Si, de chaque racine d'une équation du degré m

F {oc) = o, on retranche toutes les autres, on obtient m (m — i) différences de deux racines. La transformée aux différences sera donc du degré m {m — i) et ne renfermera que les puissances paires de l'inconnue; car, à une différence telle que Xi — Xt, en correspond une autre x^ — Xi égale et de signe contraire. Posons

2/ = Xi — X2;

on aura : o^i = y-j" ^2, et, d'après les relations

F {X2) == o, F (xi) = F (y -f X2) = o, les équations

sont satisfaites en même temps; l'inconnue y doit donc annuler l'éliminant de ce système. Il en résulte que la transformée en y s'obtiendra par l'élimination de X entre les équations

F (x) = o, F {x) + yr(x) -f JL F'' (x) + ... = o.

En vertu de la première, la seconde se réduit à

Considérons, par exemple, l'équation complète du troisième degré

F(x) = x^ -\- rtx* -\- hx -\-c = o.

La seconde équation à former est :

(3x2 -J- 2ax -\-b)-\--{6x-{- 2a) -\-y^ = o,

ou bien

Avant d'opérer l'élimination, on peut rabaisser l'équation proposée au second degré comme nous allons l'indiquer. Multiplions la dernière égalité par X et F(x) par 3; il viendra

3x' -f- (32/ + 2a} x^ + (^ + «2/ + y^)x = o» 3x^ -f- 3ax^ -)- 36X 4- 3c = o.

En retranchant membre à membre, on trouve

((3) (32/ — ft)x2-[-(2/2-|-ft?/— 26)x — 3C = o.

Si on forme le déterminant de Cauchy pour les équations (a) et (|S), on arrive à la transformée suivante :

y' — 2ia' - zh)y' + {a^ — 3&)V

-{.-{ah^ gcy — 1(^2 __ 3^) (?,2 ^ac) = o. 3 3

Pour l'équation incomplète

x^ -\- px -\- q = Of elle se réduit à

3/6 + ôpy' + gphf + 47?' -f 2yq* = o.

Dans le cas de l'équation du quatrième degré

F (x) = X* + ax^ -\- 6x* -\-cx -{-d = 0, l'équation

est de la forme

(a') 4x^ + (3a + 6y)x^ + (26 + ^ay + ^y^)x-\-c+by+aif + 7/» = o

Multiplions cette égalité par x et la proposée par 4; il viendra

4x* 4- {3a + 6i/)x' + {2b + yiy + 4?y')d?' -]- (c + 67/ + a?/« + ^/'jx = o, 4X* -\- 4ax' -1- 46X* -j- 4CX -|- 4^ = o.

Par la soustraction, on trouve

((3') (6y—a)x^ + {^y^-\-3aij-'2b)x*'\-iy^-^ai/+by—3c)x—^d=o.

Si on égale à zéro le déterminant de Cauchy pour les deux équations du troisième degré (a') et (j3'), on arrive à une équation du i2« degré en y; ce sera l'équation aux différences des racines de la proposée.

En posant

dans les équations que l'on obtient par cette méthode, les transformées en u seront les équations aux carrés des différences des racines; leur degré

est représenté par

car les différences égales et de signes contraires telles que Xi — xa, Xj — Xr ne donnent lieu qu'à un seul carré (xi — x^Y,

ttSO. Il existe une autre méthode indiquée par Lagrange pour former réquation aux carrés des différences. Soit

X"* + ax"*-' -|- 6x"'-^ + . . . -j- r = o

l'équation donnée ayant pour racines Xi, Xa, ... Xm, et

2^/* -|- A3//*-' + By/*-3 -f- |-R = o

l'équation cherchée. On sait que

il faut calculer les coefficients A, B, C... Posons

Sp = x^+xP, + ...+x^

Sp = (Xi Xj)'" + (xi — Xs)*^ H ,

c'est-à-dire que les quantités S et 5 représenteront les sommes des puissances semblables des racines des deux équations. Afin d'arriver à une relation entre elles, considérons l'identité

(x — x^yp + (x — XzY^ H (x — Xm)'^ = mx^P — 2/)SiX^^-'

Remplaçons x successivement par chaque racine Xt. x^ ... x,„, et faisons la somme des résultats correspondants. Si on remarque que, dans les premiers membres, une même différence va se répéter, on aura

2Sp = mb-jp — 2pb^b2p—i -[ 5aS2p 2 + • • •

Il est visible que les termes à égale distance des extrêmes au second membre sont égaux; en les réunissant et en divisant par 2, il vient

5p = m02p 2pbib2p-l -1 t52Î52p 2-h ••3= 5p.

Posons successivement : /> = i, 2, 3, ... ; on aura

s^ = mS^ — S^^

6^2 = wS, — 4S^S. + 3S|,

«3 = ff^^e — 6S,S, + 15S2S, — loS^,

Ces relations permettent de calculerai, st, 55, ..., puisque Si, S2, Ss, .-., se déterminent au moyen des coefficients de l'équation proposée (N° 48). Enfin, connaissant 5i, s^y ss, .... on en déduit, par les formules connues, les coefficients A, B, C, .,. de l'équation.

Dans le cas de l'équation du troisième degré

x^ -]- ax^ -|- 6x 4" c = o, on a :

Si =- — »,

S4 = a* — ^a^h -{- ^ac -{- 26',

85 = — (i^ -\- sa^b — 5a'c — $ah^ -\- 56c,

Se = fts — 6ct*6 -1- 6(fi'c -f- ga^b^ — i2abc — 26' -\- 3c*;

ensuite, <

Si = 2a^ — 6b,

Si = 2a* — i2a^b -(- iSb^f

Ss = 2^6 — iSa^b — i2a^c -\- sya^b* + ^^abc — 66/)' — Sic';

enfin,

A = — 2 (ft2 — ^l)^

B = ri* — 6a'b-{-gb\

Le dernier terme de l'équation aux carrés des différences représente le produit des carrés de toutes les différences des racines; d'après une propriété démontrée, c'est le discriminant de IVquation. Lorsque celle-ci admet une racine double Xi = X2, ce dernier terme sera nul; dans le cas de deux racines doubles Xi = X2, Xs •■= Xi, les différences x, — xa, Xs — X4 ont pour valeur zéro; il en résulte que les coefiicients des deux derniers termes de l'équation aux carrés des différences seront nuls, car elle doit avoir deux racines égales à zéro; enfin, pour une racine triple Xi = X2 = X3, les différences Xi — x^, Xi — x-o, Xi — Xs étant nulles, les coefiicients des trois derniers termes de la même équation seront égaux à zéro. On voit donc l'importance de l'équation aux carrés des différences pour résoudre diverses questions relativement aux racines; malheureusement sa formation est très pénible; aussi est-elle peu employée; on préfère se servir d'autres méthodes plus simples pour résoudre les mêmes questions.