AB

En remarquant que a' ^ i, les seules combinaisons à prendre sont :

x, = A + B, Xj = Aa -|- Ba^, Xt = Aof^ -\- Ba.

Toute autre combinaison donnerait, pour les deux termes de x, un produit ne renfermant pas a'= i, el, par suite, la condition précédente ne serait pas satisfaite.

Supposons que le discriminant A de l'équation du troisième degré soit négatif; il en sera de même de R. et les seconds membres des équations (8) seront réels. On prendra, dans ce cas, pour A et B les valeurs arithmétiques des radicaux cubiques; la première racine x, sera réelle, tandis que les deux autres restent imaginaires à cause de a.

En second lieu, si A = o, on a aussi R = o ; les deux équations (8) se confondent et Ton a : A = B; par suite.

Xi = 2 A, X2 = Aa + Aa^ = — A, Xj = Aa -f- Aa* = — A ;

car, a -\- o.^ = — i. L'équation du troisième degré admet donc alors trois racines réelles dont deux sont égales.

Il ne reste plus à considérer que l'hypothèse où A > o ; elle devra correspondre au seul cas que peut encore présenter l'équation du troisième degré, celui oîi elle possède trois racines réelles inégales. Les valeurs de y ei de z

déduites des relations (8) seront imaginaires, mais, à cause de yz = »

leur produit est réel, et y et ;2r doivent être des quantités complexes conjuguées. Si l'on prend pour y les valeurs

(ax + 6, \/— i), (a, + 6, |/— i) a, (a, + ^i \/— i) a», celles de z seront de la forme

(ai— 6,|/— i), (a, — 6|^— i) a, (a* — &i |/^^) «',

et le coefficient ht ne peut pas être nul. II vient pour les racines

a?i = a. -f &» k^— i -{■ a, — bi \/— I ,

X2 = [ai 4- 6, [/— i) a -1- (a, — 6, |/— i) a*, a?3 = («i + 6i l/— I ) a^ + (a, — 6, |/— i) a ;

ou bien, à cause de : a-|-a*=^— i, a — a' «= ^/^ — 3,

Xi = — a< — 64 ^/J^ xa = — at-\-bi y/-^.

Par conséquent, les trois racines sont réelles et inégales.

155. Cat irréductible. Nous venons de voir que dans l'hypothèse où A ^ o, les trois racines de l'équation du troisième degré sont réelles; or, c'est précisénient alors que la formule de Cardan se complique d'imaginaires, et elle est impuissante à fournir les racines; on n'est pas encore parvenu à faire disparaître cette imperfection. Afin de calculer les racines, il est nécessaire d'employer une transformation trigonométrique. On pose d'abord les égalités

11 faut remarquer, en effet, que la condition A ^ o revient à

et p doit être négatif.

D'après les valeurs posées, la formule de Cardan prend la forme

p = \ / — ^ » COS (D = '

a? = K p COS 9 -f- 1/^ — I p sin (p -]- K p COS 9 — |/ — i p sin cp On en déduit