Nouvelle méthode d'approximation. Soit
une équation ayant une racine incommensurable entre a et ^, a<^h. Posons : X == a -{- h et désignons par R, R|, R2, ..- Rm les restes des divisions successives de VÇx) par x — a. On aura (N» 45)
¥(x) = ^m{x^a)"'+Km-i(x—ay^-'-\ l-R2(us'~a)2+R,(a;-a) + R = 0;
mais, X — a = h; en substituant, il viendra, pour calculer la correction h, la relation
Rmh^ 4- Rn^-i/i'"-' -\ h R2/i» + Ri/^ + R = o.
Posons :
H = Rs/i' + R,h* + ••• + Rn./r.
On aura
d'où on tire la formule
Par hypothèse, h est fractionnaire; nous admettrons, par exemple, que la racine est connue à un dixième près. Dans une première approximation, nous pouvons alors négliger H qui renferme h^ en facteur et prendre la formule
pour déterminer la correction approchée hi. La méthode consiste à remplacer au second membre li par une valeur plus petite et une valeur plus grande que la correction totale. Par exemple, on commence par A == o et A = 0,1. Les valeurs qui en résultent pour ht seront l'une trop grande et l'autre trop petite; on prendra la moyenne pour une première valeur approchée. Si l'on
n'arrive pas ainsi à obtenir h avec deux ou trois décimales définitives, on fait une autre substitution analogue avec des valeurs plus exactes; il en résultera une nouvelle moyenne plus approchée que la première. Admettons qu'on ait ainsi trouvé la valeur de la correction avec trois ou quatre décimales; afin d'aller plus loin, on calcule approximativement le polynôme H avec cette valeur; H étant connu, on agira avec la formule (a) comme avec l'autre, pour arriver successivement à des moyennes de plus en plus exactes. Cependant il est préférable, après avoir trouvé ht avec quelques décimales, de diminuer les racines de l'équation en h de cette quantité. On déduira de la transformée une formule analogue à (a) dans laquelle, h étant, par exemple, inférieur à un millième, on pourra négliger le nouveau polynôme H comme n'ayant pas d'influence sensible sur les résultats, tout au moins jusqu'à huit ou dix décimales suivant les cas.
La seconde limite conduit également à une formule d'approximation. Posons x = b — /î, et appelons S, S», Sa, ...Sm les restes successifs des divisions par x — b. On aura aussi
S„,(^ — b)"* + S,n i{x — b)'--' -] 1- ^2{x — by + S,(x- — ft) + S = o.
Remplaçons x — b par — k et supposons m pair; on aura
S,nA:'" — Sm-ik"'-* -] 1- S2A;' — S,A- + S = o.
Posons :
K = — Stk' + S,k' -I \- S„,Â;-;
il viendra
d'où
et, pour la correction
partielle
s, — Sîk
On opère avec cette formule comme avec la première.
Afin d'apprécier l'exactitude d'une moyenne, désignons par a et |3 deux
valeurs obtenues Tune trop grande et l'autre trop petite; posons: m = >
et considérons les deux suites de grandeurs croissantes
a, fiy m, p; a, niy h, (3;
dans la première, la moyenne est supposée plus grande que la correction totale h] la différence entre la moyenne et h est inférieure à
a + 3 Qr-a
Dans la seconde, la moyenne est plus petite que h et son écart avec la correction est inférieur à
a -|- (S ^ Cf. — 13
Donc, l'erreur d'une moyenne est, en valeur absolue, inférieure à la demi-différence des valeurs employées.
Cette méthode ne demande aucune condition spéciale sur les dérivées par rapport à l'intervalle {a, b); il est également indifférent de se servir de la première limite ou de la seconde. Nous allons en faire quelques applications et montrer qu'elle conduit plus rapidement au résultat que la méthode de Newton.
Premier exemple. Nous avons vu que l'équation
possède une racine entre 4,2 et 4,3. Si on fait les divisions par x — 4,2, on trouve que la correction h satisfait à la relation
h^ + 8,6/^2 |- 1 7,32/^ — 0,872 = o. En négligeant /i% il vient la formule
ht = •
Pour h = o, hi = 0,05 valeur trop grande; pour h = 0,05, Ih = 0,049 valeur trop petite ; on s'arrête à cette dernière pour diminuer les racines li de 0,049. Ce qui donne le tableau
0,049 I 8,649 i7'7438 (— o»oo255375i)
(I) D'où résulte cette seconde formule
Pour h = o, on trouve
=0,00014054; tr. gr.
Avec ce résultat, on obtient encore
=0,00014053, Ir. I).
Moyenne: 0,00014053; la racine sera donc 4,24914053 avec huit décimales exactes.
On aurait pu également prendre la formule
et calculer h^ approximativement avec la première valeur trouvée 0,049. La formule devient alors
Elle donne successivement
= 0,0491404, tr. p.
= 0,0491406, tr. g.
Moyenne des deux dernières valeurs ; 0,0491405; c'est le résultat qui précède avec une décimale en moins.
Cherchons encore la même racine en employant la seconde limite 4,3. J Les divisions par^ — 4,3 conduisent à l'équation
k^ — 8,gk- + ig.oyk — 0,947 = o,
après avoir changé le signe du premier membre. D'où résulte la formule approchée
lies substitutions A; = o et A= o,i donnent : Ai = 0,04g, ki = 0,051 ; avec ces valeurs, on trouve encore
= 0,0507, tr. |).
0,0509, tr. g.
Moyenne : 0,0508. Diminuons les racines de l'équation en k de 0,05. On aura le tableau
Il en résulte la nouvelle formule
On trouve successivement
0,0008592, tr. p.
= 0,0008595, tr. g.
= 0,000859461, tr. p,
= 0,000859462, tr. g.
Moyenne : 0,0008594615; en y ajoutant le résultat précédent, il vient : A = 0,0508594615. Si on retranche cette quantité de la limite 4,3, on trouve
et il n'y a de doute que pour le dernier chiflFre.
Second exemple. L'équation
x^ — yx-\-y = o
admet une racine comprise entre 1,3 et 1,4. Les divisions du premier membre par X — 1,3 conduisent à la relation
On en tire
Ai =
i»93 --3»9'* Pour h = o et h = 0,1, on trouve /i, = 0,05, /i, = 0,06. Il vient
ensuite
0,056, tr. p.
0^057, tr. g
i>93 — 3>9 Xo,o6
Moyenne : 0,056. Diminuons les racines h de cette quantité. On forme le tableau
(0 On en déduit la formule
Elle donne successivement :
= 0,000896, tr. g.
= 0,000895863, tr. p.
= 0,000895869, tr. g.
Moyenne : 0,000895866; la racine sera, par conséquent,
•^= 1*356895866, dont les huit premières décimales sont exactes.
Troisième exemple. On vérifie facilement que l'équalion
possède une racine entre 2 et 2, i . Les restes des divisions par x — 2 donnent
la relation
^ /i^ -\- 6h^ + lo/i — I = o.
D'où la formule approchée
hi = ; •
