ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ
154. Nous allons considérer successivement l'équation du troisième degré SOUS les formes suivantes :
(i) «oX^ -f- 3^1^" 4" 3^2X + n^3 = o,
(2) x'" -\- ax"^ -\- hx -\- c ^= o ^
(3) x^ -[- jt?x -[- g = o.
On passe de (i) à (3) en remplaçant x par x » et de (2) à (3), en
remplaçant x par x ; dans les deux cas, le second terme disparaît. Si on
forme le discriminant sur chacune de ces équations, on trouve respectivement :
A = 4 (^0^2 — a\) {dias — al) — {a^as — aiaz)*, A = 4 (36 — a*) {^ac — b^) — {ab — 9c)* = I [4 {a^ — sby — (2ft' - gab + 27c)»],
Proposons -nous d'abord de résoudre l'équation incomplète
x^ -{- px -\- q = o.
Posons :
(4) x = y + z; en substituant dans l'équation, on trouve
(5) y' + z' + {^yz + p)(y-\-2)-\-q = o.
On fait disparaître le terme du milieu en établissant entre y et ^r la relation
(6) ?,yZ-\-p = 0, ou i/2r=— -;
par suite, on a les égalités
Les quantités y^ et z^ sont donc les racines de Téquation du second degré
(7) u^ + qu^^- = o.
Cette équation qui sert à la détermination de y et ;2r pour arriver à la valeur de X se nomme réduite ou résolvante de l'équation proposée. Appelons R son discriminant; on aura
il ne diffère de A que par un facteur numérique. En résolvant l'équation (7), on obtient
(8) i/» = -4-i/=^, z' = -?-i/:rï:
Par conséquent, en extrayant la racine cubique des deux membres, la valeur générale de l'inconnue x se présentera sous la forme
-, = y + z = y/ - 1 + ^/3I 4. yy? ^Xrr, ou bien en remplaçant R par sa valeur, ^^"^'"''"-«v
Cette^xpression est connue sous le nom de formule de Cardan ; elle exige quelques explications pour ..êlre. bien comprise. Observons qu'elle contient deux radicaux cubiques dont les valeurs dépendent des équations binômes (8). Désignons par A el B deux racines de ces équations, et par i, a, a} les racines cubiques de l'unité ; les valeurs de yet de ;2 seront respectivement
A, Aa, ka?\ B, Ba, Ba^
Si on les combine deux à deux par addition, on arrive à neuf valeurs pour rinconnueo;; mais, elles se réduisent à trois en vertu de la relation
yz=^ ,
c'est-à-dire que le produit des deux fiarlies qui composent x doit être rôel. Supposons que Jes valeurs A et B satisfassent à celle condition et que l'on ait :
