PROPRIÉTÉS DU RÉSULTANT D'UN SYSTÈME D'ÉQUATIONS

98. Soient, en premier lieu, les deux équations à une inconnue

ao^*" + ^»^"*~* + \-am = o,

la première du degré m et la seconde du degré n. En général, une racine de la première équation ne satisfera pas à la deuxième, pas plus qu'une racine de la seconde ne satisfera à la première. Pour qu'il y ait une solution commune, une condition doit être remplie par les coefficients; elle s'obtient par l'élimination dex; le premier membre de l'équation qui en résulte se nomme éliminant ou résultant; en d'autres termes le résultant des équations proposées est la fonction des coefficients qui, égalée à zéro, exprime qu'elles admettent une solution commune. Cette définition s'étend d'elle-même à un systènae de A; équations à A; — i inconnues.

DésigQons respectivement par xi, Xiy ... a?^; Çi, Çj, ... ?n les racines des équations. On aura

f(x) = (lo (X — Xi) (X—X2)...{X — Xm),

^{x) = bo{x — l,) (a; — ?,)... (a; — ?n).

Si on substitue les racines ? dans f{x)j et si on multiplie tous îes résultats, il vient l'expression

(2) R = AS0A?2)...A^'») = ^U?« -«0(^.-^2) ...(?n-a?„.).

De même, en substituant dans F (a?) les racines x et en multipliant les résultats, on obtient aussi

(3) R, = F(a?.) ¥{X2) ... F(^„.) = 6- (xi - ^.) {x, —?»)••• (a?m — W-

Or, si une racine de la seconde équation vérifie la première, un des facteurs du produit (2) est égal à zéro et, par suite, R s'annule; réciproquement, si R s'annule, l'un des facteurs doit être égal à zéro et les équations auront une racine commune. Le produit Ri jouit de la même propriété. On peut donc prendre l'une des relations (2) ou (3) pour définir le résultant en fonction des racines, et dire : 1° L'éliminant est le produit des résultats que l'on obtient en substituant dans le premier membre d'une équation toutes les racines de l'autre ; 2** L'éliminant est le produit de toutes les différences que l'on peut former avec les racines des deux équations .

Il est permis de laisser les facteurs a*, b'^, car on les suppose diff rents de zéro. Leur présence ne peut être utile que dans le cas où il serait nécessaire de considérer une racine commune infinie.

Afin d'étudier les propriétés du résultant, rendons d'abord les équations homogènes et écrivons-les comme suit :

(S f{^^y) = «^oa?"* 4" (f'iX'^~*y + ciiX'^-'^y^ -{- 1- amy"*" = o,

^"^^ F (x, y) = boX" + ftiOî^-'y +>2iP"~y -\ 1- M" = o-

En représentant les racines de la première par {xi, 3/1), (o^j, ^o). ... (^m, ym), et celles de la seconde par ($1, yji), (^2, riz) ... (^n, 'Cn), on aura, par définition, pour le résultant,

(5) R=rt5l^.)/'fe'/l2)...AÎnU

(6) R, = F(xxyi) F(a?2t/2) F(x„,ym).

Chaque facteur du produit (5) est homogène et du premier degré par rapport aux coefficients a; comme il renferme n facteurs, R sera une fonction

homogène diidegré 7i relativement à ces coefficients. La présence des racines (?«. >li)i (^»» ^2) ®'^' n'infirme pas celte conclusion parce qu'elles ne dépendent que des coefficients /) de la seconde équation. Le produit (6) montre également que le résultant est une fonction homogène du degré m par rapport aux coefficients ^o, ^1» etc.

Remplaçons, maintenant, dans les équations (4)2/ par ly; on aura

/■(a?, ly) = aox"^ -\- ailx'^-'y + a^l'^x'^-^'y'' -\ \- aj.'^y'^ = o,

^^^ £{x, ly) = boX*" -\- bilx'^-Uj -\- bil^x'^-^y^ + • • + ^nA"^/'* = o.

Nous savons que cette transformation a pour effet de multiplier les racines par A; donc, les racines des équations (7) seront respectivement

Par conséquent, le résultant R' de ces équations aura pour expression R' = F(Aa?i, Xyi)^{AX2, ly^) ... F(Aâ?m, ^m); mais F(a;, y) étant homogène et du degré n, chaque facteur renferme A", et comme il y en a w, il vient

R' = A»»"F(^i3/,) F(a?2?/2) ... F(a;myw),

c'est-à-dire,

Or, si un terme arbs de R| où la somme des indices des coefficients a et 6 est r -\- Sy devient après la transformation

arl'bsl' = aAX'-+% il faut que l'on ait :

r -|-5 = tnn^

en vertu de la relation précédente.

Donc, le résultant de deux équations des degrés m et n est une fonction homogène des coefficients de ces équations ; il est du degré n par rapport aux coefficients de la première, et du degré m par rapport aux coefficients de la seconde; enfin, les coefficients portant un indice égal à la puissance de la variable suivant laquelle elles sont ordonnées, la somme des indices dans chaque terme est constante et égale au produit des degrés des équations.

Cette somme des indices dans chaque terme s'appelle poids du résultant.

Admettons que les coefficients des équations (4) soient des fonctions d'une nouvelle inconnue t d'un degré égal à leur indice et posons y = i : nous

obtiendrons un système de deux équations non homogènes à deux inconnues. Par réiimination de x, on arrivera à une équation en t du degré mn, poids du résultant ; elle admettra mn valeurs pour t et, par suite, autant de valeurs pour X. Par conséquent, le nombre de solutions communes à deux équations non homogènes à deux inconnues est égal, en général, au produit des degrés de ces équations.

99, Afin d'arriver à une loi générale, considérons encore le système de trois équations homogènes à trois inconnues

(8) ^{x,y,z) = o, (g) N(a;, y, ^r) = o, (lo) P(a?,y, z) = o

des degrés m, n, p. Nous les supposerons ordonnées suivant les puissances croissantes de z avec des coefficients affectés d'un indice égal à la puissance de z dans chaque terme. Les deux premières résolues par rapport k xi z,y ' z possèdent mn solutions communes. Soient

(XxyxZi)^ (XiytZi) ... {XmnymnZmn)

ces valeurs ; en les substituant dans la troisième et en faisant le produit des résultats, il vient l'expression

R = V{XiyiZi)V{X2y2Z2) ... V(XmnymnZmn),

qui devra s'annuler, si les trois équations ont une solution commune : c'est le résultant de ces équations. Chaque facteur renferme les coefficients de P au premier degré et comme il y en a mn, l'éliminant sera une fonction homogène du degré mn par rapport aux coefficients de la troisième équation. On peut aussi obtenir R en substituant dans (9) les mp solutions communes du système (8) et (10), ou encore, en substituant dans (8), les np solutions communes du système (9) et (10). Il en résulte que l'éliminant sera aussi du degré mp par rapport aux coefficients de (9), et du degré np par rapport aux coefficients de (8). Enfin, par le changement de z en ïz^ les deux premières équations transformées auront pour racines communes

(Aa?i, Ay,, Zi), (1x2, /3/2, Zi), etc.

comme on peut le vérifier sur l'exemple suivant :

x^ -\-y^ — 3^^^ + '^■^^^ -\- z^ = o. En remplaçant z par Iz^ il vient

X^ J^y^ — 3/ic';^ -j~ '■^^*^^* + ^•'^* = 0.

Substituons, dans le premier membre, Ixi^ ^^i, 2r, à a;, y et z; on trouve pour résultat

qui est nul en supposant a?,, yi, Zi racines de l'équation primitive.

D'après cette remarque, le résultant R' des équations transformées aura pour expression

R' = P(>iPi, Ayi, AZi)V{lx2f "kyt, IZ2) ... ou bien

R' = A'"«pP(iP,y,2r,) V(x.y2Zi) ...,

c'est-à-dire,