ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

149. Considérons l'équation algébrique du second degré sous les formes suivantes :

x^ -{- 2px -\- q =^o, aox^ -\- 2aiX -\- a2 =o.

Désignons par A le discriminant de leur premier membre; on a respectivement :

A = g — p^, A=aoa2 — aj.

Si on transpose le dernier terme après avoir multiplié la seconde équation par ao, il vient :

x^ -J- 2px = — q, ajoc* -j- zaottiX = — aodt.

En ajoutant aux deux membres d'un côlé p^ et de Tautre a], les équations proposées prennent la forme

{^ + py = p^ —q, («o^ + ^i)' = ^î — «ott,;

on en déduit pour les formules de résolution

/ — a, zhl/— A

X = — p -iz y — ùf X = .

Les racines sont donc réelles ou imaginaires suivant que le discriminant est plus petit ou plus grand que zéro.

Dans la plupart des méthodes, on fait usage d'une transformation préalable pour simplifier l'équation à résoudre. C'est ainsi qu'on ramène la résolution de l'équation complète du second degré à celle d'une équation incomplète en posant

y ei z étant deux indéterminées; en substituant cette valeur dans l'équation

X'^ -f- 2pX -}- g ^ O,

on trouve

y"" + 2y(z-\-p)-{-z*-{-2pz-\-q^o.

Cette équation devient incomplète pour la valeur z = - p, et elle se réduit à

D'où

y=± \/— A ; par suite,

On arrive plus rapidement au même résultat par la substitution

X = — p — u qui donne pour transformée

on en tire immédiatement la valeur de u et, par suite, celle de x.

On peut encore transformer l'équation à résoudre en une différence de deux carrés (N*» 131). On doit poser

a?' -\- 2px -\- q = [x -\- pY — /*,

l étant une constante indéterminée. Si on compare les coefficients des puissances de a?, on doit avoir : p'^ — l^ = q; d'où P = p^ — q.

Par coaséquent, l'équation à résoudre prend la forme

{x -]-p,^ — (P^ — q) = o, ou bien

qui fournit iinrnéJialcmLMit les Naleurs de l'inconnue.

150. Méthode de Grunert. Etant données deux quantités quelconques y et z, il existe entre elles l'identité

[y -\- zy — 22/(3/ + ^) + 2/^ — ^' = o- Posons X = y -\-z; elle devient :

x^ — 2yx -\-y^ — z^ = o.

Si on compare cette relation avec l'équation à résoudre

x^ + 2px -\- q = Oy

on doit avoir

En remplaçant y par sa valeur dans la seconde égalité, on trouve

z= ±\/p' — g; par conséquent,

X =:y -\- z = — p db |/jo^ — q,