ÉQUATIONS AUX PRODUITS ET AUX QUOTIENTS DEUX A DEUX DES RACINES
I!8t. Considérons d'abord l'équation du troisième degré
x' -\- ax^ -\- bx -\- c = o.
Avec les racines Xi,X2, X3 on peut former les trois produits XiX», XtXs, X2X3. Cherchons l'équation qui doit avoir ces produits pour racines. Posons :
A cause de la relation
on aura
oc^y = — c;
par conséquent, en remplaçant Xs par x, la formule de transformation sera
La substitution de cette valeur dans la proposée donne pour l'équation aux
produits
y^ — by^ -\- acy — c* == o.
Soit, encore, l'équation du quatrième degré
X* -]- ax^ -^ bx* -^ ex -]- d = o.
11 y aura six produits deux à deux et la transformée sera du sixième degré. Posons
qjz=XiX2, Z = Xi -\~ X2.
On aura
XsXi =- y Xs -(- x, = — [a -j- z).
Avec ces valeurs, les relations suivantes entre les coefficients et les racines
X\X2 -\- X3X4 -\- (xi -\- x-i) (xs -\- X4) = h
X1X2 {Xi -\- X4) + X3X4 (Xi -)- X-j) = — c
deviennent
L'élimination de z entre ces égalités fournira la transformée en y. La dernière donne
ay — c
En substituant cette valeur dans l'autre, il vient pour l'équation aux produits
y6 — \)y^ j^{^(ic —d)y*' —{a'''d'-2bd-\-c')y^-{'{ac — d)dy^— bd^y-\-d^'= o. Elle peut se ramener à la forme
— ( aH — ^bd -|- cM = o.
Enfin, supposons que l'équation donnée
soit du degré m. On peut former — ^^ ^produits deux à deux et ce
nombre indique le degré de la transformée. Afin de la déterminer, considérons l'identité
(XXO* + (XX2Y -\ \- {xXm)" = X^S*.
Désignons par Sk la somme des k'^*"" puissances des racines de l'équation cherchée; en remplaçant x successivement par Xi, X2, Xt .., Xm et en additionnant tous les résultats, on aura
Sjjt-j- 2Sk = Sfc; d'où
Sfc — Szk
Sk =
Si on pose : A = i, 2, 3, ..., on trouve
5, =-î '-y Si=-^ *-t ss = - -i etc.
Connaissant les sommes s, on en déduit (N® 48) pour les coefficients de la transformée
A== — 5„ B = -f5; — ^^V C = -f — 5^-|-35^^,— 25,V etc.
±91S. Equation aux quotietits. — Soit, d'abord, l'équation du troisième degré
x^ -\- px -^ q = o.
Si on divise chaque racine par les deux autres, on obtient six quotients.
X I Xf
Il faut remarquer qu'à un quotient tel que — > en correspond un autre —
Xj Xi
inverse du premier. En posant
il viendra,
Xi , I
ooi y
X[ , Xi X. —j— X, Z=: 1 z=-L-l 1
Xi Xi X1X2
A cause des relations
Xs = (Xi4-X2), X,X2^ ,
Xs on trouve
xl -\-2q ^pxs — q
Si on remplace Xj par x, on arrive à la formule suivante :
px — q
— 2b5 d'oii on lire
La substitution de cette valeur dans l'équation proposée donne
Enfin, en posant :
on trouve, pour l'équation aux quotients,
Considérons le cas général d'une équation du degré m
En divisant chaque racine par toutes les autres, on forme m{in — i) quotients deux à deux; ce nombre sera le degré de la transformée. Pour la déterminer, écrivons l'identité
Si on remplace x successivement par Xi, X2, ..., Xm et si on fait la somme des résultats, on trouve
m -|- 5i = Sfc . S k,
Sk désigne la somme des A'*""" puissances des racines de la transformée. On en tire
Sk = Sft . S fe — m .
En posant k= i, 2, 3, etc. on aura les valeurs 5j, s^, 55, etc. qui permettront de calculer les coefficients A, B, C, ..., de la transformée aux quotients.
1*3. Equations aux sommes et aux diff'érences des produits deux à deux des racines de l'équation du quatrième degré. Soit l'équation
X* -\- px^ -\- qx -\-r = o
ayant pour racines Xi, Xa, Xs, X4. En faisant la somme des produits deux à deux, on trouve seulement les trois valeurs différentes
X1X2 -j-^J^Ci, X,X3 + XiX4. XiX^ -\- XiXi,
et la transformée sera du troisième degré. Posons
Nous avons trouvé précédemment (N° 117)
z = XiXi-\- XtXt =p-\-y^ où y = xi -]^X2. On en tire
En substituant cette valeur dans l'équation aux sommes
y^ -\- 2py' + (p^ — 4r)i/» — ^^ == o, on trouve, pour la transformée en z,
z^ — pz'^ — ^rz -j- 4jor — q^ =^ o. Dans le cas de l'équation complète
x* -[- ax'^ -j- bx^ -)- ex + d = o,
il faut prendre l'équation aux produits (N** 121) dans laquelle y =: X1X2. On aura
z = iCia;2 4~^5^4 = XiXi -] = y -A — •
xiX2 y
Par la substitution de cette valeur, on trouve
z^ — bz^ -j- {ac — ^d)z — {aH — 4M + c^) == o.
En second lieu, cherchons la transformée ayant pour racines les différences des produits deux à deux. Il y a six valeurs à considérer, savoir :
X8X4 — X1X2, XjX4 XiXs, X3X5 X1X4;
elles sont égales et de signes contraires deux à deux ; par conséquent, la transformée sera du sixième degré et ne renfermera que les puissances paires de l'inconnue. Posons
Nous avons vu (N" 117), qu'avec la valeur y = xi -\- X2, on a la relation
on en tire
En substituant cette valeur dans l'équation aux sommes deux à deux des racines, il vient la transformée en u
y,<i — (p2 — ^r) u* — 2pq'^u^ — q* 7= o.
Il faut résoudre la même question pour l'équation complète
X* -|- ax^ -\- bx^ -{- ex -\- d = o .
D'après le numéro 121, si on pose y = XiXo, on a
u = 0:1X2 — XsXt, = y ;
on en tire,
y^ — uy — d = o.
On arrivera donc à l'équation en u en éliminant y entre cette relation et l'équation aux produits (N" 121); mais il est préférable de suivre la méthode suivante. En posant z =^Xi +X2, nous avons trouvé les équations (N« 121)
D'après la défmition de w, on a
En substituant cette valeur dans les équations précédentes, on obtient
2y — II, — z(a-\-z)==hf ay -\- zu = c.
Cette dernière donne
c — ay
par suite, l'autre devient
/c — mj\ {c — ayy
2y — u — al • ) — = 6,
ft^y^ — y {2CIC 4- a^u -{- 2u*) -|- (c'^ -|- acu + bu- -j- u^) = o.
Le problème revient ainsi à éliminer y entre cette équation et la suivante :
2/^ — uy — d = o.
On trouve, par l'éliminant de Cauchy,
u^-{-{2ac ^b^-{-^d)u'-\-{a'c'' — 2a''bd + 8acd ^2bc^)u^ -^{aH—c^f = o.
194. Eqicatioîi aux carrés des racines. Etant donnée l'équation
a?"' + «•^"*~' + ft^*""' + cic"»-^ -| (- r = o
ayant pour racines r,, x-i, ..., a;», proposons-nous d'en former une autre qui ait pour racines
On a
(a) ^'"4"^*^'""* -\ [-r = (ip — J7i)(^ —«2) ••• (iP — a?m).
Par le changement de a? en — x^ l'équation
F ( — x) = x'^ — aj?'"-* 4- 6x''»-2 -- ca?"'-2 -|~ ' . . = o admettra pour racines — X\^ — iPa, ..., — a?m, et nous aurons aussi (a') a:'" — ax"*~'-|-^-^'"~^ — cx'"~^+'"=(a;4-^i)(^+^2)ic+X3)«*'(a;+a;m)- Si on multiplie les égalités (a) et (a'), il vient
(x"» -|- 6a;"'-2 |cij?m-4 |-...)2 — (ax»"-' -[- ex"*"' + ^^'"" ^ M Y
= {x^ - xl){x^ — x]) (x^ — Xg) ... {x^ — xl^). Par conséquent, en développant et en posant
x^ = y il viendra pour l'équation aux carrés des racines
ym (c^2 26) 2/"*-'
+ [b* — 2ac + 2d)y'^-^ — (c^ — 26^ + 2ae — 2f)y'^-' -) = 0.
La composition de cette équation est facile à retenir. Le coefficient du second terme est égal au carré du coefficient du second terme de l'équation moins le double produit des coefficients des termes adjacents ; le coefficient du troisième terme renferme le carré du coefficient du troisième terme de l'équation moins le double produit des coefficients des termes adjacents, plus le double produit des deux autres coefficients à égale distance du troisième ; ainsi de suite; de plus, les signes -\- et — alternent. Ainsi, pour les équations
x^ -\-ax-\-h = o,
x^ -|~ ax'^ -\-hx-\-c = o,
a?* -j- ax^ -\-hx'^ -\-cx^d==Oi
les transformées aux carrés des racines seront :
yz --(«2 — 2h)y^-\- {b^ — 2ac)y — c' = o,
y' — (a' — 26)'/ + [h^ — 2ac + 2d) y' -— (c^ — 2bd) y -{- cJ* = o.
