équation, on prend positivement chaque coefficient négatif et qu'on le divise par la somme dés coefficients des termes positifs qui précèdent, on obtient plusieurs nombres fraction-

naires dont le plus grand augmenté de l'unité est une limite supérieure des racines positives»

En effet, considérons l'équation

dans laquelle il faut prendre les signes des termes comme ils sont indiqués. On sait que

on en tire

Développons, par cette formule, chaque puissance des termes positifs sans toucher aux termes négatifs. L'équation deviendra ainsi

A,{x -i)x'^-' + Ao{x—i)x^-'+A.o{x — i)x^-^ + "-{'A,{x—i)-{-Ao 4-Ai(a;— i)a?"»-='+A,(a?--i)a?"»-«^-j f-A,(a; — i)4-A,

'\-A2(X—l)X'^-^-\ l-A2(iP— l)-|-A2

— .Asic*""^

Si X est plus grand que i, toutes le^, colonnes où il n'y a pas de terme négatif seront positives; pour les autres, par exemple, pour la troisième, on

devra poser

Ao (« — i) + A, (a: — i) 4- A2 (ic — i) > A3;

on en déduit

^Ao + Ai + Aa^ Au moyen de la colonne qui renferme le terme négatif ArX^~^, on

trouverait

et ainsi de suite. Si donc, nous prenons pour x la plus grande de toutes ces quantités, le premier membre sera positif ainsi que pour les valeurs de x plus grandes; ce sera une limite supérieure des racines.

■ïl. Quatrième règle. — Lorsque tous les termes du quotient du premier membre d'une équation par un facteur x — / sont positifs ainsi que le reste, l est une limilc supérieure des racines positives.

En effet, le reste de la division étant F(/), on peut écrire

F(a?) = {x — l) (Ao^--' + B.iC"-» -\ 1- Bn.,) + F(/).

Or, il est évident que, dans l'hypothèse oîi les coefficients B ainsi que F(/) sont positifs, le second membre reste positif et croissant, lorsque x varie depuis / jusqu'à -|- oo . Il ne peut donc y avoir de racine plus grande que l.

M^. Cinquième règle, méthode des groupements. — Étant donnée une équation, on dispose les termes de manière que le premier membre ne renferme que des termes positifs et des groupes composés d'un terme positif suivi d'un ou de deux termes négatifs; tout nombre qui rendra ces derniers positifs sera une limite supérieure des racines. Ainsi l'équation

2X^ 4- lOic* — 7^' ~ 1 2x^ -{- X — 4 = 0 peut s'écrire

2X^ -\- x^ {lox'^ — 70; — 12) -{-{(C — 4) = o.

Dans le trinôme du second degré, le premier terme est plus grand que la somme des deux autres pour x-= 2] mais, à cause du dernier groupe, on doit prendre x = ^ pour la limite supérieure des racines positives. Il est évident, en effet, que pour ic = 4 ou > 4, le premier membre sera toujours positif.

De même, en groupant les termes de l'équation

x^ -\- X*' — a?' -]- 1 503? — loooo = o comme suit :

{x^ — loooo) -]- {x" — x^) + 150a; = o;

il suffît de s'occuper du premier groupe qui est positif pour a? = 7; toute valeur plus grande rendra le premier membre positif et, par conséquent, 7 est une limite supérieure des racines.

9S. Sixième règle. Nous rappellerons encore que nous avons signalé comme conséquence du théorème de Fourier la propriété suivante : Tout 7iombre l qui rend F(.x') et toutes ses dérivées positives est une li?nite supérieure des racines. C'est la règle de Newton. Lorsqu'on veut l'employer, on commence les substitutions dans la dérivée de l'ordre m — i ; après avoir trouvé le plus petit nombre qui la rend positive, on le substitue dans la dérivée précédente ; dans le cas où cette dernière serait négative, on augmente d'une ou de plusieurs unités jusqu'à ce qu'elle devienne positive. On continue de cette manière en remontant l'ordre des dérivées, et on arrive finalement au plus petit nombre jouissant de la propriété de les rendre positives ainsi que V{x).

Hé, Appliquons les règles précédentes à l'équation

x^ -[- Sx* — 14a;' — 53^^ -{- 5^3^ — 18 == o. La première méthode donne :

la deuxième la troisième

^ = I + l/~53 ou / = 9 ;

Dans l'application de la quatrième règle, on commence les divisions par X — 2, X — 3, etc. en écrivant immédiatement les quotients suivant la loi connue ; on s'arrête dès que l'on trouve un terme négatif pour passer à la division suivante. Le quotient par a? — 3 étant

x" -^ iix^-\- igx* 4" 4^^ 4" ^^ avec un reste positif + 186, on a : / = 3.

La méthode de Newton conduit à la même limite, mais les calculs sont beaucoup plus longs et plus pénibles; quoi qu'on en dise, cette méthode n'est pas à recommander. 11 faut lui préférer la quatrième règle qui conduit souvent avec plus de facilité à une limite aussi petite que possible. On s'aperçoit bien vite, après quelques divisions, du facteur à prendre pour que les termes du quotient soient positifs. Cependant dans les cas où le coefficient du second terme est un nombre négatif considérable, cette méthode ne convient plus. 11 faut alors employer le procédé des restes successifs des divisions de F(.2?) par x — /; par tâtonnements, on trouve facilement le nombre / qui convient à rendre tous les restes positifs. On sait (N* 56) qu'alors l est une limite supérieure.

Afin d'obtenir une limite par la méthode des groupements, on peut écrire l'équation comme suit :

on trouve alors / = 4.

Le cas le plus défavorable pour la détermination d'une limite approchée est celui où le coefficient du second terme est un nombre assez grand négatif. Soit, par exemple, l'équation

La quatrième règle donne immédiatement / = 25. La méthode des restes aurait ici l'avantage; car si on forme le tableau

on voit que tous les restes seront positifs; donc 16 est une limite supérieure des racines positives.

Remarque. Les règles précédentes permettent aussi de déterminer une limite inférieure des racines positives. Posons dans l'équation ¥{x) = 0,

il en résultera la transformée

Cela étant, si L est une limite supérieure de ses racines positives, y ne peut pas être plus grand que L; par suite, d'après la relation posée, x ne peut pas

être plus petit que» Donc, -sera une limite inférieure des racines positives. L L

Enfin, posons encore dans l'équation,

et déterminons les limites supérieure et inférieure des racines positives de la transformée

Soient U et U ces limites. On aura

iï> yyUy

et, par conséquent,

Donc — h et — U seront les limites supérieure et inférieure des racines négatives de la proposée.