C- 2X* ft
Elle est du 8« degré conformément à la théorie générale. Pour déterminer y et z, il faut poser
{z -f «0// 4- |3o ) (x- + yz — a^) = o, ou bien
x'^z -)- Z/^^ — a^z -\- c/.oyx"^ -[" ^or- — a^a,,// -f- (3oX^ + jSo?/w — ri^(3o = o.
En remplaçant yz^ et y^z par leurs valeurs, on a, en posant j3o = o pour faire disparaître le terme en yz,
Afin de déterminer «o, on égale à zéro successivement les coefficients de y et de z; on arrive ainsi aux relations
2r[6'c- — (2X» - a^Y] = x[c* — b^\2x'' — a^)\. Elles donneront les valeurs des inconnues y ti z connaissant celles de x,
DISCRIMINANT.
11®. Étant donnée l'équation du degré m
f(x) = ttoX"" + rtiX"*-' -] 1- ft^ = o,
en la rendant homogène, il vient :
f{x, y) = aox"' -{- aiX'''-Uj -\ j- amy"^ = o.
On appelle discriminant du premier membre, l'éliminant des équations dérivées
elles sont du degré m — i et renferment toutes deux les coefficients de la fonction; le degré du discriminant par rapport à ces coefficients sera donc
Nous désignerons par o le discriminant, et nous nous proposons de chercher sa valeur pour les équations des quatre premiers degrés. Soit, d'abord, l'équation du second degré
aox^ 4" '2.(i[Xy -\- Xiy^ = o.
Les équations dérivées étant
œqX -\- a\y ==: o^ a[X -\- a2y = o, il vient, pour le discriminant,
^ — Ci Ç.0/ 2 """ Ch t*
aa ai «1 a2 Pour l'équation du troisième degré
aox'^ + ^aiX^y -[- ^CLzxy^ + a^y^ = o, on trouve, en égalant les deux dérivées à zéro
UoX- -i- 2aixy -\- aoy'^ = o, atX^ -j~ 2a2X?/ + a^y'^ = o.
Par la méthode d'élimination de Cauchy, et en posant 2/ = i, on arrive aux équations
par suite, le discriminant a pour expression
a^a. — a^a.^ 2{a^a.^ —al)
= 6a^a^a.^a. + 3a;«^ — ftjf*'. — 4»/*^ — 4r^36
C'est donc une fonction du quatrième degré relativement aux coefficients et de poids 6. On peut vérifier que l'on a aussi les relations
^ald = {2a\ — 3a,a^a^ + a.alf — 4 (aj — a,a.:,)% — al d = {2al — 3a^a^a. + a.a:)'' — 4 («| — a,a.)\ Enfin, prenons encore l'équation du quatrième degré sous la forme
On en déduit pour les équations dérivées
aox'^ -p ^a^x^y -\- yhxy^ + «3?/^ = o, ciix^ + 3(f'2X^y -\- ^a^xy^ -)- ai,y^ = o,
et, en posant y = i,
ciox'^ -\- 3«iX^ + 3ft2X -f- 0^3 = o, «ix' -[" 3^2x' -j" 3^5^ -[-(^4 = 0.
En éliminant x par la méthode de Cauchy, on trouve les équations
(a,a, — a^a.Jx^ + 3 (ft/^^ — a^a.)x + 3 (ft//^ — al) = o. Par conséquent, le discriminant aura pour expression
^of^4 - ^1^3 3 K»4 — ^#3) 3 (V4 - ^3)
Désignons par i etj les deux expressions suivantes :
j = a,ft| + a^a] + ^.J — a,ft3«4 — 2a,a.^a^ ; ces deux fonctions se nomment invariants du premier membre de l'équation.
Cela étant, si on développe le déterminant qui précode, on trouve que l'on peut mettre le discriminant sous la forme
ti3. Considérons maintenant une équation homogène du degré m sous la forme
f{x,j/) = aox'» + waix"'-'// -\ ^ ■ aiX'^-hf -] \~ a^y^ == o,
pour démontrer quelques propriétés générales du discriminant. On a :
fx (Xr y) = ^0^'"-' + {m — i) a,x'"-2y/ + •. + am-^y"*-' = o, fy {JOi y) = aix*"-' -f- {ni — I ) a2X"'-^ii -\- h amy"^-^ = o.
Désignons par (xi^/i) {x2y>),.. {xmy,n) les racines de l'équation. On sait que
f{x, y) == (x//i — 7/x,) (xy2 — yx2) ••• {xy,n — yXm),
avec les relations
»0 = Z/12/2//5 ••• ?/m, a,n = ± X,X2X3 ••• Xm.
Représentons par R l'éliminant du système
/•(x, 2/) = o, /"^Cx, 7/) = o; je dis que l'on aura la relation
R = aod.
En effet, d'après une propriété des fonctions homogènes, on peut écrire
(^-) mf{x,y)=xf[{x,y)-\-yfy[x,y).
Désignons, pour un moment, par (ai|3i), (aojSj) ...(a„,,|3m 0 les racines de
En les substituant dans l'autre dérivée et en multipliant les résultats, nous aurons à\ il vient ainsi :
D'un autre côté, afin de former l'éliminant R, substituons les mêmes racines dans mf{x, y) et multiplions les résultats; en vertu de (a), on aura :
c'est-à-dire,
R =r aod,
puisque le produit (3i|32 ... |3m i est égal à «o, coefficient du premier terme de la dérivée.
Cette propriété va nous permettre d'exprimer le discriminant au moyen des racines. Prenons la dérivée sur le premier membre de l'équation décomposé en ses facteurs linéaires. On aura
f'^=yi{xy2 — yx.2),,,{xym — yxm)-{-y2{xij^—yxy)..,{xy,n — yXm)-\- ••• En y substituant les racines (a?i?/i), (5722/2) ..., on trouve y\(x\y2 — ViXi) ... {x\ym — y\Xm),
2/2(a?i2/i — 2/2^0 •• • (^^Vm — y2Xm).
On voit que chaque déterminant du second ordre se présente deux fois et en signes contraires; le produit des résultats, qui sera l'éliminant R, se ramène à la forme
± y\yi ... ym(:ic\y2 — 2/1^2)^ (a?i 2/3 — y^x^y ... {xm-\ym — ym-iXmY. En vertu de la propriété démontrée, si on divise par
2/12/2 ... 2/m =fto
on obtient ô; par suite, il vient
(5 = Zt (a?, 2/2 2/1^2)^ (^l2/3 — 2/1^5)' . . . (Xm-iym ym l^m)%
et, en remplaçant les y par l'unité,
^ = rfc (Xi ^2)^ (Xi X'^f ... {X,n-.i XmY.
Donc, le discriminant d'une équation est égal au produit des carrés des différences des racines. Il en résulte que cette fonction des coefficients s'annule toujours dès que deux racines quelconques sont égales. Si Ton veut établir la condition pour qu'une équation admette une racine double, on cherchera le discriminant du premier membre et on l'égalera à zéro. Pour les équations du troisième et du quatrième degré, cette condition serait :
4 (a^a^ — a]) {a^a^ — a\) — {a^a^ — a^a^'^ = o, Ka, — \a^a^-\- ia\y> — '2.']{ay^ + a^a\ + a\ — a.a^^a— 2a,a^a^''=-o.
Il est possible d'exprimer aussi le discriminant au moyen des puissances semblables des racines. Nous avons vu dans la théorie des déterminants qu'en posant :
Si = X\ -\- ^i -J- " ' 'jr *^m
le déterminant
Si
. . Sm—\
Si
• • S ni.
Si
Ss .
Sm^l
représente le produit des carres des différences que Ton ohtienl en groupant deux à deux les quantités a:i, ^2, ... Xm\ par conséquent, si on suppose que ces grandeurs soient les racines de l'équation f{x)= o où le coeiïicient du premier terme est l'unité, on aura ^ = Am. Désignons par A,„i, Am-2, ... A2, A, les mineurs principaux de A^ résultant de la suppression successive des dernières lignes horizontales et verticales. Nous savons que
Si
So
= i[xi—x-iy ,
= l(xi — X2y {xi — XiY {xt — XiY ;
Si
Si Si S2 Ss Si S s S;
et ainsi de suite. Cela étant, si toutes les racines sont différentes, on
aura A^ -^ o ; si deux racines sont égales, A^ = o et Am i "^ o; car Am—i
représente une somme de termes que l'on obtient en laissant une racine et en faisant le produit des carrés des différences de toutes les autres; comme il y a dans ce cas m — i racines distinctes, il est certain qu'un terme de cette somme ne sera pas nul ; mais dans l'hypothèse de m — 2 racines
distinctes seulement, on aurait A»,— 1 = o ainsi que Am— 2"^o. En continuant ainsi, on arrive à cette proposition importante : Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation f{x) = o possède p racines distinctes sont :
Am = o, A,
114. Désignons par à et d' les discriminants des deux équations du degré m m
/•(a?,2/)=«o^"»-f-ma,a?"'-'y-| =0, F(^,?/)=M"*+^?^?>i^"'~'2/-l = <^'
et par R leur résultant; nous allons voir que le discriminant A de l'équation
a pour expression
A = R»(îry.
En effets pour former le produit des carrés des différences des racines de l'équation ((3), on doit d'abord considérer les carrés des différences des racines de f{x, y) = o, ainsi que les carrés des différences des racines de Y(x, y) = o, et leur produit sera do' ; mais on doit encore combiner les racines de /"avec celles de F, et l'on sait que le produit des carrés de leurs différences est égal à R^.
Soit encore l'équation composée
f{x, y)-{-kV(x,y) = o,
k étant une constante quelconque. Afin d'obtenir son discriminant, remarquons que ses coefficients sont respectivement ao-\-kbo. ai-\-kbi, ...; il suffit donc de prendre le discriminant d, et de remplacer ao, «i, ... par ces valeurs. Or, d est du degré 2im — i); par suite, le discriminant de l'équation composée sera une fonction rationnelle du degré 2 (m — i) par rapport à k. Il existera donc, en général, 2(m — i) valeurs de A" qui annuleront cette fonction et pour lesquelles l'équation composée admettra une racine double.
Appelons Ai le discriminant de l'équation précédente, et supposons que les fonctions /^ et F aient une racine commune a. Dans cette hypothèse, en posant y =■ T, on peut écrire
f^x) + k¥(x) = {x ^ a) [(p(,jc) + A-?, (x)].
Le second membre est un produit dont le discriminant devra renfermer le carré du résultant de
X — <x et (i)(x)-\- kvi{x).
lequel s'obtient en remplaçante? par a dans le second facteur. Ainsi A| devra contenir le carré
Donc, si on forme le discriminant D du discriminant Ai considéré comme une fonction de k, dans le cas d'une racine commune, on aura D = o, puisque A| renferme le carré d'un facteur du premier degré en k; mais on a aussi R == o; il en résulte que D doit renfermer R en facteur.
Par exemple, nous avons vu que les équations
ttoiP* -|- 2aiœ -{-«0 = 0, b(,Jc^ + 2btX -\-b2 = o ont pour résultant
R = 4(0061 — rti^o) («162 — ttihi) — {a^,b2 — Œibo)*. L'équation composée étant
(rto + kbo)x* -j- 2(ai -|- ^''i)j" + «2 + fd)i = o, elle aura pour discriminant
A , = (ff , 4- A7>o) (a, + kbi) — (fl. + kb,y = (a^a^ — «!) + ^(«0^ + «A ~ 20,/>,) + (Va — bl)k*. On en déduit
D = 4Ka, — «*) (6o^ — b]) — Ma + «2^0 — 2fl,ft,)«. En développant, on trouve D = R.
