Si Cf. est une racine quelconque de l'équation
toute puissance de a est aussi une racine. En effet, puisque a est racine, on a
a"» = I , et, en élevant à la puissance r,
«*»»■= I, ou (a*")"» = I, donc cC est racine quel que soit r. La formule de résolution est donc
X = ce.
Si m est un nombre premier et a une racine difft^rente de l'unité, les m racines correspondent aux valeurs
de r ; ce qui donne la suite
dont tous les termes sont distincts; car, il ne peut pas arriver que l'on ait :
a" = ol''' n et n' étant plus petits que m; il en résulterait
ce qui est impossible, puisque a est une racine primitive; elle ne peut satisfaire à une équation binôme de degré inférieur.
Les puissances plus élevées de a représentent des racines qui rentrent dans les précédentes; on a
a"», a" = ce
et ainsi de suite.
Lorsque m est un nombre composé, la relation (s) pourrait exister; mais alors a serait une racine non primitive ; donc, pour que la suite donne avec certitude les m racines, il faut choisir pour a une racine primitive de l'équation. Cette propriété établit encore une différence caractéristique entre les deux espèces de racines. Ainsi, dans tous les cas, la suite
a\ a', a^, ... a*""' fournit toutes les racines de l'équation x"* = i , pourvu que a soit une racine primitive.
145. Nous allons profiter des propriétés dos racines pour résoudre commodément l'équation binôme lorsque m est un nombre composé quelconque. Soit m = pq, p et q étant des facteurs premiers. On aura
xf^= I .
Représentons par
les racines des équations
xP = I , a;'» = I .
La formule générale de résolution sera
X = aJ^^
où il faut attribuer à r les valeurs o, i, 2, ... jo — i et à ;? les valeurs o, I, 2, ... g — T. En effet, ce produit est racine de l'équation; car on a
d'où
De plus, tous les produits correspondant aux diverses valeurs de r et de s seront différents; on ne peut avoir la relation
p et p' étant inférieurs à y? et (x, a' inférieurs à q\ car il en résulterait
et les équations x^ = i , x'^ = i auraient une racine commune, puisque aP~P' est une racine de la première et ^"-'^ une racine de la seconde; ce qui est impossible, p et q étant premiers entre eux.
Cherchons, dans quels cas, la formule donnera une racine primitive. Substituons la valeur x = a'^(S* dans les équations
XP = ly X^ == I.
11 viendra
ou bien
Or, ces égalités ne peuvent avoir lieu, si ce n'est pour « = i, |3 = i ; car, autrement, il y aurait une racine commune entre x^ == i, et ac? = i . Donc le produit a'^jS* représentera une racine primitive chaque fois que les exposants de a et (3 seront différents de zéro. Nous arrivons de cette manière à la proposition suivante :
Les diverses racines de l'équation x^'^ == i s'obtiennent en multipliant chaque racine de x^ ^= i par les racines de x^ = i ; les produits où les facteurs sont différents de l'unité représentent les racines primitives de V équation.
En continuant le même raisonnement de proche en proche, il est évident que la formule de résolution de l'équation x^'i^^ ••• = i sera de la forme
où a^, (3/*, y^, (Jp... désignent respectivement des racines des équations
xP=i, xi=i, a;''=i, x^=i....
Il faudra successivement remplacer X, |7, v, p ... par les valeur?
Les racines primitives seront données par les produits où tous les facteurs sont différents de l'unité.
flJ6. Considérons encore le cas où m =/)', p étant un nombre premier; on aura l'équation x^' = i .
Désignons par a une racine quelconque de l'équation x^ = i, et par (3 une racine quelconque de l'équation x^ = a.
Nous allons voir que la valeur x = y.^ est racine de l'équation proposée. En effet, on a
ffj' =1, fy = (X,
et, en élevant à la puissance p,
aP^ = I, ,3'^' == aP = I ;
par suite, (a^y^ = i.
Cherchons dans quelles conditions le produit a,S sera une racine primitive. On sait qu'une racine non primitive doit vérifier une équation x^ ■= i où 6 est inférieur à />'. Il y a. dans ce cas, une racine commune entre les deux équations. Or, pour qu'il en soit ainsi, 0 doit être facteur de p"^; il n'y a donc qu'une seule valeur à considérer, c'est 5 = /). Substituons la racine «3 dans l'équation xp = i ; il viendra a^jS^ ^ i, ou bien jS^ = a = i.
Par conséquent, la racine sera primitive ou non primitive suivant que a sera différent ou égal à l'unité.
Soit, en second lieu, l'équation x^'^ = i.
Représentons par a une racine quelconque de x^ = i, par (3 une racine quelconque de x^ = a, et par y une racine quelconque de x* = /3.
La valeur x = a(3y sera racine de l'équation proposée, puisque l'on a les relations
aP=i, |3p = a, yP = |3; d'où
donc, (a|3y)P^ = i.
Pour que le produit soit une racine non primitive, il doit vérifier une équation x^= i où 9 est inférieur à p^. II ne peut y avoir de racines communes à moins que l'on ait :
ce qui donne les équations
XP = I , XP' = I .
La première est une conséquence de la seconde. Posons a? = a|3y dans celle-ci; il viendra aP^jS^^y^' = i; mais
olp^ = 1, ^p^ = aP = 1^ yp^ = pp = a;
par suite, l'égalité précédente revient à a = i. Donc la valeur x ^^= cf.^y sera une racine primitive lorsque a sera ditîérent de l'unité.
On continue de la même manière pour les puissances plus élevées de 7), et on arrive à cette conclusion générale :
Etant donnée l'équation x^^ = i, on détermine une racine a différente de l'unité de l'équation x^' = 1, une racine quelconque ^ de x^ =■- cf., une racine quelconque y de x^ ~ (3, et, ainsi de suite; la valeur x = afiy ... sera une racine primitive de l'équation qui, élevée aux puissances o, î, 2, 3, ..., fournira toutes les racines.
Enfin, dans le cas général de l'équation x^^^^''" ••• == i, il faudra déterminer une racine primitive des équations partielles
iCP^ = I , X'i ^= I , a?'' = I , ....
Si on les multiplie entre elles, il en résultera une racine primitive de l'équation générale; en élevant cette racine aux puissances o, i, 2, ..., on obtiendra toutes les racines de cette équation.
14t. Nous terminerons cette théorie par la résolution de quelques équations binômes où la puissance m de x est un nombre premier. a) Résoudre les équations
x^ — 1=0, x^ — 1=0, a?5 + I = o, ic^ -|- I = o.
La première revient à
{x — i) (x'^ -\- X -\- i) =^ o et elle a pour racines
ce sont les trois racines cubiques de l'unité qu'on désigne généralement par I, a, a^
La seconde peut s'écrire
et sa résolution se fera par le système :
x'^ — zx -\- \ =o^
Les deux autres équations ont les mêmes racines que les premières, mais changées de signe,
h) Résoudre Véquation x"^ — i = o. En divisant par x — i, il vient
x^ -\- x^ -\- x^ -\- X^ -{- X* -\- X -\- I = o , ou bien
Sa transformée est
L'équation proposée revient ainsi au système suivant :
X — I = o, X^ — ZX -\- i = o,
Autre méthode. — Désignons par x, x"^ , x'\ a?*, a?% x^ les racines imaginaires de l'équation. La somme de ces racines plus l'unité étant égale à zéro, on a
Posons
On en déduit
Les quantités y sont donc les racines de l'équation
Si on pose encore
X\ — — — iU, iCî "^~" X ^ Xf ' X j
on en déduit
Xt -{- X2 + Xs = Vi
X\X2 -\- X\Xs -\- XiX-o = y2= — I — yi
XiXiX$ = I .
Les quantités x sont donc liées aux quantités y par Téquation
(P) rc' —yx^ — {y-\- i)x— i = o.
La résolution de l'équation proposée revient à celle des équations (a) et (6) c) Résoudre l'équation x'* - i = o.
Représentons par x, x*, ... x"* les racines imaginaires; on aura
Posons
Il viendra
2/1 +2/2 = — I, yiy2 = 3, et les valeurs de y seront les racines de l'équation
En second lieu, posons
Xi = X, X2 = X'j Xs = X*, X4 = X-', Xs = X9.
On en lire
lXi=yi, 2^1X2 = yi-\-y2 = — I, IXiXaXj = — I,
2X1X2X^X4, = 2/2 =r= I i/i ^ XlXaXsX^Xs = I .
Les quantités x eiy doivent vérifier l'équation
X' — yx'* — x^ -|- X* — (i -^y)x — i =0.
L'équation donnée se résolvera par deux équations l'une du second et l'autre du cinquième degré.
d) Résoudre l'équation.
Désignons par x, x^ ... x'^ les racines différentes de l'unité et posons :
(le partage des x se distingue par cette particularité que la somme des expo sants dans chaque groupe est un multiple de 13. On déduit de ces égalités
yi+y2 = — I, 2/1^2 = — 3î
par suite, les valeurs de y seront données par l'équation
y' -\ry — 3 = ^'
En second lieu, posons :
Zi =■ X -{- x^ -{- x^
zt = x' -\- x^' -\- x'K On en tire
Zi'\- Z2=^y\, -^«2^2 = 3 + 7/2= 2 — y,. En remplaçant y^ par ?/, les valeurs de z correspondent à Téquation
z"^ — yz — {y — 2) = 0.
Enfin, si l'on pose encore
on trouve
lxi^=Ziy 1x1X2 = Z2 = yi — Zif XiX2X5=î;
par suite, les quantités x seront les racines de l'équation
x^ — zx^ -{- {y — z) X — 1 = 0.
La résolution de l'équation x" — 1=0 revient à celle du système suivant :
z^ —yz — {y — 2) = Oy x^ — zx^ -{-{y — z)x — 1=0, X — 1=0.
e) Résoudre l'équation
Soient toujours ic, rr^, ... x'^ les racines imaginaires; posons
Ici encore la somme des exposants dans chaque égalité est un multiple de 17. L'addition et la multiplication conduit aux relations
et l'équation en y sera
2/' + 2/ - 4 = o- Posons maintenant
La sDinine des exposants dans chaque c(iualion est 34. On en lire
Zi-\-Z2 = yi, ZiZ2 = — i;
donc, en remplaçant yi par y, la relation entre y et z sera
z'^ — yz — 1=0.
Enfin, posons :
