Considérons l'équation à coefficients entiers

F(X) = AqX*^ + A,^"»~' j- . . . j- Am-ia? -(- Am = o,

et désignons par a un nombre entier ; pour qu'il soit racine, on a la condition générale

F(a) = Aoft"» + Aift'"-' -] 1- Am-ift 4" A„» = o.

On en déduit,

Ao»'»-' + Aia^-' -I h A.„, ==

Le premier membre étant un nombre entier, il en doit être de même du second; par suite, a doit diviser exactement Am. Ainsi, les seuls nombres entiers qui peuvent être racines de l'équation appartiennent aux diviseurs de A«. Il arrive que ces diviseurs sont très nombreux, et il importe d'indiquer d'abord quelques règles qui permettent d'en exclure un certain nombre. En premier lieu, on devra laisser tous ceux qui tombent en dehors des limites des racines réelles. De plus, on sait que le premier membre est divisible par a? — a, si a est racine, et l'on a

F (ic) = (a? — ft) 9 {x).

En posant successivement

x= — 2, x = — I, a?=i, a? = 2, etc.,

on en déduit

F(— 2) (a) — ^ — = — (P ( — ■ 2) = Nombre entier.

Ff— 1)

(y) Ii^=-?(i) = id.

0) !J. = ç(a) = id.

et, ainsi de suite. Les résultats F(i) et F (— i) se calculent facilement

par la substitution de Tunité positive et négative dans le premier membre ; il suffît de conserver les relations (|3) et (y), en vertu desquelles, on devra rejeter tous les diviseurs de A»,» qui, augmentés de l'unité, ne divisent pas F( — i), et tous ceux qui, diminués d'une unité, ne divisent pas F(i).

Remarquons encore que F(o) = Am] par suite, F(o) est divisible par a. ïl s'ensuit que les quantités

sont respectivement divisibles par les nombres a — i, a et a + ij comme dans trois nombres quelconques consécutifs, il y en a toujours un qui renferme 3 en facteur, il faudra que l'un de ces trois résultats soit divisible par 3, si l'équation admet une racine entière.

Les diverses conditions que nous venons de rencontrer sont nécessaires, mais elles ne sont pas suffisantes. Il reste à faire connaître comment on pourra distinguer parmi les nombres entiers qui y satisfont ceux qui sont racines de l'équation.

7G. Première méthode. Lorsque le nombre a est racine, on a :

F(ft) = A^a"* + A,(i'"-' H \- Am = o.

Au lieu de calculer F(a) en substituant directement a dans le premier membre, on divise F(j?) par x — a; on sait que le reste est précisément F(a) et, s'il est nul, a est racine. En représentant le quotient par

on a les relations suivantes :

(A) Bi = Aoa-\- Aij B2 = Bia-|- A2, ..., B«i = B,„2^ -|- Am i; * enfin, le reste R est donné par

R = B,n. l<ï -j- Arn.

Nous allons montrer dans deux exemples la marche à suivre. Soit d'abord l'équation

On commence par substituer -[- i et — i dans le premier membre; on trouve

— iU —

Les diviseurs de 6 étant

il est visible que les nombres 24"^» 6 + i> — 6 + i ne divisent pas F( — i); on doit donc rejeter les diviseurs 2, 6, — 6, et il suffit de faire les divisions relatives aux nombres — 2,3, — 3. On dispose les calculs comme suit :

La première ligne horizontale du rectangle renferme les coefficients de l'équation; la deuxième, ceux du quotient par ^ -|- 2, le dernier nombre étant le reste; on voit qu'il est nul et — 2 est une racine. Les nombres de cette ligne représentent en même temps les coefficients de l'équation débarrassée de la racine — 2. Dans la division suivante par x — 3, il faut opérer avec les nombres de cette seconde ligne; le reste étant nul, 3 est aussi racine. Comme l'équation donnée est du 4® degré et que Ton connaît deux racines, il reste à résoudre une équation du second degré ayant pour coefficients les nombres de la dernière ligne, c'est-à-dire.

par suite, les deux dernières racines seront dby^ — i . Soit, en second lieu, l'équation

00^ -{- 500^ -{- OÛ^ — l6x^ — 2007 — 16 = 0.

On trouve ici

Les diviseurs du dernier terme à considérer sont :

Les seuls nombres de cette liste qui satisfont aux conditions (|3) et (y)

io5 —

étant 2, — 2, — 4, on fait les divisions qui leur correspondent et l'on obtient le tableau :

Il en résulte que 2. — 2, — 4 sont des racines entières. L'équation du second degré

dont les coefficients sont les nombres de la dernière ligne du rectangle fournira les deux racines restantes.

I! est nécessaire, dans cette méthode, de prolonger les opérations jusqu'à la fin avant de conclure; mais ce travail n'est pas inutile. Supposons qu'en essayant 2 et — 3, on trouve des restes qui ne sont pas nuls; ces nombres ne sont pas racines et les restes obtenus donnent précisément les valeurs de F (2) et de F( — 3); on s'en servira pour appliquer aux autres diviseurs la règle d'exclusion par a — 2 et a -}~ 3 •

W. Deuxième méthode. La condition générale pour qu'un nombre entier a soit racine

F(ft) = k^a"^ -\- A|ft*"-' ]-...-{- Am i«-(- A,n = o,

peut être remplacée par plusieurs autres faciles à vérifier. En effet, on en déduit

— ^ = — Aoa"*""' — Al»*""* — • • • — km-id — Am i . a

Posons :

Am y, = — • a

En substituant et en transformant, cette égalité peut s'écrire

= — Ao^*"-' —

A m — 3^ Ani 3

Posons de même

a En substituant, l'équation précédente donne aussi

Q2 -j- Am-2

a Posons encore

— Ao»"*"' — ••• - km-na — A,

Si l'on continue de cette manière, on arrivera finalement à l'équation

Qm-, +A,

~ Aq,

a ou bien

Qm^= — Ao

en posant :

(P) Qm=

D'après les égalités précédentes, tous les quotients Qi, Q2...Qm doivent être des nombres entiers. Donc, pour qu'un nombre entier soit racine, il faut qu'il divise le dernier terme; qu'il divise le premier quotient obtenu plus le coefficient de l'avant dernier terme; qu'il divise le second quotient auquel on ajoute le coefficient du terme correspondant; et ainsi de suite; enfin, le dernier quotient doit être égal et de signe contraire an coefficient du premier terme.

Ces diverses conditions sont nécessaires et elles suffisent; car, en partant de la dernière égalité (p) et en remontant de proche en proche, on retrouverait la première équation qui exprime que le nombre a est racine.

En comparant les valeurs de Qi, Q2, Qs. etc. avec les relations (?.), on trouve, en remarquant que R = o,

Ql = — Bm-l, Q2 = — Bn,— 2> •••» Qtn—l = — Bi, Qw» =* — Ao,

c'est-à-dire, que les nombres Q pris en signes contraires sont les coefficients du quotient de Y(x) par x — a; ce quotient peut donc s'écrire

— (^mx"^-' — Q„,>ia?"»-» Qiic — Qi.

Il est nécessaire de considérer un exemple particulier pour montrer la suite des calculs à elTcctuer. Proposons-nouS de résoudre Téquation

X* — 8^"' — gx^ -{- 102X -j- go = o.

Le dernier terme 90 est considérable; il sera utile ici de chercher les limites des racines pour éliminer un certain nombre de ses diviseurs. On trouve que les racines réelles sont comprises entre 7 et — 4. De plus, on vérifie directement que -1- i et — i ne sont pas racine?. Sans faire appel aux conditions d'exclusion (p) et (y), les diviseurs de go à essayer seront :

On dispose les calculs en mettant sur une première ligne horizontale les coefficients de l'équation ; en dessous et changés de signe, on place les quotients 0 comme suit :

D'après la méthode précédente, on dit : go divisé par — 3 donne pour premier quotient — 30; on change le signe et on met 30 au-dessous de 90; — 30 -|- 102 divisé par — 3 donne pour second quotient — 24 ; on change le signe et on place 24 au-dessous de 102 ; — 24 — 9 divisé par — 3 donne pour troisième quotient +11; on écrit — il au-dessous de — 9; enfin, II — 8 divisé par — 3 donne pour dernier quotient — i ; on met -\- 1 audessous de 8. Ce dernier quotient étant égal et de signe contraire au coefficient du premier terme, on en conclut que — 3 est racine. En même temps, les nombres de la seconde ligne sont les coefficients du quotient du premier membre par x-\- Z- ^^ faudra faire des calculs semblables ayec les diviseurs

suivants, mais en se servant maintenant de la seconde ligne au lieu de la

première. On trouve que — 2, -|~ 2, + 3 ne peuvent être racines, puisque

les divisions ne se font pas exactement jusqu'à la fin; au contraire, -f- 5 est

racine, car le dernier quotient relatif à ce nombre est — i .

L'équation est du 4« degré et l'on a trouvé deux racines; il reste à résoudre

une équation du second degré dont les coefficients sont ceux de la dernière

ligne, c'est-à-dire,

Celle-ci donne a; = 3 dzy^ i^,

V8. Racines commensurahles fractionnaires. La détermination de ces racines repose sur le principe suivant : Quand le coefficient du premier terme d'une équation est l'unité, il n'y a pas de racines fractionnaires. En effet, soit l'équation

a?*" + A, a;'"-' + AiX"^-' -\ \- A,„-iic + A,n = o,

a et - une fraction réduite à sa plus simple expression; en admettant qu'elle soit

racme, on a :

, -|-A|- — ■ 4- ... 4- Am =5 o.

Si on multiplie par 6"*~', il vient

égalité impossible, puisque tous les termes sont entiers excepté le premier. Cela élant, considérons l'équation

Afic'" -f- Aiic"»-' -1 \- Am = o

où le coefficient du premier terme est différent de l'unité; elle pourrait avoir des racines fractionnaires; afin de les obtenir, posons

k il viendra la transformée

AoÇ-+A,^ LA,f-— -j |-A„, = o,

et, en multipliant par A'"-»,

Ao^ + A.r"' + A2/cr-^4 h An,/;:''»-'==o;

si l'on prend k = A^, le coefficient du premier ferme devient l'unité et l'équation n'admet plus que des racines commensurables entières; on les déterminera par les méthodes précédentes. Désignons par yo, yi, ^2, ..., c«s racines; en vertu delà relation posée, les nombres fractionnaires

Ao Ao Ao seront des racines de l'équation primitive.

Comme exemple, proposons-nous de résoudre l'équation

2X* -{-X^ lOX^ 20; -j- I 2 = o.

Il faut commencer par la recherche des racines entières ; elle en possède une seule qui est — 2 ; en divisant par x -{- 2, il reste l'équalion

Prenons k = 2; on trouve, pour la transformée,

Celle-ci est vérifiée par les nombres 3 et i: 2 j/2 ; par suite, les racines de l'équation proposée seront :

Soit encore l'équation

qui n'a pas de racines entières. Posons : x =j\ il viendra

Multiplions par k*; on aura

4 fr - 28 1 + 452/* — Cky -î8k' = o.

On voit que, dans cet exemple, on doit prendre A; = 2 au lieu de A' = 4 ; ce qui simplifie la transformée; on trouve ainsi

Ses racines étant — i» 3» 2(3 dr ^/'3), celles de l'équation proposée auront pour valeurs

Il est encore possible de déterterminer les racines fractionnaires par une

a autre méthode. Substituons la fraction - dans l'équation et multiplions ensuite

par 6*"; on aura

Aoa"» + Aitt^^-'^ -\ \- km-iab"^-' 4- A.nb'^ = o.

Si on divise le premier membre successivement par a et 6, on trouve que

A Am

— et — doivent être entiers; le numérateur de la fraction divise A^ et le b a

dénominateur Ao. Après avoir dressé la liste des diviseurs de Ao et de Am, on

formera les fractions ou les nombres fractionnaires conformément à cette

remarque. Avant de les essayer, observons encore que ^{x) doit renfermer le

facteur ibx — a), si- est racine et on peut poser :

F {x) = (bx — a)(p{x).

En remplaçant x par -}- i et — i, il vient les relations

qui montrent que b — a divise F(i) et 6 -f- a, F( — i). On ne conservera que

les fractions qui satisfont à ces conditions et on leur appliquera Tune des

méthodes exposées précédemment pour savoir si elles sont réellement racines.

Soit réquation

/[x^ • — 8a?2-{~5^"~ 3 = ^- Diviseurs de 4 : i, 2, 4; diviseurs de 3 : i, 3. Les diverses fractions qui en résultent sont :

F(i) = — 2, F( — i) = — 20. Or, I -}- 2 ne divise pas 20 et 4 — i ne divise pas — 2. Il ne reste à essayer que les deux dernières fractions. La division par la règle connue donne

donc - est racine et il reste à résoudre l'équation

4^'' — 2ic4-2=o, ou 2x^ — a;+i=o

. , I db [/^ qui donne : x = -,

79. Racines commensurables égales. Dans les exemples que nous avons traités, on a trouvé autant de racines qu'il y avait d'unités dans le degré de l'équation; dans tous les cas analogues, il n'y a pas lieu de se préoccuper des racines égales. Lorsqu'il n'en est pas ainsi, il est nécessaire de vérifier si les racines trouvées sont simples ou multiples. Dans ce but, on essaye de nouveau les mêmes nombres; chacun d'eux sera une racine simple, double ou triple, si on trouve qu'il satisfait une^ deux ou trois fois à l'équation.

Soit à résoudre l'équation

On trouve seulement pour racines entières les nombres — i, 2, 3. Apres avoir débarrassé l'équation de ces racines, il vient :

a?^ — Sic^-j- 21X — 18 = 0.

Il est facile de constater que 2 est encore racine, et il reste ensuite Téquation

x^ — 6ic + 9 == o qui admet deux racines égales à 3 ; par conséquent, — i est une racine simple, 2 une racine double et 3 une racine triple.

80. Nous terminerons la théorie des racines commensurables en proposant quelques équations à résoudre.

(a) x'' — lox' -f- 35^?^ — 50a? -}- 24 == o.

Racines : i, 2, 3, 4.

(6) ix^ — 53^+io5«=o.

Il faut chercher les limites et remarquer que le second terme manque. Avant d'effectuer les opérations pour la recherche des racines, on complète l'équation et on écrit :

^ . — 3 =*= 1/79 Racines : ^, •

Tous les termes étant positifs, cette équation n'admet que des racines négatives. Il suffit d'essayer les diviseurs négatifs du dernier terme.

n • — I ± \/^ Racmes : — 2, — 4, •

{d) x^ — 30;^ — 80;^ 4" 24^^ — ga; -f- 27 = o.

Racines: 3, 3, — 3> ± |/— i-

Racines : 2, 2, 2, — 2.

— I =b |/— 3 Racines: 2, 5, — 2, — 7, •

(g) 2x'' + 4^^ — 59a;' — 6ia? -[- 30 = o.

« . ^ — I =t: 1/3 Racines : 5, — 6. -—^,

(/») â?'' 4- 28a?3 -f- 42iC2 — 3452a? JgQjg__Q^

Racines: 11, — 7, — 13, — ig.

Racines : -» -» zh 1/ — i .

T> • I 2—1 ±:l/i3 Racines: -» , — -•

(0 œ^'\-2x'' — 250;^ — 26a?^-f" II 60;'' — 8a?' -|- loox^ -\- 104a? — 480 = o

Racines: 2, 4, —3, —5, ±^2, dbj/-2.