DIFFÉRENCE DE DEUX CARRÉS

t3t. Soit l'équation générale de degré pair

F(i») = a?'"» + Aiaj^"»-' + A2^*"»-=^ -\ [- A2«, = o.

Désignons par a?i, Xz, ... x^m ses racines. On a

F (a;) = {x — Xx) {x — Xz) {x — Xi) ... (x — a?9m).

Partageons les 2m facteurs du second membre en deux groupes de m facteurs, et appelons P et Q les produits respectifs de ces facteurs. On peut écrire

F(a?) = PXQ.

A chaque groupe de m facteurs donnant lieu à un produit?, en correspond un autre donnant un produit Q; le nombre de manières d'opérer le partage indiqué sera représenté par

Les produits P et Q étant des polynômes du degré m, nous pouvons poser :

Q = ic'" + C,it;"»-' -f C.a?'"-^ -1 [-Cm;

par suite,

i(P + Q) = ^- + |(B, + CO^--' + |(B,-f C^)^^-^-^ Hi^.n + Cm),

ou bien, en désignant par ai, «2, ... dm, ^i, &2 ... 5»n les coefficients de ces polynômes,

i(P -|- Q) = a?*" + a,^"»-' -j- «23?'"- 2 -1 -f- ftm,

1(P — Q) = &,a?--' +620;--^ -1 \-hm.

En vertu de l'identité

PXQ = [|(P + Q)r-[|(P-Q)]',

il viendra

Le second membre renferme 27n constantes inconnues ; en égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres, on aura les 2m équations nécessaires et suffisantes pour les déterminer. Le coefficient «1 se trouve immédiatement en remarquant que le seul terme renfermant a?*"*~' est 2^10?*"'"'; par suite,

En laissant les puissances a?''" et a?^'""', il y aura 2m — i équations de condition; si on élimine les constantes «2, «s ••• cimy &i, bs ... bmy l'équation finale en bi devra être du degré N2m qui représente le nombre de manières de former les polynômes P et Q. Nous avons donc la proposition suivante :

Le premier membre d'une équation de degré pair 2m peut se transformer de N2m manières e7i une différence de deux carrés, le terme positif étant le carré d'un polynôme du degré m et le terme négatif celui d'un polynôme du degré m — i .

Appelons R et S les polynômes des parenthèses de la dernière égalité;

on aura

F(^) = PXQ = 1^' — S%

et les racines de l'équation proposée s'obtiendront en résolvant les équations de degré moins élevé

Pour appliquer cette méthode aux équations de degré impair, il faudrait préalablement multiplier leur premier membre par œ; ce qui revient à introduire une racine nulle.

Comme exemple de cette transformation, prenons Téquation du quatrième degré sous la forme

X* -f- 2px^ + qx^ -|- 2rx -\- s = o. On a ici : m = 2, N4 = 3. L'équation fondamentale est de la forme X*' -j- 2px^ 4~ 9^^ ~t~ ^^^ -\- S = (x^ -]- px -\- azY — (biX -\- b2Y. On en déduit les équations de condition

2a2 + jo' — 6^ =g, pa^ — b^b^ = r, al'-bl = s; d'où on tire

b^ = 2a^-\-p^ — q, bib2=pa2 — r, bl = al — s; par suite, l'élimination de bi et &2 donne

(2^2 + jo' — q) {al — s) = {pa-i — r)% ou bien

2a\ — qa\-{- 2 ipr — s)a-i-\- s(q — p'^) — r* = o.

C'est une équation du troisième degré en «2 qui admet toujours une racine réelle. Désignons par a'^ une racine de cette équation et par b\^ b'^ les valeurs correspondantes de 61 et 62. On aura

R = a?' -1- pa? + a;, S = b\x + 6;,

P = R + S = a?» + (jo + &; )^ + û^; + &;,

Q=:R — S = a;2 + (;) — b\)x + «; — &;. En égalant les trinômes P et Q à zéro, il vient, pour les racines de l'équation proposée,

XX, (p b\) - i/(p - b;y - 4K - Kh

Soit encore l'équation du sixième degré

F(a?) = x^ -\- 2ax^ -j- hx*" -\- 2cx^ -j- dx"^ -\- 2ex -|- /"== o. On doit poser :

F (a?) = {x^ -j- ax^ -\- a2X -\- a^Y — [hix^^ -\- b2X -|- 63)% «2» ttsf bi, 62, ht étant les coefficients inconnus. On en déduit les relations

b =■■ 2a2-\- ci^ — b\,

c = as-\- aa-i — ^1^2»

rf = a| -j- 2aa^ — b\ — 26165,

e = a^az — 6265,

Si on élimine a^^ «5, 62, &3 entre ces cinq équations du second degré par rapport aux inconnues, on doit arriver à une équation du dixième degré en bi. Ce résultat est conforme à la valeur de Ne = 10. On voit donc que la transformation proposée dépend d'une équation d'un degré plus élevé et plus difficile à résoudre. Si on pose m = 4, m = 5, w = 6, on trouve encore

N8 = 35» Nio=i26, N,2 = 462.

Tous ces résultats nous montrent qu'en voulant résoudre une équation algébrique au-delà du quatrième degré, on tombe sur une équation d'un degré beaucoup plus élevé que l'équation elle-même; ce qui fait prévoir que cette résolution générale est impossible.