I ±1/— II - I

133. Cas où le geminant est nul. On sait que, si le geminant d'une équation

est nul, il doit y avoir au moins deux racines égales et de signes contraires. Il en résulte que les équations

admettent au moins deux racines communes. On les déterminera en cherchant le plus grand commun diviseur entre les polynômes F (a?) et F( — x). Soit D leur diviseur commun; les racines de l'équation

appartiendront à F(a?) = o. De plus, si on appelle (d{x) le quotient de F(j^) par D, il restera à résoudre Téquation

dont le degré sera au minimum inférieur de deux unités à celui delà proposée. Soit l'équation du troisième degré

x^ -\- ax"^ -\-hxA^t = o

pour laquelle G = c — ah. Supposons

on aura : c = ahf et l'équation peut s'écrire

x^ -\- ax^ -^bx ~\-ab = 0f ou bien

L'équation proposée est donc équivalente aux deux suivantes :

a;-|-ft = o, x'^ '\-b = o.

Pour l'équation du quatrième degré

X* -[- ax^ -\-bx^ -{- ex -\- d = o, on sait que

G = c^ — abc-\-a^d; s'il est nul, on aura

abc — c^ a*

Changeons xe^. — > x dans l'équation, il viendra

x*' ax^ -j- bx* — cx-\-d=* o .

Si on retranche cette équation de la première, on obtient

ax"^ -[- c = o.

et celle-ci doit être vérifiée par les racines ccmmunes : elle donnera donc les deux racines égales et de signes contraires. Afin d'obtenir l'équation qui doit fournir les deux autres, on doit diviser F(^) par aic* -|- c; eu égard à la valeur de rf, on trouve que le reste est nul; le quotient multiplié par a et égalé à zéro donne l'équation

.ah — c

x^ -\- ax -\ = o

dont la résolution fera connaître les deux dernières racines.

On voit que, pour les équations du troisième et du quatrième degré, on peut éviter la recherche du plus grand commun diviseur entre F(a?) et F( — x)\ mais, il n'en est plus ainsi, en général, pour les équations d'un degré plus élevé.

134. Cas où le discriminant est égal à zéro. Lorsque le discriminant d'une équation

s'annule, il y a des racines égales. Il s'agit de montrer comment doit se faire, dans cette hypothèse, la résolution de l'équation. Pour fixer les idées, admettons que l'équation possède seulement des racines simples, doubles, triples et quadruples. Désignons par Xi, X2, X3, X4 les produits des facteurs linéaires qui correspondent respectivement à ces diverses racines, chacun d'eux étant pris seulement une fois. On aura

Nous avons vu (N*' 43) qu'il existe entre V(x) et sa dérivée un plus grand commun diviseur qui se compose de tous les facteurs qui correspondent aux racines multiples élevés à une puissance inférieure d'une unité à leur degré de multiplicité. En le désignant par D, ce sera :

De même, le plus grand commun diviseur Di entre D et sa dérivée aura pour expression

et celui qui existe entre Di et sa dérivée

Divisons ces diverses égalités membre h membre et posons :

— — — = Q = XiX2X6X^, — = Qi = X2X$X4, XI JJi

Enfin, si l'on divise encore ces dernières membre à membre, il vient

Q Qi Q2

p;-=Xi, -— =X2, -— = X3, D2 = X4.

Vl V2 1^2

Donc, par de simples divisions, en partant du premier membre de l'équation, nous sommes parvenus à dégager les facteurs X^, X2, X5, X4, qui correspondent aux différentes espèces de racines. La résolution de l'équation proposée est donc ramenée à celle du système

X| = o, X2 = o, Xs = o, X4==o;

la première donnera les racines simples, la seconde les racines doubles, la troisième les racines triples et la quatrième les racines quadruples.

Cette méthode si simple en théorie est d'une longueur désespérante en pratique. On doit l'éviter autant que possible; il est facile de montrer qu'elle n'est pas nécessaire pour les équations du troisième, du quatrième et du cinquième degré. Les divisions s'effectuent avec des polynômes entiers, et il est évident que l'on trouve à la fin pour les quotients X des fonctions rationnelles; si l'une d'elles est du premier degré, la racine qu'elle fournit est nécessairement rationnelle. On ne peut obtenir une racine incommensurable ou imaginaire que si l'un des quotients X est au moins du second degré. Nous avons vu que les racines multiples commensurables se déterminent très facilement, et avant d'appliquer la méthode des racines égales, on suppose toujours que l'équation a été débarrassée de ses racines rationnelles; il n'y a plus à considérer que les racines multiples incommensurables ou imaginaires. Or, si une équation est du troisième degré, elle ne peut admettre une racine double, ou une racine triple sans que cette racine soit commensurable. Si une équation est du cinquième degré, il y a les combinaisons suivantes qui peuvent se présenter : une racine quadruple et une racine simple; une racine triple et une racine double ou deux racines simples; deux racines doubles et une racine simple. Eans chacune des combinaisons, il y a toujours une racine qui serait commensurable. Il en est de même pour l'équation du quatrième

degré, en exceptant le cas de deux racines doubles; mais, dans cette hypothèse, le premier membre doit être un carré parfait.

Par conséquent, il n'est pas nécessaire d'appliquer la méthode précédente aux équations d'un degré inférieur au sixième.

135. 11 ne sera pas inutile d'indiquer aussi quelques cas d'abaissement provenant d'une relation donnée entre les racines. Soit l'équation

supposons que deux racines a?i, X2 satisfassent à la relation

pxi -\- qx2 = r p, q, r étant des nombres donnés. On en tire

r — px\

par suite,

11 en résulte que les équations

admettent une racine commune ; elle se déterminera en cherchant le plus grand commun diviseur entre leurs premiers membres. On la substitue ensuite dans la relation donnée, pour en déduire la valeur de X2. Si l'on divise F (a?) par [x — Xi) (x ^ 0^2), le degré de l'équation s'abaissera de deux unités.

En général, si deux racines d'une équation sont liées par l'égalité

a?2 = (p(.r0, les équations

auront une racine commune et l'équation proposée sera susceptible d'abaissement. Par exemple, si l'on veut résoudre l'équation

sachant que deux racines satisfont à l'égalité

il faudra former l'équation

Y(x*-\-x-\-î) = {x''-{-œ-^iy —6{x^-i-x-^iy'-\-n{x''-\-x-{-i) — 6=o

ou bien,

Le plus grand commun diviseur entre les premiers membres est x — i ; donc, a?i = I, et la relation donne ensuite a?2 = 3. Si on divise l'équation

proposée par

on trouve pour quotient r — 2, et la troisième racine sera x== 2. t30. Résolvons encore l'équation du degré m

dont les racines forment une progression arithmétique. Dans cette hypothèse, on peut représenter les racines par

elles seront déterminées, lorsqu'on connaîtra les valeurs de a et de r. Or, la

somme des racines conduit à l'égalité

— a = ma -A r

et, en élevant au carré,

(s) a^ = ni^a^ -|- m^{m — i)ar -j r'.

De plus, on sait que la somme des carrés des racines est égale k a^ — 26; mais cette somme a pour expression

wa* -[- 2(1 + 2 + ••• + w — i)ar 4- ^^[i^ + 2* + •• -{-{m— i)^]

= ma^ -j- ?/î(w — i)ar -j- I (2W — i) (^?t — i)mr'. Il vient donc

a* — 26 = ma* -j- m{m — 0^^~1~ i ^(^ — ^) (^^^ ""■ ^)^^» et, en multipliant par m

{s') m[a'^ — 2^) = m^a* -\- m^(m — i)ar -\- 1 7n*(m — i) {2m — i)r*. Si on retranche les équations (5) et {s'), l'inconnue a disparaît et l'on

trouve

a^(m — i) — 2bm

La quantité 7' étant connue, la première relation donnera

Pour réquai ion du troisième degré

x^ -\- ax^ -[- 6^ -|- c = o, on aurait :

par suite, les racines seront

En faisant le produit des racines et en l'égalant au coefficient c, on arrive à la relation

2«^ — <^ah -j- 27c = o

qui doit être vérifiée, lorsque les racines de l'équation complète du troisième degré sont en progression arithmétique.

Pour l'équation du quatrième degré

a?* + ax^ -|- 6a?^ -|- ca? + rf = o

les mêmes formules donnent :

=Vi*''''~'"^' - = -4— ^v/jO^'-sfi).

et il vient pour les racines