Appliquons la théorie qui précède à quelques exemples

a; Résoudre les équations

x' -\- ax'^ -J- ftx -]- I = o, x^ — ax^ -\- ax — I = o.

Elles sont réciproques. La première a pour racine — i ; en divisant par x-\- i, il vient

La seconde admet la racine i ; la division par x — i conduit à

h) Résoudre les équations

ax^ -\- bx^ -j- cx^ -j- 6x -(- a = o, ax* -f- 6x^ — &x — a =: o, ftx* -1- 6x' -|- cx^ -j- ^'^^ "t" ^^^ = O- En écrivant la première sous la forme

on obtient pour la transformée

a{z'^ — 2)'\-bz -\-c = o.

ou bien

Si on y ajoute

x' — zx -\- i = o,

l'équation proposée se résolvera au moyen de ces deux équations du second degré.

La seconde admet les racines -|- i et — i ; en divisant par x' — i, il vient

ax* -\-bx-\-a = o.

— "-284 — Enfin, la troisième peut s'écrire

On en déduit la transformée

nz'^ -\-bz — zali -\- c = o.

La résolution de l'équation est ramenée à celle-ci et à la suivante

x^ — zx-\-h = o.

c) Résoudre les équations

La première ayant pour racines i et — i , on divise par x"^ — i et on trouve

x" -\- ^x' -f 5x2 + 3x + I = o, ou bien.

d'où, la transformée

Les racines de l'équation seront donc fournies par le système suivant :

x^ — zx-\- i =0,

L'autre équation admet la racine — i , et la division par x -\- i donne

Celle-ci a pour racine + i ; en divisant par a; — i, on a

Le nombre -|- i est encore racine ; en divisant encore par x — i . il reste

ou bien

Celte équation a pour transformée

d'oîi z=± 1. Les quatre dernières racines seront donc fournies parles équations

d) Trouver les conditions pour que l'équation réciproque du 8* degré

ac® -{- Aix' -1- Al>x<^ -j- A:x^ -f" A^x" -\- Ajx^ -{- A^x^ + A,x -|- i = o

puisse se résoudre par des équations du second degré. En l'écrivant sous la forme

on trouve, pour la transformée en z,

z^ + Aa^ -{-{Ai — ^)z^ -\-(Ai — ^\,)z-\- Ai— 2A2-f2 = o.

Cette transformée doit aussi être réciproque, et, par conséquent, il faut que Ton ait :

As -- 3A, = Ai.

On en tire

A4 = 2A2 — I , As ==4A|.

En substituant, on trouve que l'équation réciproque du 8« degré, qui peut se résoudre par des équations du second, est de la forme

x*-j-''^i^^ + A2x6-|-4A,x^-|-(2 A2 — i)x*-|-4AiX^-l-^2x'-(-A|X-|-i =0.

L'équation

est dans ce cas; elle a pour transformée l'équation

qui est elle-même réciproque. Ecrivons-la sous la forme

et posons

ou bien

z' — UZ -\- 1 =o.

On obtient pour la seconde transformée

La résolution de Téquation est ainsi ramenée à celle des équations du second degré :

iC* ZX -\- 1 = o^

Z^ — UZ -\- i = o, u^ '\- 2u — 3 == o.

e) Résoudre les équations ^u| 33.15 j i^^«2|28x" 4- 66x"> 4-92x9+ i38x«+ I35x^

^20 | ^19 4 i6x'« + i4x'7 -f- io7x'« + 8ox'^ + 386X'* + 239X"

-J- 386X® 4~ ^o^^ + ic>7x* -\- i^x' -\- lôx^ 4~ ^ ~1~ ^ = *^-

La transformée de la première est :

-' 4- 3-° + 7-' + ïo-'' + 10:^3 -f ^z' 4- 3^ 4- I = o. Elle admet la racine — i ; en divisant par z -\- i et en posant

on arrive à l'équation

qui admet aussi pour racine — i ; la division par u 4- i donne

La résolution de l'équation du quatorzième degré se ramène au système suivant :

x' — zx -\- I = o ;

-— ^287 — La transformée en z de l'autre est :

+ 142:* + 52:^ -| 6^2 + 3 + I = o. En posant

XL = z -\- -t

on arrive à la seconde transformée

iC' -\- it'' -\- u"^ -\- u'^ -\- %i -\- i =0 qui admet la racine — i . En divisant par w -j- i, il reste

Posons

La troisième transformée sera

Les racines de l'équation du vingtième degré se détermineront par le système suivant

x^ — zx -\- 1 = o,

z^ — uz -\- 1=0,

u'^ — vu

ÉQUATIONS BINÔMES.

t40. Une équation binôme est de la forme

ym ^ __ Q^ Qjj ym -—, p^^

A étant un nombre réel ou imaginaire. Elle jouit de la propriété d'avoir toutes ses racines inégales; car il n'y a aucun facteur commun entre y'" — A et sa dérivée wy"»-'. Si on extrait la racine w**"'" des deux membres, il vient

Comme toute équation du degré m admet m racines, on doit regarder j/^A comme une quantité algébrique susceptible de m valeurs différentes, ces valeurs étant les diverses racines de l'équation binôme. Désignons par a une racine deTéquation, c'est-à-dire, une quantité qui, élevée à la puissance m.

soit égale à A ; en posant

Il = aXy

il vient

a"»x"' = A, ou bien,

Cette nouvelle équation donne les racines w»«"»^« de l'unité qu'on repré-

sente d'une manière générale par yi . Cette transformation nous apprend, qu'étant donnée une racine a de l'équation binôme générale, on obtient toutes les autres en la multipliant par les racines m'*'"*' de l'unité. Ainsi, on peut écrire

Proposons-nous de résoudre l'équation

^"^ = A lorsque A est une quantité imaginaire ramenée à la forme

r(cos a -\-y — i sin a).

Posons

y = ^(cos (P -|- [/ — I sin cp),

et déterminons p et ® de manière à satisfaire à l'équation. On doit avoir l'égalité

p'"(cos cp -|- [/^ — I sin 9)*" = r(cos a -]- j/ — i sin a), ou bien

p'"(cos ma? -f- [/ — I sin mo/) = r(cos a -|- y — i sin a).

Pour que deux quantités imaginaires soient égales, il faut qu'il y ait égalité entre les modules ainsi qu'entre les arguments, ou bien que ces derniers diffèrent d'un nombre exact de circonférences. Posons donc

p'" = r, mit = a -J- 2At: ; d'où

La formule de résolution de l'équation sera

"V-/ a + 2kv. . . . a + 2kn\

y = \/r[ cos hv — I sin — y

Le module de la racine, de même que r, est une quantité nécessairement positive, et il n'a qu'une seule valeur. Afin d'obtenir les m racines, il faut, dans l'expression précédente, attribuer à k les valeurs o, 1,2,3, • • ^ — i ; il vient ainsi :

1/, = l/r ( cos - + 1/— I sin — ) , \ m m)

1/2 = 1/ r cos k IX — I sin >

y-, = yr{ cos '■ f- 1/ — 1 sin ,

*".— / a-\-2(m — i)ïï , , a -4- 2 [m — i)7r\

y^ = \/r[ cos — ^ ^ — 4- 1/— I sin — ' '-— ] •

Les arguments de ces diverses expressions sont différents et inférieurs à 27:; car on a, pour le plus grand,

= |-27r <■ 2Tr,

puisqu'on suppose a moindre que 27r. Toutes ces racines sont donc différentes et il n'y en a pas d'autres; les valeurs

k = w, k = m -\- i, k = m-\- 2, etc.

donneraient les mêmes racines, comme il est facile de le vérifier. La quantité imaginaire donnée

r(cos a -\- \/ — I sin a)

se réduit à l'unité pour 7' = i et a = o; par suite, en remplaçant y par a?, la formule de résolution de l'équation

sera :

2kiz , / , 2Â;7r

X = cos f- y — I sin ,

— ^290 — et, avec les valeurs A= o, ii i, ... m — i, on trouve les m racines

x, := cos o -f- \/ — I sin o = I,

xj = cos hy — I sin — >