I . . . . oc — pi/ — I

puisque a* -f- (^^ = ^ î ^^^^ ^ ^st réel .

149. Il importe d'étudier les propriétés remarquables de l'équation

binôme

rc"» = I.

Supposons que m ne soit pas un nombre premier; en désignant par p un facteur quelconque de m, on peut poser : m = m^p^ m\ étant un entier plus petit que m. Nous allons démontrer que les racines de l'équation

XP = I

appartiennent à la première. En effet, si on représente par a l'une de ses

racines, on a l'égalité

aP= I,

et, en élevant les deux membres à la puissance mi, il vient

a"*»p ^= I , ou a™ = I ;

donc, a est une racine de l'équation proposée.

Lorsque le nombre m est indécomposable, c'est-à-dire, si m est un nombre premier, il n'existera pas une équation binôme de degré moins élevé ayant avec la première des racines communes. Il résulte de ce qui précède que, si p est un facteur des deux nombres m et n, les racines de

x^ = 1 seront communes aux équations

Considérons le cas oh m = p. q, p Qi q étant des nombres premiers. On aura l'équation

Nous venons de voir que les racines de

(Al) xP = I, x« = I

vérifient cette équation. D'un autre côté, il existe des racines de la même équation qui ne satisfont pas aux deux dernières. Il est donc nécessaire d'établir une distinction importante entre les racines de l'équation binôme. On appelle racines primitives celles qui se rapportent seulement à l'équation et qui n'appartiennent pas à une équation binôme de degré moins élevé, et racines non primitives celles qui appartiennent à la fois à l'équation et à une autre équation binôme de degré inférieur. La valeur x = i sati.'^fait à toutes les équations binômes de la forme x"* = i ; par conséquent, l'unité doit être considérée comme une racine non primitive. Si m est un nombre premier, toutes les racines de x"* = i seront primitives excepté l'unité.

— -^Oô —

Les racines non primitives de l'équation (7) sont celles qui vérifient les équations (7j); leur nombre est représenté par

en ne comptant la racine i qu'une fois; donc celui des racines primitives sera

pq — (p + q — ^)=(p—i){q— I),

c'est-à-dire,

pq

Considérons encore le cas o\im = pqr, p, q, r étant les facteurs premiers de m. On aura l'équation

(fj) xP^"" = I.

Les racines des équations du système

(|Ul) xP = If X'i = l, X'' = l

vérifient la proposée. Il en est de même des racines du système

car. en désignant par a, j3, y trois racines respectives de ces équations, on doit avoir

et, en élevant aux puissances r, q, p,

Les racines non primitives de (a) doivent appartenir aux équations (ui) et (W2). Or, sans compter les racines égales à l'unité, le nombre des racines des équations (1^2) est :

(n) Pq-{-pr-\-qr — z\

mais, ce nombre renferme deux fois celui des racines des équations (ai) ; par exemple, les /) — i racines de arP= i différentes de l'unité appartiennent à la fois aux équations x^'^ = i, x^^ = i, et de même pour les deux autres. On doit donc retrancher de l'expression (n)

pour que le nombre des racines de (|uii) ne s'y trouve qu'une fois; enfin, comme on n'a pas tenu compte de la racine égale à l'unité, il faudra

ajouter i à la différence. Il rient ainsi pour le nombre des racines non

primitives

pq + pr-\-qr-^p — q ~r-\-i;

par suite, celui des racines primitives aura pour expression

pqr — pq - pr — qr -]- p -\- q '\- r - i = {p — i) {q — i)(r — i), ou bien,

En continuant ainsi, il est visible que le nombre des racines primitives de l'équation

sera représenté par

143. Les conclusions précédentes résultent aussi de la formule de

résolution

2/1:71 / . 2kT:

X = cos f- 1/ — I sm •

k Si m est un nombre premier, la fraction — est irréductible pour toutes

les valeurs de A;, savoir : o, i, 2, 3, ... w^ — i ; mais il n'en est pas toujours ainsi, lorsque m est un nombre composé. Pour certaines valeurs de k, il existera au numérateur et au dénominateur un facteur commun; en le supprimant, on aurait

k __ki

m mt

w-i étant plus petit que m. La racine correspondante devient alors

2kin . y . 2kii:

X = cos \- {/ — I sm •

Or, cette formule représente précisément une racine de l'équation binôme du degré mt <^ni; c'est une racine non primitive. Supposons m =pqf et considérons la formule

2kn , / . 2kn

X = cos \- Y — I sm »

pq pq

où l'on doit attribuera k les valeurs o, i, 2, 3, ...^pq-^ i.

démarquons que la fraction — aura un facteur commun aux deux termes

pq

pour les valeurs suivantes de k

A ces p -{- q — 2 nombres, il faut ajouter la valeur A; = o qui donne la racine égale à l'unité ; par conséquent, le nombre des racines non primitives sera p-{-q — i, et celui des racines primitives

pq — P ~ q + i = {p — ^) {q — 'i)'

On obtient immédiatement cette expression, en observant que la formule de résolution donne une racine primitive chaque fois qu'on remplace k par un nombre plus petit que m et premier avec m; le nombre de ces racines est donc égal à celui des entiers premiers avec m et non supérieurs à m. On sait, par l'arithmétique, que ce nombre est l'expression qui précède, et, dans le cas général, pour m = pqr . . . , on a

\ p/\ qJv r)