IO-1-27/), I
ou bien, en développant^
42/ (2/^ + 22/^ — gy— 18) = o.
La résolution de cette équation donne pour les racines
2/ = o, 2/ = 3' ?/ = — 3^ 2/ = — 2. Afin de calculer les valeurs de x qui leur correspondent, il suffît, dans cet exemple, d'éliminer x^ entre les équations proposées; ce qui donne l'équation du premier degré en x
En y substituant successivement les racines précédentes, on trouve
Les équations données admettent donc les quatre solutions communes :
I03. Méthode deSylvester. Soient toujours les deux équations
des degrés m et n à une inconnue. Multiplions la première successivement par
x\ a?', 07% a?% ..., o;'»"', et la seconde par
//»0 nt\ /ni /y»3 /ym—i
On obtient ainsi le système d'équations
f(x) = o, xf{x) = o, x^f(x) = 0, .. F (ic) = o, xV{x) = o, x^¥(x) = 0, ..
0?-»-' /"(a?) = 0; ic"»-'F(:r) = o,
dont le nombre est m -)- n. S'il existe une racine commune, elle satisfera à toutes les équations de ce système. Or, en prenant pour les inconnues les diverses puissances de x
Xy X\ x\ .... 0;'»+''-', les équations précédentes forment un système de w 4- n équations linéaires
î, ^yi -i-n I inconnues. Il y a donc une équation de trop, et comme elles
admettent une solution commune, le déterminant R de tous les coefficients des premiers membres sera égal à zéro, ou encore, si on prend les valeur» des inconnues tirées é(t%m-\-n — i premières équations pour les substituer dans la dernière, on obtiendra une identité.
Le déterminant R est donc l'éliminant des équations proposées. Lorsqu'il s'annule, il y a une solution commune et une seule, si le déterminant des coefficients des inconnues dans un groupe de m -\- n — i équations du système est différent de zéro.
Supposons, en second lieu, que les équations données possèdent p racines communes. On forme, dans ce cas, le système suivant :
/•(.z?) = o, xf(x) = o, x^f{x) = o, ,.., x''-Pf{x) = o\ F(.r) = o, a?F(a?)=o, d?''F(a7) = o, ..., x'''-pV{x)= o.
Toutes ces équations dont le nombre est '^
m — p -\- 1 -\-n — V -\- i = m -\~ n — 2p -\- 2 sont vérifiées par les racines communes. On prendra, par exemple, les
m -\-n — 2jt9 -[" ï premières équations pour les résoudre relativement aux
m-\- n — 2p -\- i quantités^
considérées comme inconnues; en substituant les valeurs trouvées dans la dernière, il en résultera une identité renfermant cc^'^, xp~^, ...,ic et un terme indépendant; pour que cette relation ait lieu, quelles que soient les valeurs de ces quantités, leurs coefficients ainsi que le terme indépendant doivent être nuls. On les égalera donc à zéro, et l'on obtiendra ainsi les/? con* ditions qui doivent être remplies dans le cas de p racines communes entre les équations proposées. Nous indiquons plus loin la manière commode de former ces conditions ainsi que l'équation aux racines communes.
iO-4. Comme application de cette méthode, nous donnerons les exemples suivants :
d) Trouver le résultant de deux équations de même degré. Soient d'abord,
a-ox^ -\- ciiX -]- ft2 = o, booc^ -\- bix -j- 62 = o.
II faudra multiplier par x^ = i et œ; les équations de Sylvester seront donc :
f(x) = o.x^ -\- (luX^ -\- a,x -|- a. = o, xf x) = aoX-' -j- a,x'- -}- a^x -}- o = o,
Y{x) = o.x'^ -\- box^ -\- hiX -j- bi = o, xY{x) = biX^ -J- biX^ -j- b2X -|- o = o.
Nous avons donné un coefiîcicnt o aux puissances qui manquent dans chacune d'elles. Le résultant est le déterminant de ce système; par suite,
R = o tto (li a,
Œo (i[ cf'2 o
o bo bi b2
bo bi b2 o
Pour deux équations du troisième degré
aox^ -\- aix^ -j- aiX -\- a^ = o, bnx^ -|- bix^ -\- b^x -|- 65 = o,
il faudrait multiplier par i, â?, a;'; la plus haute puissance de Cô sera x^. La première équation de Sylvester renfermera deux zéros au commencement ; la seconde un zéro au premier terme et un autre au dernier; la troisième deux zéros à la fin. Par conséquent, le résultant sera de la forme
R = o o ao (i\ (li ci$
ao
at
ai
as
ao
ai
ai
as
bo
bo
bi
bs
La loi de formation de ces déterminants est évidente, et on peut écrire immédiatement le résultant de deux équations quelconques de même degré sans former les égalités de Sylvester.
e) Trouver le résultant des équations
aox*' -]- aix^ + a^x- -)- asx -|- a» = o, boX^ -{-biX-\-bi = o,
Il faudra former le système suivant :
X f{x) = aox^ -j- ŒiX^ -\- a-iX^ -\- a^x^ -\- a,x -|- o = o, Y{x) ==-. o,x^ -\- o.x*' -\- o,x^ -\- h^x^ -\- biX 4- ^'2 = o,
x'F{x) = o.x'' -\- o.x* -\- J)qX^ -[" ''i^^' 4" '^'^ -|- o ^ o, a?2 F(iC) = o.x'' -\- b^x^ -\- h,x^ -j- h2X- -\- o.x -j- o = o, x'^ F(j?) = hax^ -\- bix* -\- b2X^ -\- o.x- -{- o.x -j- o = o.
Par suite, il vient, pour le résultant,
Il =
ao
Ch
tto
fti
as
bo
bo
bo
Il n'est pas difficile d'en tirer une règle pour former le résultant de deux équations quelconques sans écrire aucune équation intermédiaire. f) Résoudre les équations à deux inconnues
x'^ — gy = o..
Par l'expression du résultant de l'exemple (d) pour deux équations du second degré, l'élimination de x donne pour résultat :
— gy
ou bien,
qui admet une racine double égale à i et une racine simple égale à 4. En les substituant dans la première équation, on en déduit : x = ^^ x == — 6. Les équations proposées possèdent donc un couple de racines doubles (3, i) et un couple de racines simples ( — 6. j).
105. Il nous reste encore à considérer le cas de deux équations qui ont un certain nombre de racines communes. Soient, d'abord les équations
aox^ -\- a^x"^ -|- (I2X -\- a-^=^o, haX' -{- hiX- -\- b2X -±-hs = 0.
Cherchons les conditions pour qu'elles admettent deux solutions communes.
On a :
m — p = 7t — jj = i ;
il faut donc multiplier par i et x. On trouve ainsi les équations o.â?* -)- (*u^^ -f- (iiX^ -j- a-jx -}- ^^3 == o ttoX^ -|- ciiX^ -|- ciiX^ -{- a-.x -|- o = o, o.x^ -\' l\x^ + hyx- -\- hiX -\- })i = o, bf^x* -\- biX' 4" ^2^" + bsoo -[-0=0.
Résolvons les trois premières par rapport à a?*, x^f x^. On aura
tto ai a2X -\- «3
(tt «2 CiiX -\- O
bo bi b-^x -\- bs
o .tti a2X -\- as ao a-2 «3^ + 0
o ^1 btX-{-b5 — T
o ao a2X -(- «5 o ao ai
ao ai a5X-{-o ao ai ^2
o bo b2X -{-bs o bo b
En substituant dans la dernière équation, on trouve
ao ai «2
ai «2 as
bo bi 62 ao tti az
ai ai o ^0 ^1 bs
bi
— bi
o ai «2 ao «2 ^5
o «( az ao «2 o
+ bi
o ao ai ao ai a-, o bo bz o ao as
ao ai o o bo bs
o ao ai ao «I «2 o />o ^'1
ao ai o bo
c'est-à-dire, en changeant les signes, X o ao ai a2 -\-
o fto ai «2
ao fta «a ^5
o &o bi 6a
bo bi b> bs
o ao
o 60 bo bi
ao ai as
ai «2 o
bi bs
bi o
Cette dernière relation doit avoir lieu quel que soit a?; par conséquent, en égalant à zéro les deux déterminants qu'elle renferme, on obtiendra les conditions cherchées. Si on compare leurs colonnes avec celles des équations (5), on trouve qu'ils sont formés avec les colonnes des coefficients des inconnues a?*, x^f x'^ auxquelles on ajoute successivement les colonnes des coefficients de X et de x^.
Quant à l'équation aux racines communes, elle s*obtient, dans ce cas, par l'élimination de x^ entre les équations proposées.
De même, dans le cas général des deux équations
f{x) = o, F(a;) = o ayant p racines communes, après avoir formé le système
(s') A^^ = ^' ^A^) = ^> x'f{x) = o, ..., x''-Pf{x) = o; V[x)==o, x¥{x)==Oy x^}J{x) = o, .. , x'^~pV{x) = o,
on résoud les m-\- n — 2p -{- i premières équations par rapport à
pour substituer leurs valeurs dans la dernière comme nous venons de l'indiquer, et on arrive également à cette conclusion :
Les conditions pour que les équations
des degrés m et n admettent p racines communes s'obtiennent en égalant à zéro les déterminants formés avec les colonnes des coefficients de
du système (5') auxquelles on ajoute tour à tour les colonnes des coefficients de
xp~\ xp-\ x^-^, ..., a?% X, x^
Afin d'arriver à l'équation aux racines communes, on prend le système des m -\-n — 2p équations
f{aj) = o, crf{x) = o, x-f(x) = Of ..., x^'-p-^fix) =0; 'P{x) = o, x¥(x) = o, x''¥{x) = Oy ..., a;'"-p-'F(a?) = 0.^ et on élimine les m-\-oi — 2p — i quantités
on trouve ainsi une équation du degré p qui est vérifiée comme les précédentes par les racines communes; ce sera l'équation demandée.
10<». Méthode de Bezout-Cauchy . La méthode de Sylvester donne, pour deux équations du degré m, un résultant représenté par un déterminant de l'ordre 2m.. La méthode de Bezout que nous allons exposer offre cet avantage de fournir pour le résultant un déterminant de Tordre m. Elle a été reprise et modifiée par Cauchy dans la manière d'opérer. Considérons d'abord le cas de deux équations de môme degré
f[x) = aoX'" -|~ C^iX*""' + 1- Cl m = O,
F(x) = hox"^ + bix"^-* -f- • • + ^^m = o. Transportons une partie des termes au second membre comme suit :
&oX"» + />,a;'"-'-l [-5ft,x'"-^+* = — {bkX'^-''-\-bk^.iX"'-''-' -{ \-bm);
le nombre k peut avoir une valeur quelconque depuis 1 jusqu'à m. Si on divise membre à membre, on trouve, en supprimant le facteur x"*~''+',
box'^-' -l-&.x*-2 -\ (-6fc i"~?)4X"*-* + bk^a'"-"-' -1 h&m
ou bien, en chassant les dénominateurs,
(a) ■ ((tobk — ftA&o)x»"-' -\- [{aobk+i — boak+\) -\- {ad)k — biak)]x*^-^
-\- [{aobk+2 — boft-k-^i) -\- {ctibk+t — b^Œk+i) + (a2bk — &2«ft)]x"' '^ -j
+ {ak-tbm — (fmbk-i) = o.
Pour abréger, nous représenterons par \k,i le coefficient de x"*"', et l'on aura ainsi :
(a') A/,,,x"*-' -f kk,<iX"'-^ -4 1- Afc,„.,x + kk,m = o.
Posons maintenant, dans l'équation (a'), A; = i, 2, 3, ••• m; il en résultera les ni équations
A,,<x«-' + A,,2X^-* H \- kx,n. = O,
As.lX'"-' H- A2,2X'»-- -| h A2,m = O,
Am,lX'«-' + Am,2X'"-'H !- Am,m= O.
D'après leur origine, elles seront vérifiées par une racine commune aux équations proposées. Or, en regardant x*"""*, x"*~*, ..., x', x comme les inconnues, il y a une équation de trop; par suite, le déterminant de tous les
coefficients doit être nul, et ce déterminant est le résultant des deux équations. On aura donc :
Al, 2
Am. I A
On conclut encore de ce qui précède, qu'en prenant les m — i premières équations pour déterminer les inconnues, et en substituant leurs valeurs dans la dernière, on obtiendra une identité. La racine commune se déduit du système précédent en cherchant la valeur de x. Représentons par Rm i le déterminant des coefficients des inconnues dans les 7?i — i premières équations et, par Sm i, ce qu'il devient en remplaçant les coefficients de x par les termes indépendants; on aura, pour déterminer la racine commune, la relation
XRm-l -j-Sm-i = o.
Examinons encore le cas où les équations données admettent p racines communes. Si on pose, successivement, dans (a'),
on trouve les m — /> + i équations
A,,,:5"»-' +At,2X"'-''-\ [-A,,n. = o,
qui sont vérifiées par les racines communes; en prenant les w — p premières équations pour déterminer les m — p inconnues
en fonction des autres x^-*, ..., a; et en substituant leurs valeurs dans la dernière, il en résultera une identité; par suite, les coefficients de
i»p~', a?p-^ ..., x\ x\ x" égalés à zéro fourniront les relations qui doivent exister dans l'hypothèse de p racines communes entre les équations proposées. Enfin, si on élimine dans le système de ces m — p équations les quantités
on trouvera une équation du degré p propre à fournir les racines communes,
D'après ce que nous avons vu dans la méthode de Sylvester, les p conditions se déduisent du système (a") en formant des déterminants avec les colonnes des coefficients de
auxquelles on ajoute successivement la colonne des coefficients de
/y.p— I yP — 2 rf yd
Lorsque les équations ne sont pas du môme degré, on écrit les termes qui manquent avec des coefficients nuls: par exemple, pour 7i <^ m, la seconde équation prendra la forme
O. X'"-|-0. iC"»-' -\ 1-0. X"-!-' +/>m na:''+&m-n4.lX'»-' -\ \-hm =0.
La méthode réussit encore, en se servant de l'équation fondamentale (a) et en tenant compte des coefficients nuls.
t09. Dans les applications, il faut prendre, comme point de départ, l'équation (a); avec la notation abrégée pour les déterminants, elle est de la forme
{aobk) x"»-' + [{aoh^,) + (aA)] x^-~ + {(a^hk^i) + {a.hk^x)
En attribuant à k les valeurs i, 2, 3, ..., il arrivera quelquefois que les indices seront les mêmes dans un déterminant, et, dans ce cas, il sera égal à zéro; de plus, si, pour une valeur de k, l'indice d'un coefficient surpasse ceux des équations données, on regarde le terme correspondant comme nul.
Soit à chercher le résultant des équations
ttoX^ -]- aix^ -|- flox' -\- a-.x -\- a; = o.
60X* -f- lux-' -{- h2x'^ -\- bsx ~\- h', = o.
Les équations à former seront du troisième degré; on les obtient en prenant quatre termes dans l'équation londamentale et en posant k = i, 2, 3, 4; il vient ainsi
(aobt) x'' -f- {(hbi) x^ -{- (aob;) x + {aj);) — o, (ctoM x' -[- [(aobi) -{- {aib2)] x= -\- [{aj).',) + (aibs)] x -{- [aib,) = o, (aobi) x^ -{- [(ao&4) + {aibs)] x* + l{aj)i) -\- {a.b-,)] x +(«j^*) = ^»
{aobi) x^ + («!&♦) X- -|^ (a^b^) x -\- (asb^) = o.
Le résultant est le déterminant de ce système en regardant x', x*, x. comme des inconnues; donc
Il = (aobi) {uobi) [aob^) (fto^n)
(^0^2) {aQbs)'\-(aib2) (a^b,) -{-{ttibs) {aib^)
(aob3) (aobi)-{-{aibi) ((hbi) ~\-{a2b5) {a^bi,)
{aobi) (aib^t) ia^bk) {a^bt,)
En second lieu, cherchons le résultant des équations
rt-ox^ -\- aix~ -j- a-2X -\- tts = Oy X — / = o.
La seconde donne : x = /; l'éliminant est le résultat de la substitution de cette valeur dans le premier membre de l'autre équation, c'est-à dire,
Il = ftoÀ^ + ^i ^'^ + ^sA 4" «3 ;
car, lorsqu'il s'annule, les deux équations ont pour racine commune A. Pour appliquer la méthode, il faut écrire
OoX^ -j- o.x^ + b2X -|- 65 = o ; ce qui revient à poser :
&2 = I, bs = — 1.
Les équations à considérer auront trois termes; en posant A == i, 2, 3 dans l'équation fondamentale, on trouve
a(,b.2X -\-aubô = o, ciob^x^ -\- (aobs + ^^162) X -}- (^ibs == o, ttobiX'^ -^ ciibiX -\- a-ibs — aib.^ = o.
D'où on tire, pour l'éliminant
aobs
fto&2 aobi-\-aib2 aobi «165
ou, en développant,
R = al (— ^0^^ 4- aj^lb^ — aJ)J)l -f a^bl) Si on pose &2 = i, 65==^ — à, il vient :
R = ^J (rtoÀ3 + a,À2 + a^A + «3).
Comme on suppose ao différent de zéro, on doit laisser ce facteur, et on retrouve l'expression précédente pour le résultant des équations données. On s'explique la présence du facteur «.„ dans R, après avoir complété la seconde équation; car la valeur a^^ o correspond à une racine commune infmie qui n'existe pas pour les équations données.
Soit encore à résoudre par la méthode de Cauchy les équations
^' — (2^ + 5) -^ + y' + 5// + 6 = o, x2 — 47/x -|- 4?/2 I = o. Les équations à former pour deux équations du second degré «ûX^ -j- rtiX -[- ^2 = o, boX^ -\-biX -{-b2 = o, sont les suivantes :
(«0^0 X + («0^2) = o, {aobo) X -j- (aib2) = o.
En substituant aux déterminants leurs valeurs calculées sur les équations données, elles deviennent
(5 — 2y)x + {^tf — 52/ — 7) = o,
(32/' — Sy — l)^ + {— Vf + 26?/ + 5) = o.
Si on égale à zéro leur déterminant, on trouve
(5 — 2^) (— 42/' + 267/ + 5) — (zy^ - sy — 7)' = o»
ou bien,
On en déduit pour les racines
Par leur substitution dans la première équation de Cauchy, on trouve, pour les valeurs correspondantes de x,
108. Avant de terminer, il ne sera pas inutile de faire connaître la forme des équations auxiliaires employées d'abord par Bezout. En vertu de la relation fondamentale, on a les égalités
ttox*-' + a,x<=-2 -] 1- ak.i (ftox'^-' -i- a,x'^-2 -] aA-i)x">-*>+'
boX^-' + b^x"-^-] h^ft-i ^^ {ba'-^' +bTx'''^^'+''^bZry)x^->'+'
ft/iX^'-^ + afc+iX"»-'^-'-! [-am
~" hx""-" + bk+iX"*-''-' -1 h bm
En ajoutant terme à terme Jes deux dernières fractions on trouve le
rapport ■-, — qui sera égal au premier. On a donc la relation
f{x) aox^'-' -f- a,x''-2 4 }- ak.i
ou bien
(aox^-' + ri,x'^-2 -1 \- ak-i) ^{x)
— (box''-'+h,x''-^-\ U />,,) /(x) = o.
Posons successivement
^■=1» 2, 3, ..., m; il viendra le système
aoF(ar) — b(,f[x) = o,
(aox -|- «i) F(x) — (?;oX -f- ?;,) /"(x) == o,
(ftjx* -f a,x -|- fta) F(x) — (?^ox2 -|- 6, a: -\- 62) /"(x) = o,
(ftox"»-' + a,x"»-2 -I 1- a^,) F(x)
— (M"»-» + &,x"-» -1 1- bm-i) f{x) = o.
Ce sont les équations de Bezout; elles sont les mêmes que celles de Cauchy, mais sous une autre forme ; on s'en assure facilement en remplaçant f(x) et F (a?) par leurs valeurs, et en faisant les réductions de termes.
109. Calcul des racines imaginaires d'une équation. La détermination des racines imaginaires est un problème d'élimination. Soit
une équation du degré m. Posons :
il viendra
Si on représente par ©(x, y) l'ensemble des termes réels et par i|^(x, y)' l'ensemble des termes qui renferment en facteur |/ — i, on aura
La résolution de l'équation proposée revient à celle du système
Par l'une des méthodes précédentes, on éliminera l'inconnue x; il en rcsultera une équation en y telle que
dont on déterminera les racines réelles. Soit h une de ces racines; les équations
devront admettre des racines communes ; si x = a es\ l'une d'elles, la quantité a-\-h\X — I sera une racine imaginaire de l'équation proposée. Par exemple, proposons-nous de résoudre l'équation
On trouve ici
cp (a?, y) = X* -\- y^ — 6x^y^ — x -[- i = o, ^ (x, ?/) = y [4X (x* —y^)— i] = o.
La seconde équation donne
4X Or, la première peut s'écrire
En remplaçant y^ — x^ par sa valeur, l'élimination de y se trouve effectuée,
et l'on a
Posons :
il viendra
Cette équation possède une racine réelle comprise entre 2,1 1 et 2,12. Par l'application d'une méthode d'approximation, on arrive à la valeur approchée
On en déduit :
X == zh -[/t = ûz 0,72713603.
En substituant successivement ces valeurs dans l'équation
on trouve
L'équatioii proposée admet donc les quatre racines imaginaires suivantes :
X = — 0,72713603 ... dr 0.9340992g ..-, |/ — I.
110. Résolution des équations siinultanées à deux inconnues. Il est nécessaire de présenter quelques observations pratiques sur la détermination des solutions communes à deux équations en x et y. Nous admettrons, bien entendu, qu'il n'existe entre les premiers membres aucun diviseur commun; dans le cas contraire, on le ferait disparaître par la division. D'après la théorie générale, deux équations complètes et non homogènes des degrés m et n,
(i) f(cc,y) = o, ^{x,y)=:0
à deux inconnues donnent lieu à une équation finale
du degré 7)i7i, de même que, si on élimine y au lieu de x, on obtiendrait une équation
du même degré par rapport à x. Soit 2/0 une racine simple de (2) ; à cette valeur correspondra une seule valeur Xo pour l'autre inconnue, c'est-à-dire que les équations
admettront une racine commune et une seule; car, la valeur Xo doit satisfaire à S(x) = o; s'il existait plusieurs valeurs de x correspondant à 2/0, l'équation S(a:) = o admettrait plus de mn racines, ce qui est impossible. A une racine double 2/1 de R{y) = o devront correspondre deux racines Xif X2 pour l'autre inconnue; si elles sont différentes les solutions {xty yt), (^2, yi) seront distinctes; dans le cas où Xi --= X2, le système {xi, y\) constituera une solution commune double; ainsi de suite.
En pratique, pour arriver au nombre mn de solutions communes, il faut
d'abord prendre pour m et n le degré le plus élevé des termes par rapport à ^ et 2/. Ainsi, pour les équations,
^3/" — 3 = o» ^y — I = o, on doit prendre m = 3, w = 2 ; on peut les écrire comme suit :
o .ï/' + a^^/^ + o-y — 3 = 0, o.')f-\-xy—i=o\
ce système admettra donc six solutions communes. Afin d'établir le nombre exact de mn solutions, il est nécessaire de tenir compte des solutions multiples et des solutions infinies; Tune des inconnues peut être finie, et l'autre infinie, ou toutes les deux infinies à la fois. IVous donnerons ici quelques exemples très simples pour justifier ces observations. Premier exemple. Equations :
4?/- — ^xy -1-9 = 0, ^xy — 427/ -f- g = o.
Au lieu de suivre la méthode générale, il est préférable, dans certains cas, d'employer le procédé de substitution pour arriver à l'équation finale. Prenons, par exemple, la valeur de y dans la seconde équation pour la substituer dans la première; il vient ainsi
Celte équation finale n'est que du second degré et elle donne x = 5,
a: = 3 - ; les termes en x^ et x* manquent et on doit admettre l'existence de
deux racines infinies dont le signe est indéterminé. Si on substitue les valeurs de X dans la seconde équation, on obtient pour les valeurs correspondantes
de ?/:?/=> ^ =. De plus, en écrivant les valeurs de x tirées des deux
équations, on trouve y ^^ o pour x ==■-}- 00 et x = — 00. Les deux dernières solutions du système seront donc (-j- co, o), ( — co, o).
Second exemple. Equations :
2/^ — 2xy -j- 3J?^ —1=0, y^ — x* -\- i =0.
Par la soustraction^ il vient
Portons la valeur de y tirée de cette relation dans la première des équations données; il en résultera une équation bicarrée en x. 11 y a donc ici quatre solutions finies, égales deux à deux, mais de signes contraires.
Troisième exemple. Equations :
2/* — 2xy — 3^?' -]- 6^ — 40 == o, 2y' + 4^?/ — ^x^ — 5?/ + 37 = o- On voit que les coeiTicients des termes du second degré sont proportionnels. Multiplions la première par 2 et retranchons ensuite membre à membre; on trouve
La valeur de y ou de x déd uite de cette relation et substituée dans l'une
des équations données conduit à une équation finale du second degré. 11 y
aura pour x ainsi que pour y deux solutions finies et deux solutions infinies.
X 11 En remplaçant x Qi y par — » - » les équations deviennent
y^ — 2xy — 3^'" -|- 6xz — 40^^ = o, 2 (?/2 — 2xy — 3^?'^) — 52/^ + 37^' = o.
solutions infinies correspondent aux relations
z == o, y"^ — 2xy — 3x' = o;
elles sont réelles, car la dernière équation donne
Quatrièm,e exemple. Equations :
^y"^ — 3 = Oj ^y — 1=0.
La seconde donne a; =-; en substituant dans la première écrite comme
suit :
on trouve pour l'équation finale
Elle possède trois racines nulles, une racine égale à 3 et deux racinesj
infinies, car elle devrait être du sixième degré. Pour 2/== 3> x = -• D*unj autre côté les équations proposées donnent
x =- > ac = — ;
l'inconnue x est égale à zéro pour 7/=-[-oo et y = — oo, tandis que, pour 7/ = o, on trouve la valeur unique x = co. Les solutions communes seront donc :
et cette dernière compte pour trois.
Cinquième exemple. Equations :
(7/ -- I ) x^ + yx 4- .V^ — 22/ = o, {y — i)x + 7/ =0.
Si on prend la valeur de x de la seconde pour la placer dans la première, il vient
A la racine double y = i correspondent, d'après les équations, x = -|- 00 et x = — 00. Pour y = o, la première équation se réduit à x^ = o qui donne deux racines nulles. Il y a aussi la racine ?/ == 2 pour laquelle
X = — 2. Enfin la seconde équation donne y = — j — et pour x = — i,
y == — 00; comme la première possède une racine infinie par rapport à 7/
quel que soit x à cause de l'absence de y^, on doit encore considérer le
système ( — i, — 00) comme une solution commune.
Sixième exemple. Equations :
y^ -|" 2^^^ -]- (2x^ — 4x) y -\- X- — 4 = 0, y- -\- 2xy -{- 2X- — 5x -[- 2 =0.
On peut écrire ces équations comme suit :
y (il' + 2xy -f- 2x^) — 4X?/ + x^ — 4 = 0, (7/^ 4" 2xy -\- 2x') — 5x -f- 2 = o.
Si on prend la valeur du trinôme entre parenthèses dans la dernière équation pour la substituer dans la première, on trouve
Cette relation doit être satisfaite par les racines communes; celles-ci s'obtiendront en résolvant les systèmes suivants :
y"* -\- 2xy -\- 2x* — 5x 4" 2 = o, y'-\- 2xy -j- 2x' — ^x -\- 2 = 0, X — 2 = 0; y -\- X -\- 2 = o»
On trouve
Il reste ensuite deux solutions infinies mais qui sont imaginaires. Rempla-
çons x et y par - > - ; les équations proposées deviendront :
.v' 4" --^'V -}- 2.1'* — 5.r^ -|- 2r.'- = 0. On y satisfait en posant :
^ = Of l/^ -{- 2X1/ -\- 2X' = O.
Ce qui donne deux solutions communes infinies; la dernière relation donne
ces solutions sont donc imaginaires.
Septfèmc c.icffiplc. Equations :
x^ + j!/'^^ — 3-ï"* + 3. '/'•'■ — 6//X — .r + ir — 3!r — // + 3 = o-
En retranchant et en additionnant ces équations, on trouve
6.r-(i — //) — 2//' -[- 6//' "1-2^ —6 = 0, x(2X^ + ôy^ — 1 2y — 2) = o.
Si on écrit pour cette dernière
x^{x'- -\- 3//- — 6// — lY = 0, il sera possible d'éliminer x-, et on arrive ainsi à l'équation finale
C'/ — 3) (^ — .'/^) ( I — //)' (// — 2)' //" = o. Elle possède une racine triple : // = i , deux racines doubles : y = o, y = 2, et deux racines simples ■ y = — i, // = 3. Les équations proposées donnent pour les valeurs correspondantes de .r :
lit. Équations simultanées à un nombre quelconque d'inconnues» Soit d'abord un système de trois équations générales à trois inconnues
des degrés respectifs w, n, p ; nous supposerons m ^ n ^ p ou w = 71^ p. Éliminons l'inconnue z entre la première et la seconde ainsi qu'entre la première et la troisième ; on arrivera à deux équations en x et y
(pi(x, v/) = o, (p2(x, 2/) = o,
dont les degrés seront mîi et mp. Si on élimine encore y entre ces dernières,
il en résultera une équation finale R(x) = o du degré mn X ^P = »**w/? ;
or, nous savons qu'elle doit être seulement du degré mnp. Le procédé
d'élimination successive introduit donc des solutions étrangères et n'est pas
recommandable. Nous allons exposer une méthode pour éliminer à la fois
deux inconnues et qui ne présente pas cet inconvénient.
Nous supposerons les équations ordonnées suivant les inconnues y et z de
telle sorte que les coefficients des termes du degré m dans la première sont des
constantes, ceux des termes du degré m — i, des fonctions du premier degré
en X, ceux des termes du degré m — 2, des fonctions du second degré en x,
etc.; même composition pour les autres. La troisième équation donne ;rP en
fonction de termes de degré moins élevé par rapport à cette inconnue; en
multipliant une fois par z, deux fois par z, etc., on pourra exprimer les puissances plus élevées de z au moyen de termes analogues. Substituons ces puissances dans les autres équations; celles-ci ne renfermeront plus que des termes de degré inférieur à p par rapport à z. Prenons maintenant la valeur de y"* dans la seconde équation en fonction de y"~', y"*"', ....; en opérant sur y comme sur z, on pourra aussi remplacer dans la première équation les diverses puissances ?/", ^"'''', ... par leurs valeurs de telle sorte qu'elle ne renfermera plus que des termes de degré inférieur à n et p relativement à chaque inconnue y et z. Soit
Fi (x, y, z) = o
cette équation ainsi transformée. Multiplions le premier membre par un polynôme P renfermant tous les termes du prodruit
accompagnés d'une constante arbitraire excepté pour le terme de degré le plus élevé où nous laisserons pour coefficient l'unité* Le polynôme P renfermera np
termes et np — i coelTicients indéterminés. Après avoir effectué le produit, le premier membre renfermera encore certaines puissances i?/", ?/'»+',...., z^, ;:rP+',.... que l'on fera disparaître comme précédemment. 11 restera ensuite autant d'espèces de termes qu'il y en a dans le polynôme P et les constantes indéterminées entrent au premier degré dans les coefficients de ces termes. Si on égale à zéio tous ces coefficients, on obtiendra un système de np équations linéaires par rapport aux np — i constantes indéterminées. Le déterminant de ce système égalé à zéro sera une équation ne renfermant plus que l'inconnue X, c'est-à-dire, l'équation finale du système proposé.
Le degré de cette équation ne peut dépasser mnp. En effet, remarquons que z^ est du degré/? en x, et un terme »,„—;,-'' de /"i, du degré m — p. En remplaçant z^ par sa valeur, on obtiendra une expression dont le degré par rapporta X ne peut dépasser m; il en sera de môme des autres substitutions; par suite, Fi (x, y^ z) = o est encore du degré m en x. Or, le déterminant de l'équation finale est de l'ordre np et ses éléments sont au plus du degré m en x; donc le degré de cette équation n'est pas supérieur à m/îjo. Si les équations sont générales, comme nous le supposons, ce degré sera exactement mnp. On le vérifie pour le système particulier
dont l'équation finale est x = x'""^.
Il reste à déterminer une relation entre chaque inconnue y et z avec x qui permette de trouver leurs valeurs après la résolution de l'équation finale. Dans ce but, on multiplie l'équation F| = o par un polynôme P' analogue à P mais avec un terme en moins; on fera ensuite disparaître tous les termes en y et z excepté celui qui renferme ;^ à la première puissance. Les équations de condition permettront de calculer les indéterminées et il en résultera une relation entre ;^ et x. Pour l'obtenir, on a dû égaler le coefficient de y k zéro; si on conserve ce coefficient pour égaler à zéro celui de z, on arrivera de même à une relation entre y et x.
Cette méthode s'étend d'elle-même à un système de k équations non homogènes à k inconnues, et, comme nous venons de le voir, elle conduit au théorème de Bezout qui consiste à dire que le nombre de solutions communes du systèmeest égal au produit des degrés de ces équations. Appliquons la méthode à la résolution des équations
x'-{-zy — a-=o, y''-\-xz — b'' = o, z^ -\- xy — c^- = o.
La prcmi('TC ne renfermant pas les puissances y', z"^, on multiplie immédiatement par le polynôme V et Ton a
(?/^ + a,2r-l-fE,7/-|--/,) (x' + .v:r — a^)==o;
en développant, on trouve
ifz- 4" ^iV^^ + H»?/"- + {-^^ — (('^ + 71) yz + «i ^^*
Mais les équations proposées donnent successivement
7/2 = 1)2 — xz, z"^ = c~ — xy ;
y^z = b'-z — xz'^ = b'-z — x (c* — xy) = b'^z — c-x -\- x'y ;
yz^ ■=■ c^// — xy^ = c-y — x [b^ — xz) = c^y — b'^x -\- x-z ;
y^z"^ = b^c^ — b-xy — c^xz -\- x^yz.
En substituant ces valeurs, il vient
(2x2 — ^^2 |^|)^^|^|- cî^-j- ai(2x- — ft-) + j3,6^] }-y[&2j.|a,c--}-(3,(2x2 - a^)] + &-c2 — ai&2^-P,c'x4-7,(x^-ft") = o. En égalant à zéro les coefficients des différents termes, on a
6^c- — a\b^x — (Sic'x -1- /i(x* — a"^) = o.
Par rélimination des constantes indéterminées, on trouve pour l'équation finale,
rî
