Méthode de Sommer. Afin de résoudre l'équation

x'^ ~\- px -\- q = 0, on pose

et, elle devient

^'(sy+^''K^)+'=°'

ou bien, en développant,

2'y^ — q) y^ — 2py-{-q

y + py + <i y- + -py-\-q

Cette transformée en u devient incomplète, si l'on prend

D'après cette valeur, l'équation précédente donne

Or, la formule de substitution résolue par rapport à u devient

par suite, l'équation pour déterminer x sera

p + j/g a? — 1/( On en déduit

C'est une forme nouvelle pour l'inconnue x qu'on pourrait ramener aux précédentes en simplifiant la fraction.

159. Méthode d'Heilermann. Soit l'équation du second degré sous la forme homogène

(i^x\ -f- la^x^x^ -|~ ^2^2 "^ °*

La méthode d'Heilermann consiste à déterminer les facteurs linéaires du premier membre. Dans ce but, on pose

Si on égale les coefficients des diverses puissances de x, on obtient les

relations

ay = ao, a(5 4-^7 = 2^1, |3(5 = «2,

pour déterminer les constantes a, |3, y, (î. En ajoutant ces égalités, on trouve

(a + |3) (y 4- (5) = «0 + 2^1 + «^2, ou bien, en désignant par s le second membre

Les mêmes égalités donnent encore

En ajoutant à cette égalité la relation

ad -\- ^y = la,.

il vient

aè = a^±:\/a\—aQa^, Çùy = a^ --^{/a] — a^a^.

Puisqu'il n'existe que trois égalités pour déterminer les constantes, on peut établir entre elles une relation. Posons

il en résultera

Eu égard à toutes ces équations, on trouve sans peine

ao -\-ai rp l/— A »! -[- «2 ± }/— A

Par la substitution de ces valeurs, on arrivera aux deux facteurs linéaires de l'équation, et, en les égalant à zéro, on trouve pour l'inconnue

Xi a, -|- 0.2 q:: [X — A

153. Méthode de Clebsch. Soit encore Téquation du second degré

homogène

a^xl -(- 2a^x^x.^ 4- a^xl = o.

Désignons par cp la fonction définie par l'équation

a = {aoy, -\- 01^2) Xi -j- (»i2/i + ^23/2) acg. Si on élève au carré, il vient 9' = ««/? 4- 2a,a^y^y^ + aj^/j) x^ -h «î/J + 2a^a^y,y^ + a^i/l) xj

ou bien,

9* = (f'oy] K^fJ + 20^0;, xj 4- 2a^y^y^ [a^x] + a^x^ac^ + a^x\) -h (^iVl (2a,x,ac2 + a^x\) -\- a]y^x\ + 2aoa,i/^2/jX^a:2 + a\y\x\, et, en vertu de l'équation proposée, cette expression se réduit à

(p2 = (x,2/2 — X2y\Y [f^] — O'oa-i) ; on en déduit

cp = db {Xxyi — yxX2) \/ — A.

Remplaçons maintenant (p par sa valeur; on aura

{doUx + CHî/0 Xi -[- (a,?/, + ^^22/0 X2 q:: (x,7/2 — 2/1X2) f/— A = O. Enfin, cette équation donne, pour l'inconnue, l'expression

La présence de y\ et de yt n'a aucune influence sur la racine; on peut leur attribuer des valeurs quelconques.