X-, = cos 1- 1/— I sin

2(m — 1)7: , / , 2hn — 1)7:

oc m = cos l-l/ — I sin — '

De même, la quantité

r(cos a -|- {/ — I sin a)

se réduit à — i pour ?* = i, a ^ 7:; par conséquent, la formule propre à

résoudre Téquation

sera de la forme

X = cos^ — \-V/— I sin^ ! — —1

et les valeurs k^ o, i,2,...w — i donneront les m racines.

141. Résolvons maintenant l'équation binôme, lorsque le coefficient A est un nombre réel, positif ou négatif; il y aura à considérer les équations

Dans ce cas, on peut prendre pour a la racine w'^"" arithmétique de A, et

la transformation

y = ax

ramènera ensuite les équations à la forme

Nous venons de résoudre celles-ci par deux formules trigonométriques ; il suffira de multiplier leurs racines par a pour obtenir celles des deux équations proposées.

Si on remarque que les équations réduites rentrent dans la catégorie des équations réciproques, on peut aussi leur appliquer le mode de résolution de ces dernières. Supposons d'abord que m soit impair et posons : m = 2n -\- i\ on aura les équations

La première admet la racine -\- i; d'après le théorème de Descartes, elle ne peut avoir d'autre racine réelle. Si on divise par x — i , il vient l'équation réciproque

La seconde n'admet aussi qu'une seule racine réelle qui est — i ; la division par a; -|- I donne l'équation réciproque

Posons, en second lieu, m = 2n; i\ viendra les équations

La première possède deux racines réelles -[- i et — i ; en divisant par x^ — I, il reste une équalion réciproque de degré pair. La deuxième n'admet aucune racine réelle; elle est réciproque et se ramène à la forme

Ainsi, après avoir débarrassé les équations binômes de leurs racines réelles, il reste à résoudre une équation réciproque de degré pair 2n. On sait qu'en posant

on arrive à une transformée du degré n. Il est intéressant de constater que cette transformée en ;2r a toutes ses racines réelles. Soit, en effet, a -|- P [/ — T une racine de

a?"* = dr I ;

a — ^[X — I est également racine et l'on aura simultanément

(a + ^[/— ir =àzi, (a — |3^/— I)- = ± I ;

d'où, en multipliant,

(a» + (52)"» = I ; par suite,

Or, la valeur correspondante de z est :