ÉQUATIONS AUX SOMMES DES RACINES DEUX A DEUX
116. Considérons d'abord le cas particulier de l'équation du troisième degré
x^ -[" ^^^ -\-bx -{- c =o
ayant pour racines Xi, X2, Xs que nous supposerons différentes. Si, à chaque racine, on ajoute successivement les deux autres, on obtient les sommes
Xt-\-X2, Xx-\-X5f X2-\-Xi,
X2-\-X5, X5-(-Xi, X5-\-X2,
qui sont égales deux à deux. Il en résulte que l'équation aux sommes deux à deux des racines sera de la forme
[y — (^. + ^2)]^ [y — (Xi + ^3)]'' [y — (^2 + xs)Y = o.
En extrayant la racine carrée du premier membre, il vient l'équation
[y — {xi + X2)] [y — [xi -\- xs)] [y — {X2 + Xj)] = o qui correspond aux trois valeurs différentes de y
yi=Xi-\-x2, 2/2 = Xi-|-X5, y5 = X2-\-X5,
et qui est celle que l'on doit prendre pour résoudre le problème. En développant, il vient
2/^ — 2 (x, + ^2 -f- x.)y' + [x] + xl .+- xl + 3 (x.or, + x^x,^ + x,x^)]y — X1X2 (xi ~\- X2) — X1X3 (xi + X3) — xjXs (x2 + X3) — 2X1X2X5 = o.
Or, on a les relations
Xi-{-Xi-{- Xi^ — a,
X1X2 -\- XiXî -[" ^2X3 = b,
On en déduit facilement
^! + ^2 + ^î + 3 (^.^2 + ^,^5 + ^,^3) = a' + 6, x,X2 (xi + a[:2) + ^'^3 (^' + ^») + ^«^5 (X2 + ^«) + 2x«xaXs = c — ab; par suite, l'équation aux sommes des racines prises deux à deux sera : y^ -{- 2ay^ -{- {a^ -{- b) y -\- ab — c = o . Elle s'obtient plus rapidement en observant que
Xi -|- Xa = — a — X5, et comme F(x6) = o, les équations
ont une racine commune; leur éliminant doit donc être égal à zéro. La transformée en y s'obtient ainsi en posant :
X = — a — y dans l'équation proposée.
m. Considérons encore l'équation du quatrième degré privée de son second terme
X* -\- px^ -^ qx -\- r = o.
Les racines Xi, X2, X3, X4 prises deux à deux donnent lieu à six sommes différentes, et l'équation cherchée devra être du sixième degré; mais d'après la relation
a:i + X2 + X5 -|- X4 = o ou bien,
Xi -|- X2 = — - (X3 + X4),
ces sommes jouissent de la propriété d'être égales deux à deux et de signes contraires; par conséquent, la transformée en y ne renfermera que les puissances paires de l'inconnue. Afin de la déterminer, écrivons les autres relations entre les racines et les coefficients comme suit •
X,X2 + X»X4 + (x, -1" X2) (Xs + -^4 = />.
X|X2(X6 + X4) + X5X4(Xi -(- X2) = — q,
XiX2.X3X« = r.
En posant :
^ =: X| -f- ^2 == (^6 + Xi),
la première et la deuxième relation donneront :
q (a) X\X2-\-XsXi = p-+-y^f aciXj — XsXi = -*
Or, on a identiquement
(a;iX2 4" X5X',y — (a;ia;2 — x^x^Y = ^XiXiXsx^ ; par suite, il vient
c'est-à-dire,
yd |.. 2joi/* -|- (jo' — 4r) y* ^q^ = o.
C'est i'équation cherchée. Ampère a fait dépendre la résolution de l'équation du quatrième degré de celle qui précède; cette dernière n'est que du troisième degré par rapport à y'^ et elle est plus facile à résoudre. En ajoutant et en retranchant les égalités (a), on trouve
2x,X2 = 2Xi [y — xi) = 2/^ + jo + ~*
On en déduit les deux équations du second degré
x'^ ^yxr == — Uy' + p +^\
xl + yxs = — Uy' + p—^y
La première donne les racines Xi, Xa, et la seconde les racines Xj, x« en fonction de y.
Résolvons aussi la même question pour l'équation complète du quatrième degré
X* -|- ax^ -\- 6x* ~\-cx -\- d = o.
On a, pour celle-ci, les relations
{Xi-\-X2)-{-{x5-{-Xi)= — a,
X1X2 -\- X3X4 + (Xl -|- X2) (X3 -|- Xi) = h y
X1X2 (Xs + X4) -{- X5X4 (Xi -f- Xj) = — c,
Posons :
y ==Xi-\-X2y z = XiXi,
et, par suite,
Xs -\- oor,^ — a — y. x^x^
En vertu de ces valeurs, la seconde et la troisième relation deviennent
L'équation en y résultera de l'élimination de z entre ces deux égalités. Multiplions la première par — y et ajoutons ensuite membre à membre; on trouve
— Q.yz — az-\- ay"^ -\- y'' = — &y c. On en tire
y^ -\- ay^ -\-hy-\-c
En substituant cette valeur dans la première équation ((5), il vient
— \ — — n — TiT — r~ — 2/ 0^ + 2/) — ^ = o,
2y-\-a ' y^-\-ay''-\-hy-YG
ou bien, en faisant les réductions,
y^ + 2>^y^ + (3^^ "h 26)?/* + (a^ -\- \ah)y^ -f- {ac -\- 2a^b -{-b^ — 4^)2/^ + {a^c -\- db^ — ^ad) y — [ci^d — abc -(- c') ;= o.
On vérifie que l'hypothèse a = o fait disparaître les puissances impaires de y.
