ÉLIMINATION
ÉQUATIONS LINEAIRES.
03. Cas général. Considérons d'abord un système de n équations à n inconnues
CilXt +biX2-\-CiX5 -}-.•• -{-liXn =pi, a2Xi -\- biX2 -{- C2Xs -\- ' • -\-f'2Xn'=Pit
ttnXl -{- bnXi -)- ^n^i -(-... -|- l^Xn =Pn'
Désignons par A le déterminant des coefficients des inconnues, c'est-à-dire,
A =={aib2Cs ... In).
La résolution du système (i) s'opère très-élégamment par l'application djs propriétés des mineurs d'un déterminant de Tordre n. Multiplions respectivement les équations par les premiers mineurs Ai, As, ..., A« relatifs aux coetîîcients de Xi, et ajoutons ensuite membre à membre; il viendra
(ai Al -j-ttaAz -\ ■i-ankn)xi -{-{bi\i-\ -{-b^^p) X2 -\- •••
= /)iAi -I-ÎO2A1 -| +;)nA„.
La première parenthèse est égale à A, et toutes les autres sont nulles. On arrivera à un résultat analogue, en multipliant successivement par les premiers mineurs correspondant aux coefficients des diverses inconnues, et en
ajoutant ensuite toutes les équations. Il vient ainsi le système suivant A. Xi =piAi +;)2A2-| +p«An,
(2) à,Xs ^=piCt -\-piCt -\ \-pnCn,
Les valeurs des inconnues qui satisfont au système (i) vérifient le système (2); or, ce dernier donne immédiatement l'expression d'une inconnue sous la forme d'une fraction ayant pour dénominateur A et, pour numérateur, le même déterminant dans lequel les coefficients de l'inconnue sont remplacés par les termes tout connus.
Réciproquement, les valeurs des inconnues qui satisfont au système (2) vérifient également le système (i ) ; multiplions, en effet, les équations (2) par tti, 61, ...yl\f et ajoutons-les membre à membre; on trouve, en ordonnant par rapport aux quantités p^
A (a,a?i +6ia?2 -f \- hXn) = p\{aih.i +61B1 + \- /iL.)
-\-p2{ax\i-\- •■' -{-lx\ji)-\- •• . . . . c'est-à-dire,
aiXx-{-hiX2~\- ' -\-Uxn = p\\
c'est la première équation du système (i). On retrouve aussi les autres équations de ce système, si on multiplie les égalités (2) par ctz, &2» ../a; ^3, 63, ... ^5, etc., et si on les ajoute membre à membre comme on vient de le faire.
94. Cas oii le nombre des équations est inférieur à celui des inco7inues. Considérons, en second lieu, le système
«1^1 -\-h1X2 -\ \'lxXn -\-piXnJ^\ -f- ••• -\-riXn^fj. = S\i
y V a^Xi -\rhtXi-\- \-l2Xn-\- PîX^^X -\ \-r2Xn^fJi = S2,
anXi -\- bnXi + •• • + ^nXn + P^^n+l H 1" rnXn+fj. = 5«,
qui renferme n équations et n -f- p. inconnues. Posons
A = (aibtCs ... In),
et
aiXi -\-biX2-\- \-l^Xn='Si PiXn^x ••• ~-riXn^l^= TTi,
aiX , -j- b2X2 -\- \- hXn = S2 — p2Xn^x • rzXn+fi = 712,
UnXx -|- bnXi -|- ... -^ l^Xn = Sn — P^Xn-^-i — ••• r„X„+;x = ?:„.
En multipliant successivement ces équations, comme on l'a fait dans le premier cas, par les premiers mineurs de A correspondant aux coefficients des inconnues du premier membre et en ajoutant, on trouve
A.aJi = 7r,A| -|- ttzÂz + ••• + ^n^»>
A.a?2 = TTiB, -f-TTaBaH [- TlnKj
Les valeurs de iPi, iP2, ... a?n fournies par ces égalités vérifient le système donné, quelles que soient les valeurs attribuées aux u inconnues (Cnjf.\y Xn^^i ..., Xn^fx que renferment les quantités tt.
Comme exemple, soient les équations
ftlO?! -\- biX2 -\- C1X5 -f- diXi, = 5|,
«2^1 4- b2X3 -\- C2XZ + dtXi = 5j.
Si on transpose, on peut écrire
cti^i -|- biXi = St — CiXs — diXn, (i'2Xi -|- b2X2 = Si — C2X5 — diXi ; celles ci donnent
(St — CiXs — dtXij 6a) («1, 52 — C2XS diXi)
X\ = ; ; > Xt =
ou bien,
(atbi) {aibi)
{Sib2) (C1&2) (dibi)
{aibi) (aibz) (aibo)
{aiSi) (aiCa) (aidi)
(«162) (fli&a) («16»)
et ces expressions vérifient les équations proposées quelles que soient les valeurs de a?3, X*. Une résolution analogue sera toujours possible dès qu'un déterminant du second ordre formé avec les coefficients des inconnues sera différent de zéro.
05. Cas où le nombre des équations surpasse celui des Inconmies. Considérons, en troisième lieu, le système suivant
aiXx + bxX2-\;- ••• -\-l\Xn^= qxy
^2X1 -\- bjXi -[-••-[- liXn = Ç2.
anXi -f- bnXi -j - • • • -f- InXn = Qh,
Il y a ici une équation de trop, et pour que toutes ces égalités soient
vérifiées en même temps, il faut que les valeurs des inconnues provenant de
la résolution de n équations du système satisfassent à l'équation restante ;
leur substitution dans cette dernière fournira une relation entre les coefficients
seulement qui sera précisément la condition de compatibilité du système
proposé.
Posons
X| = a\X\ 4" ^1^2 + 1- liXn — (/« = o,
X2 = a^Xx ■\- biX2 -{-"•-{- h^n — Q'a = o,
et désignons par è le déterminant de l'ordre w -{- i des coefficients y compris les termes tout connus. On arrive à la condition précédente sans résoudre les équations, en multipliant respectivement par les premiers mineurs Qi, Q2, ... Qnf-i, des éléments q, et en ajoutant ensuite membre à membre; on obtient ainsi la relation
^iQt-i-qtQi-] \-qn+\Qn+i = o
ou bien
Donc, pour qu'un système de n -]- i équations linéaires à n inconnues admette une solution commune, il faut que le déterminant de tous les coefficients soit nul.
Cette fonction è des coefficients se nomme éliminant ou résultant des équations proposées.
En supposant la condition ^ = o remplie, remarquons que la multiplication des équations par Qi, Q2, ..., Qnjfi fournit l'identité
QlX. + Q2X2 -\ 1- ^n^n + ^n^X^n^^ == O
d'après laquelle, si n équations du système sont vérifiées par certaines valeurs des inconnues, il en sera de même de la dernière. Il suffit donc, pour déterminer Xx^ Xzy ... ^n, de résoudre ces n équations, comme dans le premier cas.
Enfin, soit le cas général d'un système de w -j- v équations à n inconnues,
aiXx -\-hiX2 H- [-l{Xn = qïy
/A a2Xi-\-h2Xi'\- * — \-l^Xn = q2,
Toutes ces équations seront compatibles, si les valeurs des inconnues déterminées par n d'entre elles vérifient les v équations restantes. La substitution de ces valeurs dans celles-ci conduira à v relations entre les coefficients. On obtient aussi ces v conditions, en ajoutant aux n premières égalités, par exemple, successivement chacune des autres de manière à former v groupes de w + I équations à n inconnues; on égale ensuite le déterminant de chacun de ces groupes à zéro.
Lorsque toutes ces conditions sont satisfaites, les équations de chaque groupe donneront lieu à une identité, comme nous venons de le voir. En vertu des identités ainsi obtenues, si les n premières équations sont vérifiées par certaines valeurs des inconnues, il en sera de même pour la (n -j- i)'""% (n -\- 2y^"*% .,., {n-{- v)"'"^ Il est donc inutile de s'occuper de ces dernières, et il suffit de déterminer a?i, a?2, ..., a?n au moyen des n premières équations.
96. Cas particuliers. Reprenons le premier système d'équa lions que nous avons résolues dans l'hypothèse où A était différent de zéro, et posons :
Xi = aiXt -}-biX2-\ -\-liXn pi=Oy
X2 = «2^1 -|- b20C2 -]-•••+ ^2Xn Pn = O,
X„ = anXi -{- bnX2 -\ -f" InXn — Pr^ = O.
Étudions ce système dans l'hypothèse où le déterminant A des coefficients des inconnues est égal à zéro. En multipliant ces égalités par les premiers mineurs Ai, A2, .., A„, et en ajoutant il vient :
pikx -\-piÈ^2-\ |-pnA„ = o.
C'est la condition qui doit être satisfaite pour que les équations proposées aient des solutions communes. Dans ce cas, le numérateur de l'inconnue a?i est nul; il en sera de même des numérateurs de X2-, x-,y ..., iPn; car lorsqu'un déterminant est égal à zéro, les mineurs A,, A2, ..., An des éléments d'une colonne sont proportionnels aux mineurs d'une autre colonne quelconque : on doit donc avoir aussi
/)lB, 4-P2B2-I |-p„Bn = 0, PxCx-\-p2^2^ |-j9nCn = 0, ClC.
D'un autre côté, la multiplication des égalités par A|, A2, ..., An conduit à l'identité
et l'une des équations est une conséquence des autres. Le système proposé revient donc à un système de (w — i) équations à ft inconnues que l'on devra
résoudre comme au N° 94. On admet, bien entendu, que l'un au moins des premiers mineurs ne soit pas nul. Soit
L„ = {ttibiCs ... kn-i) ce mineur différent de zéro; les 7i — i premières équations permettront d'exprimer les inconnues Xij a?2, ... Xn-t en fonction de Xny et les valeurs ainsi obtenues satisferont aux équations, quel que soit a?». Comme exemple, considérons les égalités
(fiXi -\- &ii)72 -\- CiXi + diXt, == Pif »2iP| -■{■ bîXi -{- CiXi -f- ^2^4 = ^2,
a^Xi -[- biX2 + CjXs -\- diX^ = ps,
dans le cas où
A = {aib2Csdi) = o, et le premier mineur
Les trois premières équations peuvent s'écrire
a\Xi -\- biXa -\- CiXs = pi — diX^, a2X{ -\- biX2 -\- C2X5 = P2 — d2Xi,, CLîXx -\- biX2 -\- C3X5 = Pô — dsXi,
Le déterminant des coefficients des inconnues du premier membre étant différent de zéro, par hypothèse, on peut résoudre ce système par rapport à a?i, i^Ja, i2?5, et l'on trouve
ipibid) IdibiCs)
(ci,b2Ci) {aibid)
{ctiPiCs) {a^daCz)
(«162031 (fti&aCs)
{aib2Ps) (aibids) Xi == . — . : Xi.
(«i^aCs) (aib2Ct)
Quelle que soit la valeur attribuée à x^, ces expressions doivent vérifier les équations proposées.
Lorsque plusieurs mineurs de l'ordre n — i sont différents de zéro, il est possible de plusieurs manières d'exprimer n — i inconnues en fonction de l'une d'elles; il faut choisir, dans chaque cas, un groupe de 71 — i équations pour lequel le déterminant des coefficients de ces tî — i inconnues n'est pas égal à zéro.
Supposons encore A = o ainsi que tous ses mineurs de l'ordre n — i, mais l'un au moins des mineurs de l'ordre n — 2, par exemple («iftaCs.. in-2), différent de zéro. Ajoutons successivement aux ;i — 2 premières équations, la {n — lyème gj la n^émt^ pQUP former deux groupes de w — i équations dans lesquels le déterminant de ^ — i inconnues est égal à zéro; si le système proposé est compatible, chacun d'eux donnera lieu, comme nous venons de le voir, à une identité; par conséquent, les n équations proposées constituent un système de w — 2 équations distinctes à a inconnues. Il faudra donc résoudre les ?^ — 2 premières équations par rapport à ip», a^a, ... Xn-2 et l'on trouvera, pour ces inconnues, des expressions renfermant Xn~\ et Xn qui restent arbitraires.
En continuant ainsi, on arrive à cette proposition générale :
Etant donné un système de n équatiotis à n inconnues, si le déterminant des coefficients des inconnues est nul ainsi que tous ses mineurs de l'ordre n — i, 7i — 2, ... ?^ — k -\- i, tandis qu'un mineur au moins de l'ordre n — k est différent de zéro, il existera au moins un groupe de n — k équations pour lequel le déterminant des coefficients de n — k inconnues ne sera pas égal à zéro; il donnera, pour ces inconnues, des expressions renfermant toutes les autres et propres à satisfaire au système proposé, quelles que soient les valeurs attribuées à ces dernières.
O'î. Equations linéaires homogènes. Soient les équations
CllXi -\-hiX2-\ + hXn = o,
,gv a2Xi -{- biX2 -\ 1- hxn = o,
anODi {- hnXz + ' * + UXn = O ;
elles sont homogènes, mais si on les divise par Xn et si on prend pour inconnues les rapports
Xt Xi Xn-\
Xn Xn Xn
elles constituent un système de n équations non homogènes à ?i — i inconnues; elles ne peuvent admettre de solutions communes différentes de zéro à moins que le déterminant de tous les coefficients ne soit nul. Supposons donc
A = («,6203 ... /n) = o, ou bien
aïki -\- 6|Bi -\- '" ItLi =0.
En remplaçant les élémenls «i, bt, ... par ceux d'une autre ligne quelconque, on aura aussi
a-At -{- &5B, -{- 1- IsLi = o,
«nA, -|-6„B| -[- • -|-/«Li=o.
II résulte de la comparaison de ces relations avec les équations proposées, que les quantités
•Aj , B| , Cl , .. . , Li
sont des solutions du système ; il en sera de même de
u,, AB,, >c„ ..., ;l,,
X étant une constante quelconque. Or, le déterminant A étant nul, les premiers mineurs d'une ligne sont proportionnels aux mineurs correspondants d'une autre ligne. Donc, les valeurs des inconnues qui satisfont à un système de n équatio?is homogènes sont proportionnelles aux premiers mineurs d'une ligne quelconque de leur déterminant.
Par exemple, pour les équations
(i\OGi -\- h\X2 ~\- CiXz -\- diXi = o,
a2Xi -\-b2Xp -\-C9X5-{-d2Xi, = Oy
ttiXi -\- bzX2 -{- CzXs -\- dsXi = o,
UiX^ -j- buXa -\- dXt -]- diXi = o , on aura
Xt - X2 Xs — Xit
{p\C2dz) {a^Cidt) (aibids) {a^b2Cs)
Dans le cas général, \es n — 1 inconnues x^ X2t ..., Xn-.\t s'exprimeront au moyen de la dernière Xn par les formules
■An -t>n »»n
Xy= — Xn, X2=—Xni ..., Xn-l=-7-Xn. i-tn Ijn ^n
Le système suivant :
a^Xi -\- b2X» -f- •• * + hoCn = o,
an-tXi -\- bn^iX2 -Jr "' '\- L-iXn = O,
qui renferme n — i équations homogènes à n inconnues suffît pour déterminer d'une seule manière les rapports
X\ X2 iPn-l
sans aucune condition. On fait rentrer ce système dans le précédent en y ajoutant l'identité
o.Xx -\- o.x-i-^- •" -r- o.Xn = o.
Le déterminant A pour les n équations est alors égal à zéro, et on peut écrire que les inconnues sont proportionnelles aux mineurs qui correspondent aux éléments zéros de la dernière ligne de A.
Ainsi, pour les équations
aicct -\- hiXi -\- CiXs = o, il viendra
Xi — Xo Xz
(&1C2) («iCz) (^162)
De même, pour le système
ttiXi -\- biX2 -j" ctXs -\- diXi -\- exXz = o, «23?! -\- b2X2 -\- C2Xi -\- dzXs -\- BiXs = o, dsXt + bsX2 -{- CsXs -\- diXi -\- ezXs = o,
on aura
Xt — X2 Xs — Xtt Xs
(6102^364) («102^564) (^162^564) (aib'iCsei) (ai&gCsrf*)
Cette méthode revient à donner, pour dénominateur aux inconnues affectées alternativement du signe -f- et — , le déterminant des coefficients des autres inconnues, en conservant les lettres dans l'ordre alphabétique.
Nous insistons sur cette manière d'opérer parce qu'elle est applicable aux équations non homogènes; il suffît, par la pensée, de supposer le terme indépendant accompagné d'une inconnue égale à l'unité. Par exemple, pour résoudre les équations
ttiil?! -\- biX2 + Ci = o,
^2X1 + bzXt -|- C2 = o, on écrit :
Xi — Xi I
{biC2) (aiCi) (atbt) '
de même, pour les équations à trois inconnues
diooi -f btX2 -|- CiXs -\-di = o,
ttiXi -f- /)2^2 -1- C-iXs ~\- d2 = o,
cisXi -\- biXi -[- C3X3 -{- dt =0,
il viendra
3/1 — 3/2 Xt, — I
{hxc-îdz) (aiddi) (aibids) («16205)
C'est la manière la plus élégante et la plus rapide pour résoudre les équations du premier degré.
Nous venons de voir que les valeurs des inconnues i2?i, a?2, ..., â7n i qui satisfont au système (6), quand A = o, s'expriment en fonction de la dernière Xn qui reste arbitraire, l'un au moins des mineurs de l'ordre n — i étant différent de zéro. Lorsque A = o, ainsi que tous les mineurs de l'ordre n — I, tandis qu'un mineur au moins de l'ordre n — 2 n'est pas nul, on démontre, comme précédemment, que deux équations sont une conséquence des autres; les valeurs des inconnues a?i, Xf, ..., Xn-2 s'expriment alors au moyen de Xn-\ et Xn qui restent arbitraires. Dans le cas général où A = o ainsi que tous les mineurs jusqu'à ceux de l'ordre n — k exclusivement, les équations sont satisfaites par des valeurs des inconnues dont k restent arbitraires.
