DISPARITION DE PLUSIEURS TERMES D'UNE ÉQUATION
1*5. Considérons l'équation du degré m
F (a?) = kox^ + A.a;"»-' + . . -j- A^ = o, et posons
y étant une nouvelle inconnue et t une quantité indéterminée. L'équation transformée sera de la forme
1*2 I.2.«« TYv
ytn — 1 ' ym — 2
AorH h tF^""'^WH -, rF<-*>(«)-l — f-F(o=o.
Si l'on veut faire disparaître le r'^*"* terme dans cette transformée, il faut déterminer t de manière à satisfaire à l'équation
qui est du degré r — i par rappart à t ; par conséquent, il est possible, en général, de faire disparaître le r^^'^^ terme d'une équation de r — i manières différentes.
Le cas le plus intéressant et le plus utile à signaler est celui de la disparition du second terme. L'équation de condition est alors
F<'»-*>(0 = o, ou mkat + A, = o.
On en déduit
mkt
La transformation précédente revient à diminuer les racines de la quantité t\ par suite, cette valeur établit la règle suivante : Pour faire disparaître le second terme d'une équation du degré m, il faut diminuer les racines du quotient, changé de signe, du coefficient du second terme par m fois le coefficient du premier.
Il n'y a pas lieu de chercher à faire disparaître le dernier terme ; car
l'équation
est précisément la proposée où x est remplacé par t. Cette transformation reviendrait à résoudre l'équation donnée .
Lorsqu'on fait disparaître le second terme, la transformée prend une forme élégante en écrivant l'équation avec les coefficients du binôme comme suit :
, m(m — i) F(a?) = CûX"" + ;?m,^'"-' -1 ^ ^ftaa?'"-^ i \-am = o.
La condition précédente devient :
ttot -[-«1 = 0,
d'où
ai
La formule de transformation est donc
at
ao
et, en remplaçant les dérivées par leurs valeurs, l'équation en y est de la forme
mim — i) I , , , , , m(m — i)(m — 2) 1 , , , , x -7—— Zi ^< - «^o«^ J r-' H — — ri (2^î — 3»o«i % + <(^z)y'''
(3»; — 6aQa\a^-\r ^ala^% — alar^y^-^ -\ = 0
En particulier, l'équation du troisième degré
peut se ramener à la forme dans laquelle
De même, l'équation du quatrième degré
a«a?* -|- ^a\x"^ -\- ùa^x^ -\- ^aix -[- a^ = o est susceptible de se réduire à
ou
fi A
r = — — (3a; — 6a,ftX + ^ala^a, — a^J. ^0
Les fonctions des coefficients qui entrent dans la transformée se nomment quelquefois variants quadratique, cubique, biquadratiquc, etc. de Tcquation proposée.
196. Disparition de plusieurs termes. Soit Téquation du degré m
Posons :
OÙ y désigne la nouvelle inconnue, a©, a\ ..., des coefficients indéterminés et n un nombre inférieur à m. Cette dernière relation peut s'écrire
a.nX'^ -\~ a«iii?'*~' -}-••• -"1- c(.iX -\- c/.Q — y = o.
Si on élimine x entre les deux équations, on arrive à une transformée en y qui sera du degré m comme la proposée, et dans laquelle les coefficients des diverses puissances de y renfermeront les indéterminées a^, «i, ... «n", on pourra donc disposer de celles-ci pour faire disparaître un certain nombre de termes de l'équation.
L'élimination peut s'opérer ici très élégamment par les fonctions symétriques. L'équation proposée donne
a?"' = — aa?*"-* — &a?'"~* •• r.
En multipliant par x et en remplaçant o?"* au second membre par sa valeur, on exprimera i)?"*+' au moyen des puissances a?"*"', a?"'""-, etc. Il est évident qu'en continuant la multiplication par a?, toutes les puissances aj"'+^, a?"*+% etc. pourront s'exprimer de la même manière. Cela étant, élevons la fonction y aux puissances i, 2, 3, ..,, m et rabaissons les puissances de x au-dessous de m ; il viendra les équations
i/« = /3o + (3.0^4 hP— »^'
2/'« = ^ç-]- A,a?-] \-lm^xX'
Les coefficients j3 sont des expressions du second degré par rapport à «o, ax, ...; les coefficients y, du troisième degré etc.; enfin les coefficients A seront du degré m relativement aux mêmes quantités. Désignons par So, Si, Si, ..., les sommes des puissances semblables des racines de F(.r); par ^0, Si, Si, ..., les sommes analogues pour la transformée. En substituant
successivement toutes les racines de la proposée, ces équations conduisent aux suivantes :
5, = mocg -\- a,Si 4- «sSo -\- ••• + anS„, 52 = m|3o + P'^' + (32824 |-|3m-iSm— 1,
Connaissant Si, S2, S5 ..., on en déduira Si. S2, Ss, ..., ainsi que les divers coefficients de la transformée (N" 48). Si on représente cette transformée par
r' +Pl2/"'"' + P22/"'-' -i Pm = O,
on sait qu'un coefficient P, est une fonction de 5i, 5>, 55, ..., 5,; par conséquent, si Ton veut faire disparaître n termes en suivant le premier, on devra
poser
5i = o, 52 = o, ..., Sn = o.
Ces équations sont respectivement des degrés i, 2, 3, ..., n. par rapport à ao, a«, ...; en posant «„= i, elles forment un système de 71 équations à n inconnues savoir :
«t, Û^I» OC2, ..., «n— |.
Par l'élimination de n — i de ces quantités, on arrivera à une équation
du degré
pour déterminer la dernière. Cette méthode est surtout utile et intéressante pour ramener les équations du troisième, du quatrième et du cinquième degré à d'autres plus simples et plus faciles à résoudre. Nous en donnerons quelques exemples.
IISI. Appliquons cette méthode à l'équation du troisième degré
a?' + ax* -\-bx-\- c = 0,
pour la ramener à la forme
On doit poser
y = OLo -\- (XiX -{- Cf.iX^.
En élevant au carré et au cube, il viendra des équations de la forme
y = ûco -\- oLiX -]- UiX^,
après avoir rabaissé les puissances a;', ic*, ..., au-dessous de la troisième. Celles-ci conduisent ensuite aux relations
52 = 3(3o + (3iSi -f- /3?S2, Si = 370 + ySi + y-'S2,
qui permettent de calculer les valeurs de 5i, 6*2 , 53; par suite, on aura pour la transformée (N" 48)
y^ — s^if -]- ~ {s] — s )y (5J —35,5a 4- 25,) = 0.
Le second et le troisième terme disparaissent avec les conditions
Or, Si est du premier degré, 52 du second degré par rapport à «o» «i, «2. Posons : «2= I, et portons la valeur de «o tirée de la première dans la seconde ; il en résultera une équation du second degré en <xi . Donc, l'équation cubique complète peut toujours se ramener à la forme
en résolvant une équation du second degré.
t9S. 11 ne sera pas inutile de traiter la même question par un autre procédé d'élimination. Soit
y = X^ -\-VX -\-Wy
V ti w étant des constantes indéterminées. Si on désigne par u la différence ^^ — 2/î on aura
(a) œ^ -\-vx-\-u = o.
L'équation proposée étant
x^ -\- ax^ -\-bx -\- c = Of
on simplifie l'élimination de x de la manière suivante. La relation (a) multipliée par X donne
x^ = — vx^ — ux;
en substituant cette valeur, l'équation du troisième degré se réduit à
La transformée en u résultera de l'élimination de œ entre (a) et ((3). L'éliminant de Cauchy donne
[(6 — u) — v(a — v)] [cv — (b — u)u] — [c — u (a — v)Y = o,
ou bien,
u^ — l(i{v — a) + 2&] u"^ + [^(^^^ — av -{-b) -\-c {^v — 2a)]u — c(v^ — av^ -\-bv — c) = o.
Désignons par (p{u) le premier membre de cette équation. On obtiendra la transformée en ij en remplaçant u par w — y; il vient ainsi
(^(w) — y^'{to) A 9"(^) — y^ = o.
Pour faire disparaître le second et le troisième terme, on aura les équations
ou bien,
^iv — a(v — a) — 2& = o,
3to* — 2[a {v — a) -\- 2b] w -{- b {v^ — av -\- b) -]- c {^v — 2a) = o.
Les premiers membres sont les dérivées ©''(w), 'p'(w) dans lesquelles ii^ est remplacé par w. Enfin, si on élimine Wj on trouve l'équation du second degré
(a* — 36) v^ — (2a^ — yab -\- gc) v -\- a" — ^a^b -\- 6ac -j- 6^ = o
qui résoud le problème proposé.
t!89. Soit encore l'équation du quatrième degré
a?* -{- ax^ -\- bx^ ■\- ex -\- à = o .
Nous allons voir qu'elle peut se ramener à la forme
Considérons la substitution
x^ -\-vx-{-w — y = Oy ou bien
(«') x^ -\-vx-\-u = o,
en posant : u = w — y. Afin de faciliter l'élimination, rabaissons l'équation du quatrième degré au second au moyen de la précédente. Celle-ci donne
X^ = — VX^ — UXf x'' = {v^ — u) X* 4~ ^^^'
En substituant, l'équation biquadratique se réduit à
(|3') (v^ — jU — av-\- b)x^ -j- (uv — au -\' c) X -{- d == o.
— 26o — Eliminons maintenant x entre (a') et ((3'); il viendra
[i, (^« __ -j^ av -\-h) — {uv ^ au -\- c)] [{uv — au-\-c)u - rfv] — \u (î)^ — ih — ax) -^-h) — àY = o, c'est-à-dire
u^ — \a{v - a)-\- 2b] u' + [b {v^ — av-\-b) -{- ^cv — 2ac + 2d]u^ — [c {v^ — av^ -\-bv — c) -\-d (4^2 ^^^j j 2hd] u -\- d[v^ — av^ -\-hv'^ — cv -\- d)^o. Désignons par f{u) le premier membre de cette équation ; si on remplace u par w — 7/, il vient pour la transformée
f(^v) - y f'{w) + -^nw) ^^r'M + y' = o.
Le second et le quatrième terme disparaîtront si l'on pose :
f(w) = o, f"'(w) = o, ou bien
^w^ -- 3 [a (^ — «) -[- 26] w^ -\-2[b (t;2 -av-^b)-\- ^ov — 2ac + 2d)]w
— [c (y^ — av^ -\- bv -^ c) -\- d (41;^ ~ ^av) + 2&ci] ==• o,
Les valeurs des indéterminées v et w propres à résoudre le problème s'obtiennent par ces deux équations. En portant dans la première la valeur de w tirée de la seconde, et en faisant les réductions, on trouve
(a' — ^ab -\- 8c)v'' — (3a' — i^a-b -\- 2oac + Sb- — ^2d)v^
-\-(^a^ — j6a'b -j- 2oa^c -\- lôab^ — 32arf — i6bc)v (^6 — ea*b + Sa'c + Sa'b' — 8a~d — 1 6abc + Se') = 0.
De là résulte cette proposition : L'équatioîi complète du quatrième degré se ramène à la forme
par la résolution d'une équation du troisième degré,
t»0. D'après la méthode qui précède, pour faire disparaître le second, le troisième et le quatrième terme d'une équation, il faut résoudre le système
Si^o, S2 = o, 53=0.
Les degrés de ces relations par rapport aux indéterminées étant i, 2, 3, l'équation finale sera, en général, du sixième degré. Cependant, par une T)ropriété spéciale d'une fonction homogène du second degré, il est possible
de résoudre le problème par une équation du troisième degré. On doit, dans ce cas, prendre
Après avoir formé les équations précédentes qui sont homogènes par rapport aux indéterminées a, on tire de la première la valeur de «o en fonction des autres pour la substituer dans la seconde et la troisième. Désignons par
ce qu'elles deviennent par cette substitution. La première est homogène et du second degré par rapport à «i, aj, «s, a*; or, nous savons par la géométrie analytique qu'une telle fonction peut se ramener à une somme de quatre carrés de fonctions linéaires, de telle sorte que l'équation s'^ = o peut se remplacer par la suivante :
où «I, aj, as, a^ sont des quantités connues et cpi, 92, cps, (p^ des expressions du premier degré en ai, «2, «sr «4- Elle sera satisfaite en posant :
«i9Î + «29» = o, a^(pl -f a,(pl = o ; mais ces équations deviennent linéaires par l'extraction d'une racine carrée; par suite, si on en tire les valeurs de «i et a.2 en fonction de az et a» pour les substituer dans s'~ = o, on arrivera à une équation homogène du troisième degré. Donc, il est possible, en général, de faire disparaître le second, le troisième et le quatrième terme d'une équation en résolvant une équation du troisième degré.
TRANSFORMATION DU PREMIER MEMBRE d'UNE ÉQUATION DE DEGRÉ PAIR EN UNE
