Supposons maintenant que l'équation donnée

"Six) = o

soit du degré m et désignons par Xi, X2, ... ocm ses racines; si on ajoute successivement à chacune d'elles toutes les autres, on trouve m{m — i) sommes égales deux à deux, comme nous l'avons fait remarquer au commencement, à propos de l'équation du troisième degré. Si on ne considère que les sommes différentes de deux racines, on voit que l'équation aux sommes

fïhÇfïh — — T \

sera du degré — ^ • Afin de l'obtenir, on emploie de préférence le

• procédé d'élimination. Posons

y = Xi -\-X2.

On en tire

Xi =y — Xi

et l'on aura simultanément

F(x,) = o, F(X2) = o, F(?/ — X2)=o. Il s'ensuit que les équations

admettent une racine commune et leur éliminant doit être égal à zéro. L'équation aux sommes deux à deux est donc celle qui résulte de l'élimination de X entre les équations du degré m

F(x) = o, F(2/) — xF'(î/)+... ± -F'»>(t/) = o.

D'après la théorie de l'élimination, leur résultant doit être du degré m^

par rapport à 7/, tandis que l'équation cherchée est seulement du degré

mhn — i) ,,

• L équation finale renfermera donc des solutions étrangères qu'il

faut écarter. Cette particularité tient à ce que, dans le problème proposé, on suppose les racines distinctes; dans ce cas, il y a une racine commune entre les équations (y) ; mais, il en est encore ainsi, dans l'hypothèse où les racines Xi et Xi deviennent égales, ce qui est en dehors de la question.

Pour arriver à une équation débarrassée de solutions étrangères, remarquons que la méthode précédente revient à éliminer Xi et Xz entre les équations

7/ = X4-|-X2, F(xi) = o, F(X2) = 0.

On peut remplacer ce système par le suivant :

(à) y = Xt-{-X2, F(x,) = o, F(xi) — F(x2) = o,

et le premier membre de la dernière équation est alors divisible par Xi — X2. Posons identiquement :

Xi — X2

Le système des équations (d) se partage ainsi en deux autres, savoir :

2/ = Xi-f-X2, F(xi) = o, Xi~X2 = o;

Xi — Xi

Le premier correspond aux cas où les racines sont égales ; il donnera les solutions qui ne conviennent pas; le second, par l'élimination de Xi et de xa, fournira l'équation demandée.

On donne le nom de geminanl au terme indépendant de l'inconnue dans l'équation aux sommes, pris en valeur absolue; il est égal à plus ou moins le produit de toutes les sommes deux à deux des racines. En le désignant par G, on aura, par définition,

G = (X, -|- ^2) (Xi + ^3) {^\ + ^0 ... (X, + Xm) {Xi -f- X^) (Xa + X4) . . . (X2 + Xm)

(xs + X4) ... (xs -j-^»»»)

\Xrn—\ ~p Xfnj»

Cette expression est une fonction symétrique des racines, et elle doit être équivalente à une fonction rationnelle des coefficients de l'équation. Elle jouit de la propriété de s'annuler, lorsqu'il y a deux racines égales et de signes contraires. Dans cette hypothèse, on doit regarder les équations

comme étant satisfaites en même temps et leur éliminant sera égal à zéro. L'expression de G en fonction des coefficients résultera donc de l'élimination de X entre ces équations; mais il est possible d'en simplifier le calcul. Soit

F (x) = X'" -\- ax'^- ' -f- ftx'"-^ -j- \-l==Q

l'équation donnée. Pour fixer les idées, nous supposerons m pair ; alors, par le changement de x en — x, on aura

F ( — x) = x"^ — ax»"-* 4- ^x'^-^ — ^ / = o.

En ajoutant et en retranchant ces deux équations, on trouve

x'^ -\- hx'^-'^ -\- " ' = o ^ ax"*-^ + ex"'—'' -]-..• = 0.

On arriverait à deux équations analogues, lorsque 7)i est impair; l'élimination de X devra se faire entre ces dernières qui sont plus simples. Par exemple, pour l'équation du troisième degré

F (x) = x^ -j- ax^ -\- bx -\- c == o , on a

F ( — x) =î — x^ + ax^ — bx -\- c = o;

par la soustraction et l'addition de ces équations, il vient

X* -)- fe = o, «x' + c = o.

— Î248 — On en déduit pour le geminant

G c= I i) =c — ab.

a G De même, pour l'équation du quatrième degré

F (x) ^ x* -|- ^ic^ -{-hx"^ -\-cx-\'d = o, les équations à former seraient :

ic* -j- hx^- -j- d = o, ax^ -|- c == o ; l'élimination de ac^ conduit à l'expression

G = c^ — abc -\- a^d pour le geminant de cette équation.