j- 0,6 [Pour h == 0,094, ^* y'^G
= 0,0946, tr. g.
Moyenne : 0,0945, Diminuons les racines de l'équation en h de 0,094, On aura
Ce tableau donne la formule
qui déterminera la correction jusqu'à la neuvième décimale au moins. On en déduit pour h = Oj et h = 0,00 1 ,
Moyenne: 0,0005514. Enfin, en substituant ces dernières valeurs, on
arriverait à
kl = 0,00055148154
avec onze décimales exactes. La racine cherchée est donc
Qimlrième exemple. Nous avons vu (N» 87) que l'équation
70a?* l^OX^ -\- gOX^ — 203? -|- I = o
a toutes ses racines réelles; l'une d'elles est comprise entre o et 0,1. En divisant le premier membre par x — 0,06, et x — 0,07, on trouve des restes désigne différent; la racine se trouve donc dans l'intervalle (0,06, 0,07). Désignons par h cette racine ; on aura
En négligeant les deux premiers termes, on en déduit la formule approchée
lu= -.
Posons: h = 0,06; on trouve, hi = 0,069 valeur trop petite; mais comme h ne peut dépasser 0,07, il faut s'arrêter à cette valeur. Pour aller plus loin, il faut diminuer les racines de l'équation en h de 0,069, ^^ former le tableau :
0,069 70 — 135,17 80,67327 — 14,43354 (0,00408543847) 70 - 130,34 71*6798 (— 9,487634) 70 —125,51 (63,0196) 70 ( — 120,68) (70) Il donne la formule
h = 0,00408543847 9,487634 — 63,02/1 Elle conduit successivement aux -résultats suivants : 0,00408543847
= 0,000431, tr. p.
-=0,000433 tr. g.
= 0,000431840 tr. p.
= 0,000431848 tr. g.
Moyenne : 0,000431844, et la racine cherchée sera
il n'y a de doute que pour le dernier chiffre.
91. Méthode d' Borner. Soit F(^) = o une équation ayant, par exemple, une racine irrationnelle comprise entre 2 et 3. Diminuons les racines de deux unités en formant la transformée par la règle connue (N" 45). Ueprésentons-
la par
F, {x) = Boic'" + B.ic"»-» ~\ \- ^^,x -f B,„ =: o.
Cette nouvelle équation admet une racine dans l'intervalle de o à i ; ce sera un certain nombre de dixièmes en négligeant les autres décimales. Pour déterminer ce nombre, on supprime les termes renfermant les puissances de a? supérieures à la première. 11 reste ainsi l'équation approchée
^m-\X -J- Bm = O ; d'où
Bm
La division donnera le chiffre des dixièmes de la racine.' Soit 5 ce chiffre. On diminue, en second lieu, les racines de l'équation précédente de 0,5; l'équation transformée
F2(^) = C^x^ + Giic-'»-' 4- ... -1- C„.,a? + C„. = O admettra une racine comprise entre o et o, i . Afin de la déterminer, on prend l'équation
y-tm—iX -p \jm = O
qui fera connaître le chiffre des centièmes de la racine. Soit 3 ce nombre. On diminue encore les racines de F2(a?) = ode 0,03 et l'on arrivera à une troisième transformée qui permettra de déterminer le chiffre des millièmes de la racine; ainsi de suite.
S'il arrivait que le calcul donne un chiffre trop élevé, on en s'apercevrait par le changement de signe du dernier terme de la transformée. Si le chiffre était trop petit, on s'en apercevrait bien vite dans la suite des opérations ; car, supposons, par exemple, que l'on trouve 4 au lieu de 5 pour le chiffre des dixièmes; dans la transformée suivante qui conduit au chiffre des centièmes, on devrait trouver un nombre plus grand que 9, puisque la racine est trop petite que dix centièmes.
Un exemple fera mieux comprendre la suite des calculs que celte méthode exige. Considérons l'équation
F {x) = x'^ — 40;^ — 2ic 4" 4 = ^
Nous avons vu précédemment que ses racines sont comprises dans les intervalles (o,i),(4,5),( — I. — 2). Calculons d'abord la première. Elle est située entre 0,8 et 0,9. Diminuons les racines de 0,8. Les divisions successives qu'il faut effectuer par x — 0,8 donnent les résultats suivants :
Les derniers nombres des lignes horizontales représentent les restes; ce sont les coefficients de la transformée, savoir ;
F, (œ) = x^ — i,6a?^ — 6,48.r -|- 0,352 = o, d*où l'on déduit, pour le chiffre des centièmes,
La racine devient ainsi : x = 0,85.
Diminuons les racines de Fi (a?) = o de 0^05. On formera le tableau :
La seconde transformée sera :
d'oii on tire
par suite, x = 0,853.
Diminuons les racines de ¥-j{x) = o de 0,003. On aura le tableau : I —1,45 —6,6325 0,024125 0,003 I — i»447 —6,636841 0,004214477 I —1,444 —6,641173
d*oîi résulte la transformée
f.(^x) = x^ — 1,441 'ï' — 6,64 II 73. r 4-0,004214477 = 0
qui donne
et, par conséquent, j?=a 0,8536.
Diminuons les racines de V^ix) = 0,0006. On forme le tableau :
et la transformée correspondante
conduit à
Fi(x) =:x'' — 1,44^^ — 6,64290^)? 4" 0,000229254 = G
par suite, x = 0,85363.
Il faut remarquer que, dans le tableau précédent, le dernier nombre de la première ligne possède neuf décimales. On multiplie dans les divisions par 0,0006; on peut négliger les derniers chiffres pour ne pas augmenter inutilement le nombre de décimales.
Diminuons, enfin, les racines de F4(j^') == o de 0,00003. On aura le tableau :
d'où résulte la transformée
F5(ip) = ic' — 1,4^^ — 6,6430a? 4" 0*000029966 = o. Pour former le tableau suivant, il faudrait multiplier par un nombre à six décimales ; ce qui ne changera pas les coefficients des deux derniers termes si
ce n*est de quelques unités du onzième ordre décimal ; on doit donc s'arrêter ici et faire la division jusqu'à la neuvième décimale. On trouve
Donc, la racine avec neuf décimales exactes sera : x = 0,8536345 1 1 . En appliquant la même méthode pour déterminer la racine comprise entre 4 et 5, on trouve, pour les diverses transformées :
F, (x) = x'^ -\- Sx^ + M^ — 4 = 0»
Fs {x) = x^ -\- 8.72a?* -j- 18,0128a? — 0,165376 = 0,
Fe {x) = x^ -|- 8,70?^ -|- 18,1724a? — 0,000009778 = o.
Elles conduisent successivement aux valeurs
— o.nnooooc
La racine a donc pour valeur o? ^= 4,249140538.
Pour déterminer la racine comprise entre — i et — 2, on change d'abord 0? en — 0? dans l'équation, et il vient :
On forme, comme précédemment, les diverses transformées et l'on arriv^ à la valeur 0? = — 1,102775049.
0!8. Méthode des parties proportionnelles . Soit F(a?) = o une équation qui admet une racine Xi comprise entre les nombres ai et aa. Posons
içi ==» «1 -J- /i|, Xt=a2-\-h2.
On aura
h* F(a,) = F(a;, — hi) = F(iP,) - /t, F'(j?,) -}- — ^ F"(a;,)
Mais F(j?j) = o, puisque iPi est racine; de plus, dans l'hypothèse où les limites ai et «2 sont très rapprochées, hi et /12 étant des quantités trèspetites, on peut écrire
F(a,) = — hiF'iœt), ^{a^) = - /i2F'(^,);
par suite, il vient
F(ai)^/i. ^
F ((la) /^2
Cette relation renferme le principe de la méthode qui consiste à regarder
les résultats comme proportionnels aux corrections . Plus les limites seront
resserrées et plus cette proportion sera exacte; En remplaçant hi et h2 par
leurs valeurs, on a
F(aj) Xi — fti F(a») Xi — «2 ' d'où on tire
«2 F(a,) — tt) F(ft2) (dt — ai)F(fti)
^' = F(tt,) - F(aO = ^' + F(ft,) — F(«2) '
Soit 6 cette valeur approchée dea?i; on prendra pour nouvel intervalle, soit («1, 6), soit (&, ^2), et on appliquera de nouveau la formule.
Un exemple indiquera la marche à suivre en pratique. Proposons-nous de trouver la racine de l'équation
comprise entre 4 et 5. On aura d'abord,
a, = 4, F(ft,) = — 4,
«1=5, F(ft2)= 19,
En second lieu,
En troisième lieu,
a, = 4,2, F(ai)= —0,872,
En quatrième lieu,
a, = 4,2491, F(ai) = — 0,00073667,
C'est la valeur de la racine avec sept décimales exactes.
