X I>2IX
On en lire a' = o,03. En divisant ®(a?) par x — 0,03, on trouve (p(o,03)= — • Il y a changement de signe; donc, deux racines pour la proposée Tune entre o>3 6t 0,33, et l'autre entre 0,33 et 0,4.
Sixième exemple. Équation : a?* ~|- 40a;' -|- 185a;' — 198a?-]- 48 == o.
On vérifie facilement que deux variations se perdent entre o et i et ensuite, entre 0,4 et 0,5. Avec les divisions par x — 0,4, on a le tableau
En diminuant les racines de 0,4, ces résultats fournissent l'équation
par suite, on a, pour l'équation dérivée,
2 X 233»96^ — 3^*55 + 3 X 41 >6^* +4^' =0» En négligeant les deux derniers termes, il reste
d'où on tire x = 0,065, valeur trop grande pour la racine de la dérivée; en remplaçant dans les deux derniers termes x par cette valeur, l'équation dérivée donne encore x =» 0,0641, valeur beaucoup plus approchée mais trop
petite. On est ainsi amené à substituer, dans 9(:i), le nombre suivant 0,0642 et on trouve effectivement 9(0,0642) = — . Donc l'équation proposée a deux racines dans l'intervalle (0,4; 0,5); l'une un peu plus petite que 0,4642 et l'autre un peu plus grande.
Septième exemple. Équation : 70X* — 140a:' -|- 9^^^ — 20a; -(-1=0.
Les divisions successives pour les nombres o, 0,1, 0,4, 0,7 et i donnent pour la suite des restes
Toutes les racines sont donc réelles et séparées par les nombres du tableau.
Huitième exemple. Équation : x'^ -{- x^ — x^ — x^ -\- x"^ — a>-\- i =0.
On constate sans peine qu'il y a une perte de quatre variations entre o et i . Les divisions par x conduisent aux valeurs :
R=:i, R| = — I, Ra (o;) = ac* + x^ — x^ — x-\-i.
On trouve ainsi pour la condition (A)
I — 4Ra(/i)<[o.
Elle aura lieu si K2(h) est plus grand que 0,25. Or, en substituant 0,1, 0,2, etc. dans R2(ac), on trouve que R2(/i) est toujours supérieur à cette fraction entre o et i ; donc, l'équation ne possède aucune racine réelle positive. En changeant x en — x, il y a aussi une perte de deux variations entre o et i, et on démontre de la même manière que la condition précédente a encore lieu. Il en résulte que l'équation proposée a toutes ses racines imaginaires.
Neuvième exemple. Equation : x^ — 5^^*-- 16x^-1- 120:^ — gx — 5 = 0.
Elle conduit à une perte de deux variations entre o et i ; mais, on vérifie facilement que la dérivée conserve le même signe entre ces limites et l'équation ne peut avoir deux racines entre o et i, puisque la dérivée ne s'annule pas dans cet intervalle.
88. Séparation des racines imaginaires. Cette séparation s'opère par la proposition de Cauchy (]S<* 67) appliquée à certains contours particuliers. Soit
7{z) = 9(x, ?/) + ^ {x, y) \/-- 1 = 0 l'équation donnée. D'après la notation admise dans la démonstration de ce
théorème, on a
Fig. 6.
Considérons un contour rectangulaire ABCD dont les côtés sont parallèles aux axes. Désignons par
(CD) X = Xo, (AB) X = Xi , (AD) 1/ = 3/0, (BC)y=2/i, les équations des côtés. Pour les côtés CB et DA, y est constant tandis que x varie de Xo à Xi. Or, si on ordonne P par rapport aux puissances décroissantes de y, cette fonction conservera toujours y le même signe que son premier terme lorsque y est très grand. Donc, en admettant que ces côtés se transportent à l'infini, l'excès à relatif à ces côtés sera nul. Cela étant, il reste à calculer l'excès pour AB et CD.
Pour la parallèle AB, on a
P^(p(xt,3/) Q "^(Xi.y)
où y doit varier de — oo à -j- oo ; appelons ài l'excès relatif à AB dans ces conditions.
Pour la parallèle CD, il faut prendre
P(p(xo, y)
Q"~'4^(xo, y) et faire varier ?/ de -j- oo à — oo puisque le contour est parcouru à partir de A vers B, C, D. L'excès pour CD est égal et de signe contraire à l'excès de DC, c'est-à-dire, du même côté parcouru et sens opposé, et, par conséquent, dans l'hypothèse ou y varie de — oo à -|- oo au lieu de -J- oo à — oo ; soit ^o l'excès relatif à DC, et ^ le nombre de racines comprises dans le contour ; on aura
di — (5o jU, = •
Si fji = I, il ne renferme qu'une racine ; elle sera séparée et sa partie réelle comprise entre Xo etxi. Si^u, est plus grand que l'unité, il faudra mener des parallèles intermédiaires jusqu'à ce que l'on trouve m = i; ce qui arrivera nécessairement à moins que plusieurs racines ne possèdent la même partie réelle.
En supposant que les parallèles CD et AB aillent à l'infini tandis que les autres côtés restent à distance finie^ on pourrait également déterminer les limites i/o et 2/1 qui comprennent le coefiîcient de \/ — i dans la racine.
RACINES INCOMMENSURABLES. MÉTHODES d'APPROXIMATION.
8». Méthode de Newton. Désignons par a ^ih, h étant plus grand que a, deux nombres connus qui comprennent une seule racine incommensurable de l'équation
Soit h la quantité positive qu'il faut ajouter à a pour avoir la racine exacte;
on aura, par hypothèse
F(ft-j-/i) = o, ou bien (N*^ 58j
F(ft) + hW{a) 4 r\a + GA) = o,
Q étant une quantité comprise entre zéro et l'unité. On en déduit
On doit admellre que les limites a et h diffèrent au plus d'une unité de telle sorte que h est fractionnaire. Dans une première approximation, on néglige le terme qui contient h^ et l'on prend pour l'inconnue h la valeur
De même, si on représente par h — k la racine exacte, k étant une quantité
positive, il viendra
F(6--A:) = 0, ou
k^ F(&) — kr[b)-\ r'{b — e'k) = o,
Q' étant aussi compris entre zéro et l'unité. On en tire
F (6) k' r^jb-^e^k)
Désignons par Ai la valeur de A lorsqu'on néglige le second terme; on aura
D'après les formules (j3) et ((3'), on doit prendre^ pour la racine, a -j- h\ ou b — Al ; mais il est nécessaire d'indiquer si les formules précédentes con-
duisent toujours au but proposé qui est d'obtenir une valeur plus exacte que celle du point de départ. D'abord il faut que hi et A| soient des quantités positives, et, par conséquent, que F{a) et F'(r/) soient de signes contraires, et F(6) de même signe que F'(6) ; ce qui aura lieu généralement, si les limites sont assez rapprochées, car on sait qu'un peu avant que ./ passe par une valeur racine de l'équation, F (/) et F'(j?) sont de signe différent et un peu après de même signe. Celte condition est nécessaire, mais elle ne suffit pas pour affirmer que a-\- hi ou b — kt sont des valeurs plus exactes. En effet, si, dans la formule (a), F"(a-)- 6/i) est de signe contraire à F(a), le second terme est négatif tandis que le premier est positif; la correction hi est plus grande que h, et la valeur a -\- hy pourrait devenir égale à b ou plus grande que b. Il faut donc que F"(«-|- G/i) soit de même signe que F(rt); alors seulement A| est plus petit que /<, et la valeur a -\- hx étant comprise entre a et a -\- h, sera certainement une racine plus exacte. La même observation s'applique à l'équation (a'); il faut que F"(6 — Ô'Â) soit de même signe que Y[l>) pour que b — ki soit, sans aucun doute, une valeur plus approchée de la racine.
11 y a toujours une des deux formules qui fournira l'approximation voulue, si les limites sont assez resserrées pour que F" (a?) ne change pas de signe dans l'intervalle de a à b; car, lorsque la valeur /<i ne convient pas, W{a -\-^h) est de signe contraire à F (a) ; mais alors, dans la formule (a'), Y"{b — B'k) est de même signe que F(^), puisque F(^') change de signe en passant par zéro ; donc la valeur de ky donnée par (|S') est celle qui convient, et 6 — Ai sera la racine approchée.
Ces diverses observations conduisent à la règle suivante : Etant données deux limites aetb, b^ a, qui comprennent une racine incommensurable de l'équation F(j:') = o, 5/ elles sont telles que ¥"{x) ne change pas de signe dans Vintervalle^ on obtiendra avec certitude une valeur plus approchée par la formule
Fj£)
en remplaçant z par celle des deux limites qui rend F(x) et F"(j') de même signe.
En supposant que a est la limite convenable, une première application de la méthode donnera la valeur
plus approchée que la limile a. Une seconde application avec a' donnera ' également la valeur
plus approchée que la précédente. On continue ainsi avec chaque valeur que l'on vient d'obtenir et, comme les conditions restent les mêmes, l'approximation avance de plus en plus vers la racine exacte.
Il est utile de calculer, par excès, l'erreur e commise en prenant
F'(«) pour la valeur de x. Cette erreur est représentée par le terme négligé
Soit M le maximum de F"(.r) dans l'intervalle de a et />. En remplaçant h par h — a, il vient
s. M ^^ ' 2F' (aj
Souvent les limites employées diffèrent d'un dixième; dans ce cas, si
l'erreur sera plus petite qu'un centième; après une seconde application, elle sera inférieure à une unité du quatrième ordre décimal, etc. Afin d'indiquer la marche à suivre, considérons l'équation
On constate sans peine par la méthode des substitutions qu'elle possède trois racines réelles comprises respectivement dans les intervalles ( — i, — 2), (0,1), (4,5). Calculons d'abord par approximation la dernière. Avant d'appliquer la formule, il est avantageux de connaître la racine à un dixième ou à un centième près; plus les limites sont resserrées, plus on peut espérer que les conditions indispensables seront remplies. En divisant F (a?) par X — 4,2, X — 4,3, on trouve pour les restes
La racine est donc comprise entre 4,2 et 4,3. Les dérivées étant
on cherche leurs valeurs pour j = 4,3; on obtient :
Il faut donc employer la limite supérieure 4.3 qui rend F(./) et F"(j) de même signe. On aura^ pour la première correction,
, F(4.3) o>947 F'(4,3) 19,07 avec une erreur inférieure à
(o,iy^l'^° <o,oi.
Il en résulte la valeur approchée
^ = 4,3 — o>049^ 4*251 à un centième près. On sait que la correction Ai est trop petite, et cette valeur de x est supérieure à la racine; celle-ci est donc comprise entre 4,24 et 4,25.
La seconde correction est :
A:' ==— r -== = 0,0008 çq;
par suite,
c'est la racine approchée à un dix-millième près.
Enfin, si l'on veut une approximation plus grande, on calcule encore une dernière correction avec cette valeur; on trouve
p' = ^^' ^^ ^ ^ ===— j^jj -^^0^00000046187,
et, pour la racine
D'après ce dernier calcul, la valeur précédente était exacte jusqu'à la cinquième décimale; on peut affirmer que celle-ci renferme neuf décimales certaines.
Cherchons, en second lieu, la racine comprise entre o et i . On a :
La racine doit être plus près de l'unité que de zéro. En divisant F(a') par X — 0,8 et a? — 0,9, on trouve
Les liniites de la racine seront donc 0,8 et o,g; comme la seconde rend F{x) et F"(j?) de même signe, c'est elle qui doit servir dans les opérations. La première correction est :
Al ==— ^ — — == = 0.046,
et, par conséquent^
Si on remarque que F" (0,9) = — 2,6, il vient pour l'erreur
la valeur de x est exacte à une unité près du troisième ordre décimal. Une seconde opération donne
par suite,
et cette valeur est exacte à une unité près du sixième ordre décimal.
Enfin, par une troisième opération, on trouve que la racine est, avec neuf décimales certaines, ^ = 0,8536345 1 1 .
Si l'on veut calculer la racine située dans l'intervalle ( — i, — 2), ilest préférable de changer j? en — x dans l'équation pour opérer avec des nombres positifs. L'équation est alors
On a
La racine doit être voisine de l'unité. Si on divise F(^) par x — 1,1 et X — 1,2, les restes donnent
Ainsi 1,1 et 1,2 sont les limites de la racine, La dérivée seconde étant positive, on prendra la dernière pour calculer la correction ; on trouvera
ce qui donne
^' ==ÏT7 ^ = =0,091 ;
dont les deux premières décimales sont définitives, comme on peut le vérifier par le calcul de l'erreur.
En continuant comme on Ta fait pour les racines précédentes, on arrive finalement à la valeur a?= 1,102775049, dont les neuf décimales sont exactes.
En changeant le signe, la troisième racine de l'équation proposée sera x = — 1,102775049.
Comme vérification, si on fait la somme des trois racines, on trouve qu'elle est égale à 4, comme cela doit être d'après le second coefficient de l'équation,
