ÉQUATIONS RÉCIPROQUES

tav. Une équation est dite réciproque, lorsqu à une racine a. en corres-

pond une aulreegale a -» et si a est une racine multiple, - est aussi une racine n a

multiple de même ordre de multiplicité. En supposant que a soit -j- i ou — i ,

on a aussi que -est égal à -f- i ou — i ; mais, pour toute autre valeur, les

racines a et — sont toujours distinctes. a

Considérons l'équation du degré m

F(x) = AoO"» 4- A, a;"*- ' -j \- A.„,x -f- Am = o.

Remplaçons x par -et multiplions ensuite par x"*; on aura

x^¥ ( - ) == Ama;»" -|- Am-ix"»-' -] + A|X + Ao = o.

Si l'équation proposée est réciproque, cette dernière doit admettre les mêmes racines, et les premiers membres ne peuvent différer que par un facteur constant. On doit donc avoir l'identité

a?»"Ff - j=XF(x)

où A est un nombre déterminé, c'est-à-dire,

AmX'" -f- A^,x*"-' -1 1- A,x-f Ao

= /AûX"* + >AiX"*~' -j [- XAm-lX + AAm.

On en déduit,

Am = AAo, Am l = ?>Ai, ..., Al = AAm l, A„ = AA^.

En multipliant* membre à membre la première égalité et la dernière, on trouve /2 = I ; par suite,

/ = dr I .

D'après cette double valeur de A, les diverses égalités donnent

Am==tAo, Am l==±Ai, Am 2 = ± As,

D'où ce théorème :

Dans une équation réciproque, les coefficients des termes à égale dislance

des extrêmes sont égaux et de même signe ou égaux et de signes contraires. Il importe de remarquer que, dans le cas d'une équation de degré pair m = 2n, il y a un terme qui occupe le milieu et qui reste le même dans la transformée; régalilc partielle qui lui correspond serait :

An = dt An.

C'est une identité en prenant le signe -|- et une égalité impossible avec le signe — . 11 faut donc ajouter au théorème précédent que, dans le cas d'une équation réciproque de degré pair où les coefficients à égale distance des extrêmes sont égaux et de signes contraires, le terme du milieu doit manquer.

Nous avons fait remarquer qu'un nombre différent de l'unité n'est jamais égal à son inverse; par suite, en dehors des quantités -|- i et — i, le nombre des racines d'une équation réciproque est nécessairement pair. Donc, après avoir débarrassé une équation de cette nature des racines -j- i et — i simples ou multiples qu'elle pourrait admettre, on doit arriver à une équation de degré pair; de plus, les coefficients des termes à égale distance des extrêmes seront égaux et de même signe ; car, d'après la relation

si on pose ac = i , on obtient

F(i) = AF(i),

et comme, par hypothèse, F(i) est différent de zéro, on a

par suite,

Am = Ao, Am i=A|,etc.

La résolution de toutes les équations réciproques dépend donc uniquement de celle d'une équation de la forme

Aox»» + A,x2«-' -}- . . 4- Aix -j- Ao == o.

Or, celle-ci peut s'abaisser au degré n comme nous allons le démontrer, R.éunissons les termes ayant les mêmes coefficients et divisons par x"; il viendra

Posons

par suite,

z étant une nouvelle inconnue. La transformée en c s'obtient aisément en remarquant que

Si nous posons successivement k = i, 2, 3, 4, 5, 6, 7, on trouve

oc*

-}- — == ;2^* — 82^6 -|- 202:* — iGz"^ -\-

et^ en général,

H est visible que la substitution de ces valeurs dans l'équation abaissera son degré de moitié. En remplaçant dans la relation

c'est-à-dire,

x' — zx-\- i =^0.

l'inconnue z par les n racines de la transformée, on arrive aux 2n racines de la proposée en résolvant n équations du second degré.

138. Equations réciproques générales. On dit qu'une équation est

réciproque dans le sens général, lorsqu'à une racine a en correspond une

h autre égale à->de telle sorte que le produit de deux racines correspondantes a

est égale à une constante h. Pour que deux racines soient égales, on doit avoir

h a c'est-à-dire

En dehors de ces valeurs, toutes les racines associées seront distinctes. Donc, en admettant que les quantités \Xh^ — \/h ne sont pas racines, l'équation réciproque doit être de degré pair. Considérons donc l'équation

F(a;) = AoX'" + A.x^**-' -\ \- A2„,x + A2„ = o,

h et remplaçons x par -; après avoir multiplié par x^", on aura

x2«f( - \ = kinx'^ + Aja-i/ix»" -' + A,n-2/i'a;2"-« -1- ... -f A,/i2'»-»x + Ao/i«'' = o.

Si l'équation donnée est réciproque, on doit avoir l'identité

A étant une constante. Posons : x = [Xh\ il viendra

puisque, par hypothèse, F(|//i) n'est pas nul, on en déduit

Cela étant, la comparaison des coefficients des mêmes puissances de x dans l'identité conduit aux relations suivantes :

A.2„ = Ao/i", A2n i = A,/i"-', A2„2 = Aj/i"--, ..., An==A„.

Le type de l'équation réciproque générale sera donc

AoX»'' + A,X-"-' -\ h ^^nX" -I- An,/iX"-' + An-2/l'x'*-= 4

-\- Aih"-^x -f- Ao/i*» = 0.

— 282 -^ Afin de la résoudre, écrivons- la d'abord sous la forme

Désignons par 2; une nouvelle inconnue liée à la première par la relation

ou bien

x^ — zx -^ li = o.

On a, d'une manière générale,

par suite,

En posant k= i, 2, 3, 4, 5, on trouve

x'-\--=z'-^hz,

x* 4- — = z* - Ahz^ + 2h''

x^ ~\ — 1 = z^ — Shz^ -\- sh^z

x« 4.— g = 2r6 — 6hz*' -f gh'^z^ — 2/1», et, en général,

En substituant ces valeurs dans l'équation, on arrivera à une transformée en z du degré n. Soient 2:1, 22, ... Zn, ses racines; il restera à résoudre les n équations du second degré

x^ — ZiX -\- h = Of

X* — Z2X-\- h = Of ,,.

pour obtenir les 2n racines de l'équation proposée. Si, dans l'équation

réciproque générale, on pose /i = i , on retrouve la première équation réciproque que nous avons étudiée; on l'appelle quelquefois équation réciproque de première espèce. Sih = — i, on dit que l'équation réciproque correspondante est de seconde espèce; sa résolution est contenue dans le cas général que nous venons d'exposer.