ÉQUATIONS SUSCEPTIBLES D'ABAISSEMENT

CA.S PARTICULIERS OU LE DEGRÉ d'UNE ÉQUATIOM PEUT S' ABAISSER.

iS!3. Une équation étant d'autant plus facile à résoudre que son degré est moins élevé, on doit profiter de toutes les circonstances et de toutes les conditions données pour abaisser son degré. On y arrive généralement, lorsqu'il existe certaines relations entre les coefficients ou entre les racines. Nous en donnerons quelques exemples très simples. Soit, d'abord, à résoudre l'équation du troisième degré

^^ -\- ax^ -\-hx -\- c = o^ étant donnée la relation

h^ — ^ac = o.

On a

— x^ == ax^ -\-l)x -\- c;

en multipliant par ^ab, il vient

— yibx^ = ^ba^x^ -\- ^b^ax + ^abc.

Or, en vertu de la relation donnée, b^ = ^abc, et en ajoutant a^x^, le second membre devient un cube parfait. L'équation proposée peut donc se ramener à la forme

{a^ — ^ab) x^ = [ax -\- bf ,

ou bien

xi^ a^ — ^ab = ax -\-b.

On en déduit pour l'inconnue

De même, proposons -nous de résoudre l'équation du quatrième degré

ax'^ 4" ^^' + c^' -\- dx -{- f = Of dans le cas où

m et 71 étant des nombres donnés. On peut poser

a = km'^, f = kn^y b = A'm, d = k'n.

Substituons ces valeurs dans l'équation; en réunissant les termes deux à " deux et en divisant par x^, on trouve

k(^„,V + '^'^+k'(^mx + l^ + e=^o.

Cette équation s'abaisse au second degré en posant :

y = mx -4- - • -^ X

En élevant au carré, on en tire

m^x^ -j = 2/^ — 2mn.

De plus, k = — ,» k = — ; en vertu de ces diverses valeurs, l'équation

devient

bm cm'^ — • 2amn

Après avoir trouvé les racines de cette équation, on les substitue dans la relation posée

mx"^ — yx "{- n = o

et on en déduira les quatre racines de l'équation proposée. Par exemple, l'équation

«* + 5^^ + lo^' -|- 1 50? -j- 9 = o satisfait aux conditions données; on a : m = i, yi = 3; par la résolution de deux équations du second degré, on trouve pour les racines