TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS

115. Nous avons déjà exposé (N" 45) les premiers principes de la transformation des équations; ils se rapportent aux cas où l'inconnue primitive x est liée à la nouvelle inconnue y par la relation homographique

Ixy -\- mx -\- ny -\- 'p = o .

Les formules

x = -9 X = ky, k

qui servent à l'augmentation ou à la diminution, à la multiplication ou à la division des racines, rentrent dans l'équation précédente en attribuant aux constantes certaines valeurs.

Après ces transformations élémentaires, il est nécessaire d'étudier celles

i où la nouvelle inconnue y est une fonction rationnelle de plusieurs racines de \ 'équation proposée. Soit

F (x) = o une équation de degré m ayant pour racines

X^^ 3C2) Xs ... Xtn»

Posons :

y = (p(Xty X2, ... Xp).

La fonction 9 est susceptible de prendre différentes valeurs suivant le choix les ^ racines qu'elle renferme; désignons, pour un moment, par cpi, 92, ••• 9/x es valeurs de 9 correspondant à tous les groupes de p racines que l'on peut ormer avec les m racines de F(x). L'équation transformée sera

(2/ — Çi) (2/ — 92) (2/ — 93) ... (2/ — 9/.)==o.

Le premier membre est une fonction symétrique par rapport à q^o (p2 ... 9/a et aussi par rapport aux racines de l'équation; les coefficients de la transformée seront donc des fonctions rationnelles des coefficients de la proposée que l'on devra déterminer, dans chaque cas, par les formules connues. Nous allons étudier quelques transformations de cette espèce sans nous astreindre à suivre toujours la méthode générale, mais en indiquant souvent d'autres procédés pour arriver plus facilement au but. Le principe d'élimination est souvent très utile dans ces problèmes. Nous exposerons ensuite une méthode pour faire disparaître un certain nombre de termes d'une équation ainsi qu'une transformation spéciale pour les équations de degré pair.