V-/ 9 + 2^71 , / . (ç>-\-2kn\ m

, '"/—/ cp + 2^77 / . cp -|- 2A:7r\

+ ^/ p f COS ^— ' y— I sin -!— î j »

c'est à-dire.

s,— (D-\-2kT:

X = 2[/ p COS-

En posant /c = o, i, 2, il vient pour les racines

^1 = 21/ p COS-»

OU bien,

= 2y pcos ( -+ 120* j»

a?5 = 2|/ p COS ( - -j- 240" );

a?! = 2y p cos->

=■■ 2^/^COS f 60® j

^pcos (

Ces valeurs sont réelles et calculables par logarithmes. Ainsi pour l'équation

on a d'abord

d'où

Ensuite,

(p = 120® et - = 40*

iPs = 2 COS 80" = 0,3472964.

On s'assure de l'exactitude du calcul en faisant la somme des racines , cette somme doit être zéro ou voisine de zéro.

156. Lorsqu'on connaît une racine de l'équation, il existe une formule pour trouver les deux autres. D'aprrs la formule de Cardan, si on pose

il vient

ooi'=y -\- z, X2 = ycc-\-za^f Xi = ya} -{- z<x. Or,

a = ' > or = ;

par suite,

c'est à-dire que ces racines seront données par la formule

— 1[^, ■àz{y — z)\/~ 3j.

Supposons que la racine aji soit connue; par les valeurs de y et de ^r, on trouve

2/5 — ;2rî=y / q^ii^-, y'=J^z^ = — qy yz = — -

et comme

il vient

27 2pxx-\-2,q

On en tire

En substituant, la formule propre à donner les racines X2 et Xs sera

— -Xi ( I

L'équation du troisième degré ayant toujours une racine réelle, après l'avoir déterminée, cette formule donnera les deux autres, soit réelles, soit imaginaires. L'équation

admet une racine aci =5 2; Tapplicalion delà formule conduit à xa = i, Xs= — ^.