gaft 4- 27c) — - 1/— A. ' 3 y
La méthode employée pour l'équalion incomplète s'applique aussi à la résolution de l'équation
x^ + ax^ -{- bx -{' c = o,
en y apportant une légère modification. On pose
Si on élève les deux membres à la troisième puissance, il vient
x^ -\- ax^ A xA =y^ A- z^ -\- 3y^ ( ^ + - l >
Par la comparaison de cette équation avec la proposée, on a
3y^ = ^y ayz — y' — z^ = c;
d*oii on tire
«^ — 36 , I yz = > y^ -\- z^ = (2a' — gab + 2 7c) ;
par suite y^ et z^ sont les racines de l'équation
u^ A (2a° — gab -4- 27c) u -\ (a' — 36)^ = o
qui est la résolvante cherchée. Soient Uiy Uz ses racines; les valeurs de y et de z se déduisent des équations binômes
y^ = ut, z^ = U2,
et,, en les représentant respectivement par
y, ay, (x^y; z, az, a*z,
on doit les combiner de manière à satisfaire à la relation
yz= ;
on obtient ainsi pour les racines
Xi = \-y -\- z,
X2 = \-ayA- a}z^
iPs = H a y + CLZ,
Nous avons vu que A = o est la condition pour que l'équation du
troisième degré
admette des racines égales; elle ne peut avoir une racine triple que dans le
rcas ou p et ç sont nuls; la racine triple est alors égale à zéro. Cherchons les mêmes conditions pour l'équation complète. Si elle admet une racine triple, on peut poser
x^ --\- ax"^ --h bx -]~ c = {x -\~ ^.y = x'^ -\- ^[j-x^ -\- ^fji^^x -J- ^^ ;
d'où résultent les égalités
En éliminant y. entre les deux premières, on trouve
et comme
A = |[4{6t' — 36)^ — (2a^ — ga?) -\- 27c)2J = o.
il faut aussi que
{V) 2a' — gaft-p 270 = 0.
Les relations [t] et [t') sont les conditions cherchées. 158. Méthode de Lagrange. Désignons par a?i, X2, Xi les racines de m l'équation
x^ -j- ax^ -\-bx -\-c = o, et posons
y = {xi -f- ^^2 + a'a?3)% les quantités i, a, a^ étant les racines cubiques de l'unité. L'expression entre parenthèse est susceptible de prendre les six valeurs suivantes par réchange des racines
Xi -{- (XX2 -\- (x^Xs, X2 -{- axs -{- a^Xiy X5 -\- cnxi -{- a^X2t
Xi -\~ (XXs -\- CÛ-X2, X-i -Y- OLXx -\- Cl}Xi, X^ -f- O-X^ + Cf?X\, \
mais, à cause de
a-'^ = I, a} = OL^ CD a les égalités
a?, -\- aLXi-\~ci?Xi =a.{x2 -{- olx^ + a'^i) = a* (a?» A^ax^ ■\-cf}x2)t
ainsi que
Il en résulte que les trois premières expressions ne donnent qu'une seule valeur pour y, on démontre de la même manière qu'il en est ainsi pour les
trois autres. L'inconnue y n'ayant que deux valeurs distinctes dépendra d'une rquntion du second de^ré que l'on peut former par les relations enlre les racines et les coeiïicienls. Prenons pour 2/1, i/2 ^^^ valeurs
2/1 = {Xi -\- a.Xi 4" a'a75)% y-i = (x, -|- a^Xi + axif .
Si l'on tient compte des relations \ A^ a. -\- a? = o ^ cl^ ^ \^ a} = a., etc., on trouve facilement
2/i2/a = Wx + ^i + ^! — (^,^2 + x,x^ + x^x^Y
2/12/2 = (a' — 3^)'- Ensuite,
= 2(il?i -|-^2 + ^5)' 9(Xi -]-^2 + ^3J ;iPlJ?2 -j- X\Xi 4" ^12^5) 4~ 2'JXiX2Xl,
ou bien
L'équation du second degré qui donnera les valeurs de yi et de 2/2 sera donc :
2/^ -\- [la^ — gah -[- 270)2/ -f- (a^ — ^b)^ = o :
c*est la résolvante de l'équation proposée. Connaissant 2/1, 2/2, on aura les trois relations suivantes pour déterminer les racines
3Ci -{- X2-\- X5 = — a,
xi -f- a^2 -\- câXi = yyi ,
Xi -\- et} Xi -j- a.xz = y y 3.
On en déduit
y y* -\-\/yi — «
a|/ 2/2 -1- a^|/ 2/1 — a Xi =
a[/yi-{-c(.^yy Xi =-^ —
Soit à résoudre l'équation
On obtiendra pour la résolvante
2/'+ ^94 f 2/4-373248 =0 qui admet les racines : — 216, — 17/8; par suite,
]/yi = — (y, y tj2 = — J2, et par les formules, on trouve
a?, = — 4, X2 = 5 -f |/— 3, a?3 = 5 - [X— 3, 159. Méthode de Bezout. Étant donnée l'équation
x'^ -\- px -{- q = o^ considérons la substitution
x = Ziy -\-z,y^
où y est une racine de l'équation
et XTi, Z2 deux quantités indéterminées. Si on multiplie la valeur de a? successivement par I, y, 1/% il vient les relations
X — Ziy — ZiV^ =- o, B XI/ — 2:, y'— 2:2 = 0,
ac!/^ —Zi — z^y = 0,
et, par l'élimination de y et ^^, on trouve
X Zi — Zi
— Zi — Z2 X
ou bien
x' — ^z^z,^x — (z] + zl) = o.
En comparant cette équation à la, proposée, on a les égalités
2r,2r,==— ?, z] + zl = -q;
par suite, les quantités z] et zl sont les racines de
z* A-qz = 0
lui sera la résolvante de l'équation. Après avoir déterminé z,, Z2, il reste à substituer successivement dans la formule
les racines i, a, a* de l'unité. Il vient ainsi
X\ ^ Zi -\- Zi,
Xi r= aZi -\- cf}Zi,
Xi = cf}Z\ A;- cL^Zi = a^Zi -\- aZ2.
Si l'on multiplie respectivement ces formules d'abord par i, a*, a, ensuite, par I, a, a* et si l'on ajoute, on trouve
Zi =- {xi -\- axs -j- a'aJs) Z2 = - (xi -j- ocXi -j- a'iPj) ;
ce sont des valeurs analogues à celles de y de la méthode de Lagrange.
fiBO. Méthode de Grunert. Afin de résoudre l'équation complète
x^ -\- ax^ -|- 6a? -f- c == o , posons
x=-y -{-z-Yt; on aura
(yJ^z-\-tY + a(y^z-\-ty-\-b[y-\-z-\-t)-^c = o.
D'un autre côté, entre trois quantités quelconques t/, z^ t, il existe l'identité
(yJ^z + t)' — 3yiy + z + ty + 3(y'-zt){y + z + t)
— (y^ -\-z' -[-t' — 2>yzt) = o.
Par la comparaison de ces relations, on doit avoir les égalités
y= , y^ — zt=~f y^-\-z^-\-r — ^yzt = — c.
On en déduit
et comme
I 0' zt = - (a^ — 36), zyzt == (a« — 36),
z^ -\-t^ = (2a^ — qah + 27c) ;
zH^=^\{a- — 36)' =-^(a» - 36)»,
les quantités z" et t^ seront les racines de l'équation du second degré
u^ -\ (2a^ — gah-\- 2yc)u-\ (a* — 36)' = o.
Désignons par U], u^ les racines de cette réduite; les valeurs de z et de ^ devront se déduire des équations
et on peut les représenter respectivement par
Si on les combine deux à deux par addition en tenant compte de la relation
on arrive aux expressions suivantes :
OCi^ \-z + t,
a?2 = 1- az + a^t,
X2= 1- ûL^z + at,
tGt . Transformation du premier membre en une somme de deux cubes. Considérons l'équation complète sous la forme
et proposons-nous de déterminer quatre quantités m, n, 1 et ^ de manière que le premier membre devienne
m(x — iy-^n{x — iJ-Y,
En égalant dans les deux fonctions les coefficients des mêmes puissances de a?, on trouve les relations
}.m + juw 4- tti = o, {k) 1 r r ,
A^m -\- fx^n — «2 = 0, A^m -\- \j.^n -|- tts = o.
Éliminons m et n entre les trois premières; il vient
De même, éliminons Im et p?î entre les trois dernières ; on trouve encore
I I ai
P ^' as
c'est-à-dire
ttilif. -\- tti^k + ft) -f- «5 — o.
Ces deux nouvelles égalités conduisent aux valeurs suivantes :
lA- ti.
a^ttg — a, a.
et les quantités ke\, [i satisfont à l'équation du second degré
[a^a^ - a\)z^ -{-(a^a, — a^a^z-]r{a^a^ ^ a|) = o qui est la résolvante du problème. On peut remarquer que son discriminant est le même que celui de l'équation proposée. Connaissant À et p., les deux premières égalités (k) donnent
aojU. -1-^1 aok-^-ai
Les autres relations (A:) fourniraient pour m et n des valeurs équivalentes. Le premier membre de l'équation se trouve donc ramené à la forme
aofj. + «1
aol -\-at
(x-ij-Y,
au moyen d'une équation du second degré. Cette réduction résoud l'équation du troisième degré, lorsque A est différent de p., c'est-à-dire, lorsque le discriminant de la réduite n'est pas égal à zéro. On a, en effet,
«ow + a., -,- ao/+a,
jU, — / W — A
et, en désignant par C la quantité
«oA -|- tti
cette équation se réduit à
Par conséquent, l'expression générale de l'inconnue x sera
Zy—
Les trois racines correspondent aux valeurs \/Ç.,ayC.^ oi}\/Ç^, Appliquons cette méthode à l'équation
On trouve, pour la résolvante,
Elle admet les racines :
On en déduit ensuite
Donc, le premier membre est égal à
¥(* + ï)' + !(«: + 3)' = i(3^+0' +1(^^ + 3)'- Les racines s*obtiendront par la résolution de Téquation binôme
t6!3. Méthode dite Régula falsi. Désignons par Zi, z^ deux quantités réelles; les différences x — Z\^ x — Zi représenteront les écarts de Zi et de z% par rapport à ^. De même, si l'on pose
F(a?) = aoo?' -j- 3aix* -|- 3^20; -j- ai = o,
F(Z)), F(;2r2) représenteront les écarts des résultats par rapport à zéro. Cela étant, prenons
X Z\ Z\ — Z<iU
s= w, ou x= •
X — Zi I — u
En substituant dans l'équation, il vient
tto {z\ — Ziuf -\- 3ai {z\ — ZiuY ( I — u) -\- 3a2(;Ji — z<iU) ( i — w)^ -f- «5(1 — uf = o,
ou bien,
h\z2).u^ — [K^^'a + 2^122 + a2)zi -{-a,izl-\- 2aiZ2 + as] ^u^ + [K^Î -i-2aiZt -\- a2}Z3 -^ alZ^^ -j- zaiZi -]-as]su — F(z,) = o.
Égalons à zéro les coefficients des tei noies du milieu; on aura
(«0^2 ~h 2tti2^2 -j- ^a)^' + ^1^2 + 2a22r2 + as = o, (<io^^ 4- 2aiZi + a2)z2 -\- axz\ -|- 2aiZi -\-az = o. Si nous retranchons ces équations membre à membre, on trouve, en divisant
par Zi — z^,
aoZiZ2 -\- cii [zi -\- Zi) -|- a2 == o.
Multiplions encore celle-ci par Z2 et retranchons-la de la première; il vient
aussi
a\ZiZ2-\- 0'2[Zt -^ Z2)-\- (I5 = o.
Ces deux dernières relations donnent
«0^3 (ll(l2 dl ttltts
Zi-\-Z2 = — r » ZiZ2 = -^ ;
a^^ — a^at a; — «oft»
par suite, les quantités Zi, Zi vérifient l'équation
(a^ — a(sa2)z^ -j~ (^i<*2 — ^0^5)0 -{-al — aiCts == o. Donc, si l'on prend pour Zt et Z2 les racines de cette équation, la transformée se réduit à
l\Z2)u^ — F(^,)=^ o, d'où on tire
w5 = — — -9 et u = k— 9
où l'on doit remplacer k successivement par 1, a, a'. L'expression générale de l'inconnue x se déduit de l'égalité
00 — Zi
ce sera :
Zxl/'S{Z2) — kz2\/^{Zt)
On aurait pu procéder autrement et arriver à la même réduite. En élevant au cube l'égalité
X ^ Zi =='U{X — Z2),
et en ordonnant par rapport à x, on trouve l'équation
La comparaison de cette équation avec la proposée écrite sous la forme
do Q/O do
conduit aux relations suivantes :
Elles donneraient la même réduite. Nous voulons seulement faire remar-
quer, qu au lieu de , on peut prendre l'un quelconque de ces rapports,
et poser, par exemple,
, yaoZi 4- ai u==k— ■ —
yaoZi-^-a^ l'expression de x est alors
Zx l/aoZi + ai — kz2 [/a^Zi A- a^ X = —-5 3 - — •
yaoZ2 -j- «1 — k yaai + a\ Nous avons trouvé précédemment
^ {X — ZiY ^(Zi) {X-Z,)' F(22)
Cette relation exprime que les écarts des résultats sont entre eux comme les cubes des écarts des nombres substitués. Enfin les égalités
1 — Z\ /aoZi-\-at X2 — Zi /aoZi-\-ai
I — Z2 \ aoZi + ai X2 — Z2 v aoZ2 -\- ai
xs —Zj 2 / aai + ai
— zt~ X t
Xs — Zt y aoZ2 + ai
conduisent aux relations suivantes entre les écarts des valeurs de z et les racines
Xi Zi ^Xi Z\ Xs — Zi
Xi — Zi Xi — Z2 Xs — Zi
