R' = A*»''PR

Ôr, un terme arbg ... de R devient par la transformation ar^^'bal' ..., et, par suite, on doit avoir la relation

r -\- s -\- • • • = mnp :

la somme des indices des coefficients dans chaque terme est constante et égale au produit des degrés des trois équations.

Supposons encore que les coefficients des équations proposées soient des fonctions d'une nouvelle inconnue t d'un degré égal à leur indice, et posons z = i ; on aura un système de trois équations non homogènes à trois inconnues. L'élimination de x et de y conduira à une équation en t dont le degré sera égal au poids imip du résultant; on en déduira pour t, et, par suite, pour X et y, mwp solutions communes .

En continuant le même mode de raisonnement, on arrive à ce beau théorème général :

Le résultant de k équations homogènes à k inconnues ou de k équations non homogènes à k — i inconnues est une fonction homogène des coefficients de ces équations ; son degré par rapport aux coefficients de chacune d'elles est égal au produit des degrés de toutes les autres; les équations étant ordonnées par rapport à une inconnue avec des coefficients portant un indice égal à la puissance correspondante de cette inconnue, la somme des indices dans chacun de ses termes est constante et égale au produit des degrés de toutes les équations .

Un système de k équations non homogènes à k inconnues admet, en général j un nombi^e de solutions communes égal au produit de leurs degrés .

lOO. Le résultant des équations

f=o et F = o de même degré m est égal à celui des équations

7f-\. pY. = o, }/f-\- ^'F = o

à part Un facteur qui ne dépend que des constantes 1, /', ^i, (x' . En effet, on sait que le résultant s'obtient en substituant dans l'une des fonctions les racines de l'autre; par suite, en représentant par Rf/", F) le résultant de f et de F, on aura d'abord les relations

R{/'+;cF,F) = R(/',F),

D'après ces égalités, il vient successivement :

u""R(//'+ aF, /Y+^'F) = RLa'(//-+^F), A^+^'F] = R[f./(//+ pF) - ^(/Y+ fx'F), ;//•+ fx'F]

= (V - y-ir^ R(A rf+ f^'F) = ^'-(Aa' - pX')- Mf. F), et par suite,

R (;/•+ f/F, ;//•+ fx'F) = (V - p.Ar R (A F).

Donc, si on remplace deux fonctions du degré m à une variable par des expressions linéaires de ces fonctions, le résultant reste invariable en négligeant un facteur indépendant des coefficients de ces fonctions. Cette propriété nous sera utile dans la suite.

MÉTHODES d'élimination.

toi. Méthode d'Euler, Étant données les équations

/'(£r) = aûa?*"4-^i^'""' + |-rtm = o,

proposons-nous d'éliminer x ou de trouver leur résultant. Si elles admettent

une racine commune /<, les premiers membres sont divisibles par x — It,

et les quotients étant du degré m — i , on aurait une égalité de la forme

f{x) a^X"^-^ -\- OL\X'^~'* -^ "- -\- 0L^-\

Dans le cas d'une seule racine commune, la fraction du second membre ne peut subir une plus grande simplification, ni devenir indéterminée pour une valeur de x. En chassant les dénominateurs, on obtient la relation

A^) (Poa;»- + (3.;z;-* + ... + ^.0

qui constitue l'identité d'Euler. Le premier membre est un polynôme du degré m-\-n — i ; en égalant à zéro les coefficients des diverses puissances de X. on arrive à un système de m -\- n équations homogènes par rapport aux coefficients ao, «i, ..., (3o, (3,, ... qui sont aussi au nombre de m -\- n. Si on les divise par ao, on aura un système de m -{- n équations à 7n-\- n — i

inconnues qui seront les rapports — » — » etc. Or, s il n existe qu'une seule

racine commune, ces rapports ont des valeurs déterminées; par suite, leur déterminant R doit être égal à zéro, et l'un au moins de ses premiers mineurs ne sera pas nul. Ce déterminant constitue une fonction des coefficients qui, égalée à zéro, exprime que l'identité (2) existe, et, par conséquent, que les équations proposées ont une racine commune; c'est donc leur résultant. La condition unique

correspond à une seule racine commune; il ne peut y en avoir d'autre, à moins que tous les mineurs de l'ordre n — i de R soient nuls; dans ce cas, en effets la détermination des rapports des coefficients serait multiple, et l'identité fondamentale aurait lieu de plusieurs manières.

Après avoir déterminé les rapports des coefficients, la racine commune s'obtient en divisant f [^x) par ao^?'""' -j" '^i^'""* + V «m-i.

Supposons, en second lieu, que les équations proposées admettent ^9 racines communes et pas davantage. En divisant f{x) et F (a?) par le produit des facteurs linéaires qui leur correspondent, on trouverait des quotients respectivement des degrés m — p et ?i — p; dans ce cas, on peut écrire

'f{x) ocp.ix'^-p + ap-23;^-P-' -\ \-c^.m-i

Il n'existe plus de facteur commun aux deux termes de la fraction. Le nombre des coefficients a. et [5 est m -^ 71 — 2p -\-2; en divisant par ap i, il en résultera m -^n — 2p -\- 1 rapports des coefficients qui auront des

valeurs déterminées. D'un autre côté, si on met l'idenlilé précédente sous la forme

le premier membre est du degré m -\- n — p ; en égalant les coelTicienls des puissances de a? à zéro, on trouve m -\- n — p -\- i équations homogènes entre les constantes ap i, ap 2, etc. qui doivent être compatibles. Si l'on prend, dans le système total, ?n -\- n — 2p -j- i équations pour en déduire les valeurs des rapports des coefficients, les p équations restantes seront satisfaites par ces valeurs. On arrive ainsi à p relations entre les coefficients qui formeront les conditions nécessaires et suffisantes pour que les équations proposées admettent jo solutions communes. Comme nous l'avons fait remarquer dans la résolution des équations linéaires, on trouve ces conditions en ajoutant à un système de

équations successivement une des p équations restantes, et en égalant le déterminant de chacun des p groupes à zéro. Enfin, si on divise f{x) par

il viendra, en égalant le quotient à zéro, une équation du degré p propre à donner les racines communes.

10!$. Appliquons la méthode d'Euler à quelques exemples. a) Trouver le résultant des équations

booc^ + bix + ^2 = o.

L'identité fondamentale est ici :

(aox'^ -{- *i^ -\- ^2) (j3oJ? -f- |3i) — (boX^ -\- hiX -\- bi) {(XoX -\- «i) = o. On égale à zéro les coefficients des puissances de a; et on trouve le système

ao(3o — ^'o^o =0,

(h^o-\- Ci^^i — biUo — ^0^1=0, ft2i3o -]- ftijSi -- 6aao — ï^iai = O, û^2|3i — b^ai =0,

Le résultant est le déterminant de ces équations; en considérant les inconnues dans l'ordre j3o, /3i, «o, «i, il vient :

bo

«1 ao bi «2 ai bi I o ft2 o b) Trouver le résultant des équations

ttf^x^ + dix^ -\- diX -}- as = o, b^x"^ -\- bix -|- 62 = o. L'identité d'Euler

(a^x^ + chx^ + ft2^ + «5) (f3oa? H- (3i) — {boX^ -}- &iir -|- ^4) («0^' -1- «1^ -]- «2) = o conduit aux équations suivantes :

fto(3o — bo(Xo =0.

a,(3o + ftol3| — btOLo—boai =0,

«2l3o-}"^«(^' ^^2^0 &!«! ?'oa2 = o,

«sjSo -|- a2|3i — fti^i — &iaa =0,

«spi —

On en déduit

fto

ft|

-bo

-bt

as

rtî

c) Résoudre les équations

y* — 2Xj/ -\-x^ -\- 2y — îox = o.

Il faut commencer par les ordonner relativement à l'inconnue û). On a

a?* — (lo-j- 2?/) :c-]-2/* + 22/ = o.

Ce sont des équations du second degré par rapport h x dont les coefficients c^oj 0^1, «2, 60, èi, bz sont respectivement

3, 42/— 15, sv'-^gp; I, —(10 + 2?/), 2/* + 22/.

Par conséquent, d'après l'exemple (a), l'élimination de cette inconnue conduit à l'équation

-gy, 42/— 15, o, 32/' •— 92/,