DES RACINES

81. Avec les méthodes précédentes, il est toujours possible de ramener une équation à ne plus avoir que des racines incommensurables réelles, simples ou multiples. De plus, par la recherche du plus grand commun diviseur entre le premier membre et sa dérivée, on sait que Ton peut aussi débarrasser l'équation de ses racines égales. Dans la recherche des racines irrationnelles et complexes, il est donc permis de supposer que l'équation ne renferme plus que des racines simples. Cela étant, le problème de la

séparation des racines consiste à délerminer des intervalles qui renferment chacun une racine et une seule. Sa résolution exige de nombreuses substitutions de nombres dans un polynôme algébrique; comme ces dernières sont beaucoup facilitées et abrégées par les principes du calcul des différences, nous allons démontrer les formules fondamentales de ce calcul.

Soit une suite de n~\- i quantités rangées d'après une loi quelconque

Uoy Ui, U2y Uiy ... Wn l> Un.

En retranchant de chacune d'elles celle qui la précède, on obtient les n différences

Uq, U2 Wj, W| Uif

Un Un-l

que l'on désigne par la caractéristique A, et on écrit :

àUo = U\ îlQy Aui=U2 îh, AU2 = U5 Ui, ... àUn-l=Un — Wa l -

ce sont les différences premières des quantités données.

En appliquant à celles-ci le même mode de soustraction, on forme les différences secondes que l'on désigne par A^; ainsi, l'on a :

A'i^u = Ai^i — Ai^o, A'wi = Aw2 — Awi, ..., A'w«2=Awn i — Awn-a.

En retranchant encore chaque différence seconde de celle qui la suit, on obtient les différences troisièmes, et ainsi de suite. Remarquons que, si les quantités données sont au nombre de w + i, il y a ^ différences premières, n -— I différences secondes, n — 2 différences troisièmes, etc.; enfin, il ne restera plus qu'une seule différence de l'ordre n, et il n'y a pas lieu de s'occuper des différences d'ordre plus élevé. Lorsque la suite des quantités est indéfinie, l'ordre des différences peut toujours augmenter.

On dispose les différences en tableau comme nous allons l'indiquer. Pour fixer les idées, soient les quantités, Ut,, Wi, U2, Us, u^, u^; elles donneront lieu au tableau suivant où les colonnes renferment les différences des divers ordres :

Uo

Awo

A^uo

Ahh

A^uo

AHio

Ui

Awi

Ahh

A'ui

Ahh

AUi

AHh

Ahi2

Uô

Ath

A'ih

Aui

tls

Par définition, on a :

A»w, == A*î^2 — A^w, ; par suite

(a) . A*W2 = A«w, + A^ut

et

(j3) A'ui = Ahi2—à^Ui,

La relation (a) donne cette règle : Un nombre du tableau est égal à celui qui est au-dessus plus celui qui est à droite de ce dernier.

La relation ((3) donne cette autre règle . Un nombre du tableau est égal à celui qui est au-dessous moins celui qui est à droite du nombre considéré.

Il en résulte que, si l'on donne les six nombres de la première ligne horizontale, on pourra par la première règle reproduire tout le tableau.

8!6. Il est possible d'exprimer la différence de Tordre n en fonction des quantités de la suite. £n effet, on a successivement

Awo = Wi — ^o> Au{ = U2 — Uij AHia == Aut — Auo = W2 — wi — (ut — Uo) = Ui — 2Wi -\- Uo.

On aura aussi en augmentant l'indice d'une unité

A'Ui = Us — 2U2 -\- Uï ; par suite,

A'wo = A*wi — A'wo = Ws — 3^2 + 3^1 — uq\ de même

A^u,{ = W4 — 3^6 -j- 3tf2 — Ui,

et ces deux relations donnent encore

A*Wo = A^ui — A'i^o = Ux — ^ui -j- ^Ui — 4^1 -|- Wo.

En continuant ainsi, on arrive à cette loi générale : La différence de l'ordre p s'obtient en multipliant les quantités Up. Wp i. ..., Wi, Uo par les coefficients du développement de {x — a)p.

Si p=:n, on a la formule cherchée

A"Mo = Wn — ?lWn, +— -Un-.2 ^ ^ -Un-5 + '*' àzUo,

ou bien, sous forme symbolique

avec cette condition que dans le développement on doit mettre les exposants en indices et remplacer le dernier terme i par Uq,

93. Cherchons maintenant la formule inverse qui donne Un en fonction de Uq et de ses différences successives. On a, par définition

Wi = Wo -f- Ai^o, Awi = Awo + A^wo, U2 = u\ + At*i = {uo -|- Awo) + (Awo + A'wo) = Wo + 2A»io + A'wo.

De même,

par suite, il vient

m = a^ + Aî*2 = wo + sAi^o + sA'wo -]- A'woj ainsi que

Aws = Awo + 3A*«o -(- sA'î^o -f- A*wo;

d'où on tire encore

Ui = Us -{- Au5 = uo + 4 Aî^o -|- 6A^2^o + 4A'wo + A*wo.

En allant ainsi de proche en proche, on vérifie la loi suivante : Le terme Up

s'obtient en multipliant uo et ses di/féreiices successives jusqu'à àHio inclusivement par les coefficients du développement de {x -f- ay. Posons p = n; on aura, pour la formule demandée,

u„ = Uo + nàuo + ^ -à'uo A ^ — A'wo -\ H A*Wo,

et, symboliquement,

Un==(l + A)"Wo.

94. Il existe aussi une formule sommatoire donnant la somme de n quantités de la suite. Posons :

So = o, Si = Wo» 82 = uo-^r ui, Ss = ih~\'Ut'^ i^2,

s,, =• Wo -|- Wl 4-^2 -[- Ws, .-., Sn= Î^O-j- W| -{- W2 + ••• + Wrt|.

11 en résultera la nouvelle suite

So, Si, 02, S5 ..., S» avec la relation

Un-.l = Sn — Sn i = ASn-l î

par conséquent, en appliquant la formule précédente à cette seconde suite, et en tenant compte des relations

So = o, ASo = wo, A^So = Awo, A^So = A'--*Wo,

il vient

n{n-î) n{n — i) (n — 2) U An-',/«

HH. Nous allons faire une application intéressante de ces formules aux suites arithmétiques. On appelle ainsi une suite de quantités jouissant de cette propriété que leurs différences d'un certain ordre sont constantes. La série des nombres entiers, celle des nombres pairs ou des nombres impairs forment des suites arithmétiques du premier rang; car leurs différences premières sont constantes. La série des carrés i^, 2^, 3^ ..., forme une suite arithmétique du second rang; car, si on considère trois carrés consécutifs »', (a -\- I )% [a -f- 2)% ou bien,

il vient pour les différences premières

et la différence seconde est égal à 2, quantité indépendante de a. On prouve de la même manière que la série des cubes i', 2', 3^ etc. jouit de cette propriété que leurs différences troisièmes sont constantes; c'est une suite arithmétique du troisième rang.

Pour une suite arithmétique de rang k, les différences de l'ordre k sont constantes; par conséquent, celles de Tordre plus élevé étant nulles, les formules précédentes se réduisent à

. ^ï(^* — O^o , I ^(** — i)"»(n — k4-i) ^ (a,) ^i^=uo+7iàuo-\ A^wo-l 1 ^ — - — - — -^Hio,

(aj) Sn = nuo + — Ai^o + -^^ ^ ^ A'uo

Pour la suite des nombres entiers, i, 2, 3 ..., Auo = i, et il vient;

Sn=I~\~2-\-"''-\-7l = n

Pour la suite des carrés 1% 2^, 3^, ..., on doit poser: k= 2, Uo= i, Auo == 3, A'wo = 2. On trouve alors

Au moyen des quatre premiers cubes, i, 8, 27, 64, on obtient

Awo = 7, A-wo=i2, A'i^B = 6,

el la formule donnera :

, g n{n-^ i)(n— 2) (n — 3) 1.2.3.4 ou bien, en faisant les réductions,

et ainsi de suite.

86. Différences des fonctions entières. Si on développe la formule (z,) on trouve un polynôme du degré k par rapport à n de la forme

Un = Aon'' + A,;^''-' -| 1- Aa,

où le coefficient Ao a pour valeur

Au

par suite,

(|3|) A*wo = 1.2.3. ..A-.Ao.

Réciproquement, si le terme général d'une série de quantités est un polynôme du degré k en n, il faut que les différences de l'ordre k -\- i , A: + 2... soient nulles, el ces quantités doivent former une suite arithmétique de rang k.

Gela étant, considérons la fonction entière

u= Ao^'^ + A»^*^"' + AîO?*-'-! 1- Aa-,

et substituons à x les valeurs o, i, 2 ... ?i, n-\-if...; désignons par Uoi itii U2y ..., îtn, tin^i ... les valeurs correspondantes de la fonction. Le terme général iCn est un polynôme du degré k par rapport à 7ij el les résultats Wo, Wi, uj ... forment une suite arithmétique de rang A ; la valeur de la différence constante de l'ordre k sera donnée par la formule ((3i). Il en résulte qu'après avoir fait k substitutions et calculé les valeurs de

Auo, àhto, A^icoi ..., AhiQy on aura tous les nombres de la première ligne du tableau des différences, et, en le complétant, on pourra obtenir, par de simples additions, les valeurs de la fonction pour autant de valeurs de x que l'on voudra. Soit, par exemple, la fonction

F(a;) = ic' -f- 3-^' — ^ 7^ + 5-

Elle est du troisième degré, et il sera nécessaire de faire trois substitutions. Choisissons les plus simples

X = — I, x = Of x=i\

on trouve les résultats :

ils donnent, pour différences premières, — 19, — 13 et, pour différence seconde, 6; enfin, la différence troisième^ d'après la formule (j3i), est: I. 2. 3 == 6. Avec ces nombres, on forme le tableau suivant :

Après avoir écrit les nombres calculés dans la première ligne horizontale, on achève les diverses colonnes en commençant par l'avant dernière conformément à la règle : chaque nombre est égal à celui qui est au-dessus plus celui qui est à côté de ce dernier.

On complète également le tableau en remontant par cette seconde règle : chaque nombre est égal à celui qui est au-dessous moins celui qui est à la droite du premier. On trouve ainsi :

D'après ces deux tableaux, l'équation

^{x) = x^ -\- 33?^ — i^x-\- $ = 0 admet deux racines positives, l'une comprise entre o et i, l'autre entre 2 et 3,

puisque la colonne du premier qui donne les valeurs du premier membre accuse un changement de signe pour ces intervalles; elle possède aussi une racine négative comprise entre — 5 et — 6 comme l'indiquelesecond tableau; par conséquent, les racines sont séparées.

8 "7. Séparation des racines. La proposition de Sturm fournit une méthode assurée pour résoudre ce problème. Etant donnée une équation

on calcule la suite des fonctions (N® 59)

Si les limites des racines réelles ne sont pas trop éloignées l'une de l'autre, on substitue immédiatement les nombres entiers compris entre ces limites. Chaque fois que, pour deux substitufions consécutives, le nombre de variations dans la suite précédente reste le même, on est certain qu'elles ne comprennent aucune racine; quand une variation se perd, il y a une seule racine dans l'intervalle et elle est séparée; mais, dans le cas d'une perte de plusieurs variations, pour effectuer la séparation des racines, il sera nécessaire de substituer dans l'intervalle des nombres différant d'un dixième, d'un centième, etc., jusqu'à ce que, pour deux nombres consécutifs, la suite ne perde plus qu'une seule variation.

Lorsque les limites des racines sont des nombres très écartés l'un de l'autre par exemple, — 500 et -J- 500, il faut choisir pour les premières substitutions les nombres

Les variations perdues indiqueront ensuite dans quels intervalles il faudra faire des substitutions de nombres plus approchés.

Cette méthode est parfaite en théorie; mais, vu le calcul laborieux des fonctions de Sturm et des substitutions, personne ne l'emploie. Nous allons voir qu'on peut opérer cette séparation par le théorème des restes. Soient a et ft -[- I deux entiers consécutifs; si on fait les divisions successives relatives à ces nombres, il y a certainement une racine et une seule lorsqu'une variation se perd en passant de la première suite des restes à la seconde. Quand les racines diffèrent au moins d'une unité, les divisions relatives à o, i, 2 ... /, Z étant la limite supérieure des racines permettra de séparer les racines positives. Il suffit de s'occuper de celles-ci ; en changeant a; en — x, on appliquera le même procédé à la transformée. 11 arrive souvent

que plusieurs racines sont rapprochée» et, pour les sôparcr, il faudra considérer des nombres no dillÏTanl que d'un dixi^me ou d'un centième. Le cas auquel on est ramené finalement dans la pratique est celui où on constate une perle de deux variations. 11 s'agit de décider s'il y a deux racines dans l'intervalle ou aucune. Pour fixer les idées, admettons que cet intervalle soit (2,3). On commencera |)ar diminuer les racines de deux unités; soit (p(.c) = o, l'équation ainsi obtenue, ('elle-ci aura ou n'aura pas de racines comprises entre o et i. Par làtonnemenls, on Irouve facilement deux nombres ne dilTérant que d'un dixième et entre lesquels se perdent les deux variations. Remarquons, maintenant, qu'entre deux racines consécutives d'une équation, il y a au moins une racine de la dérivée. Celle-ci se calcule facilement par approximation dans chaque cas particulier. Soit « celte racine; entre o et a, il ne peut y avoir qu'une seule racine de (p(x) = o; si, en substituant a dans l'équation, il y a changement de signe du premier membre, l'existence des racines sera révélée; elles se trouveront dans les inlcrvallcs (o,a), (a,i) pour ré(|ualion 9(.t) => o. Si la même substitution ne change pas le signe de cp(.r), il n'y aura pas de racines entre o et i. 11 en serait encore ainsi, lorsqu'on trouve pour la racine a de la dérivée une quantité non comprise entre les limites. Ces deux dernières conclusions ne seront exactes, bien entendu, que si la racitie de la dérivée a été calculée avec une approximation sullisante. Dans certains cas douteux où, en substituant une valeur approchée de a, on trouve que (p(x) ne change pas de signe, on doit observer si le résultat de la substitution est voisin de zéro. Il pourrait arriver, en effet, que l'équation possédât deux racines ne dilTérant, par exemple, que par la cinquième décimale. Il faudrait alors pousser au-del.^ l'approximation de a pour les révéler.

On peut encore utiliser une relation que nous allons établir. Divisons F(.r) par X — a ainsi que le premier quotient obtenu. On aura

Hi(.t), R2(j') sont les quotients, tandis que R et U| représentent les restes; on sait que : R=F(rt), R, = R,(a). Multiplions la seconde équation par X — a et ajoutons ensuite membre h membre ; il viendra

V{x) = R + (a; — a) W , + (.r — a)' Rj {x).

Admettons que l'équation proposée possède des racines dans Tinter-

valle (a, b)y et soit h la quantité qu'il faut ajouter à a pour obtenir l'une d'elles; on aura : 'F {a -\- h) = o ; par suite,

R-\-I{ih + li'Ki{a-{-h) = o.

Supposons, maintenant, qu'en étudiant la variation de RaCx) entre a et h, on trouve que la condition

est toujours satisfaite; dans ce cas, la relation précédente ne pouvant être vérifiée par une valeur réelle de A, l'équation n'admettra pas de racines dans l'intervalle.

Premier exemple. Équation : x' — yx ■-{- y = o.

Les divisions par x — i donnent pour la suite des restes

I, —4» 3, Itandis que les divisions par x — 2 conduisent à des restes tous positifs; il y a donc une perte de deux variations entre i et 2. La suite précédente fournit la transformée

où les racines sont diminuées d'une unité. On en déduit pour l'équation dérivée

qui admet une racine égale à 0,5 environ; or. cette valeur substituée dans o{x) donne : 9(0,5) = — .

Donc (p(j") = o possède une racine entre o et 0,5 et une autre entre 0,5 et I. Pour la proposée, les racines se trouvent dans les intervalles (i, 1,5), (1,5. 2).

Secojid exemple. Équation : gx^ — 2Jl^x^ -\- i6x — 0,001 = o. Les divisions par x — i donnent

Pour le nombre o, il y a trois variations comme l'indique le premier membre; pour le nombre i, il n'y a plus que deux variations dans la suite

des restes; par suite, il y a une racine dans l'intervalle (o, i). Les divisions pour le nombre 2 conduisent à des restes tous positifs et deux variations se perdent entre i et 2. Afin de décider s'il existe des racines, écrivons d'abord l'équation où les racines sont diminuées d'une unité; ce sera, d'après le dernier tableau,

q,(x) == gx^ + 3a;' — ^x + 0,999 = o- On a, pour l'équation dérivée,

27^' + 6a; — 5 = 0; elle possède une racine voisine de 0,33 ; or, si on divise (p{x) par x — 0,33, on trouve cp(o,33) = — o, 033. II y a changement de signe; donc deux racines respectivement dans les intervalles (o, 0,33), (0,33, i), et, pour la proposée, dans les intervalles (i, 1,33), (1,33, 2).

Troisième exe?nple. Équation : x^ -\- 3a?' — 2a? -]" ^ = o» Les divisions par x — o ou x donnent pour restes les coefficients de l'équation. On a donc

D'un autre côté, les restes des divisions par x — 0,5 sont tous positifs et deux variations se perdent en passant de o à 0,5. Si on désigne par h une racine, la condition (k) est ici

4 — 4R2(/i)<o, ou i--R2(/î)<o,

avec B.2(h) = ^* -f- 3 ; mais, si h varie de o à 0,5, cette condition est toujours satisfaite. Donc l'équation n'admet aucune racine dans l'intervalle considéré.

Quatrième exemple. Equation : x* -\- o,6yx^ — 0)59^ -|- o» 1 1 ==0. On trouve sans difficulté qu'il y a une perte de deux variations dans les restes pour les nombres 0,3 et 0,4. Les divisions par x — 0,3 donnent :

R=: 0,0014, Ri == — 0,08, R2(a?) = a?2 -|-o, 6a; -j- 0,94.

On en déduit pour la condition (k)

Or, pour /i = o, on a : Ra(o,3) = 1,21 et la condition est vérifiée ; elle le sera pour tout l'intervalle puisque la fonction R2(a;) est croissante avec x. L'équation proposée ne possède donc aucune racine entre 0,3 et 0,4.

Cinquième exemple. Equation : a?'* -j- 0,675?^ — 0,59043? + 0,11 =0.

Cette équation bien peu différente de la précédente conduit à une perte

deux variations enln

; 0,3 et 0,4. Les

divisions par x — 0,3 donnent :

Pour le nombre 0,4, tous les restes sont positifs. L'équation aux racines diminuées de 0,3 est

cp(a?) ==a?'' -}- 1,20?' -j- 1,2 la?^ — 0,08a? -[- 0,00128 = 0. Les racines étant très petites, on peut prendre pour l'équation dérivée