ÉQUATION DU QUATRIÈME DEGRÉ
tes. Proposons-nous de résoudre Téquation algébrique du quatrième degré sous Tune des formes
aox* + 4aia?' -|- ôftjx*^ + 4C^5^ + ""> = ^-
X* -f- ax^ -\- bx'^ -{- ex -]- d = o,
X* -j- px^ -\- qx -\- r = o.
Nous avons vu précédemment que le discriminant de la première a pour valeur
A = «' — 27/% ou
et ces deux expressions sont les invariants du premier membre. Si on néglige un facteur numérique, on peut prendre pour le discriminant des deux autres
A = ^{b^ — ^ac -f- 1 2d)^ — {yzbd -\- gabc — 270^ — zyaH — 2b^)\ A = 4(/)2 J i2ry — ( 2jo' -j- y2pr — 27c''}-.
En représentant encore par i et / les expressions des parenthèses, on aura
Considérons d'abord Téquation incomplète
x"^ -\- px^ -{- qx -\- r = o .
Il existe une méthode très simple pour la résoudre, et que l'on appelle méthode de Descartes; elle consiste à décomposer le premier membre en un produit de deux trinômes du second degré. On pose, comme point de départ,
X* -{-px^ -{- qx -\- r = {x^ -\- ux -{- v) {x'^ — ux -\~ t),
u^ V ei t étant des coefficients indéterminés. On écrit -\-ux dans le premier trinôme et — itx dans le second, afin que le terme en x^ ne se trouve pas dans le produit. En développant et en égalant les coefficients des mêmes puissances de a?, on trouve les relations
t-\~v=p '\'U^, t — î) = -, vt = r\
u par suite,
2 \ uj 2 \ uj
La substitution de ces valeurs dans la troisième conduit à l'équation
^6 | 2pu^ -f- {p^ — 4r) u"^ — (/2 = o
qui est du troisième degré par rapport à w'; c'est la réduite ou résolvante de l'équation proposée; le dernier terme étant négatif, elle admet toujours une racine positive. Soit w' = k^ celte racine; on aura u = ±z k; en portant la valeur -j-A dans les relations précédentes, on en déduira v et t; par conséquent, les deux trinômes seront complètement déterminés. Si l'on prend u= — k, les valeurs de d et de ^ ne font que s'échanger entre elles, et le résultat reste le même. Après cette détermination, les racines de l'équation du quatrième degré s'obtiendront en résolvant les deux suivantes :
x^ -\-ux -\~v = Oy x^ — ux -\-i=^o.
Ainsi, pour l'équation
a?* — lOX"^ 200? — i6 = o,
la réduite est :
Elle admet la racine 1^2 = 4; en prenante = 2, on trouve v = 2, < = — 8 ; il faudra donc résoudre les équations
qui donnent les quatre racines
Désignons par a', |3', y' les racines de la réduite ; on aura
a* + /3' 4- y' =- — 2p. <x*^y == qK Prenons
u == a et g = aj3y.
Si l'on tient compte de ces valeurs, le premier trinôme peut s'écrire a!2j^ax + -fp-\-a^ — ^\=x^ + oix + -{a^-p''-y' - 2^y\
En régalant à zéro, on trouve pour les racines
X\ ^ > Xi= •
Une transformation semblable sur le second trinôme donnerait aussi
Les racines de l'équation du quatrième degré se trouvent ainsi exprimées au moyen des racines de la réduite; ce qui va simplifier la discussion.
Supposons que a soit la valeur positive de \/a}, a} étant la racine positive réelle qu'admet toujours la réduite. En vertu de la relation : aj3y = ç, si les deux autres racines |3' et y' sont aussi réelles et positives, on devra prendre pour j3 et y des valeurs de même signe, lorsque g est positif, et de signes contraires lorsque q est négatif; d'ailleurs, les quatre racines sont évidemment réelles.
Supposons que (3' et y* soient réels et négatifs; posons
par suite, on doit prendre
|3 = ± m [/— I , y = zb w [/ — I , . si g est négatif, et
f3=qim^— I, y=dr?ip/'— I,
si g est positif. Les quatre racines de l'équation sont alors imaginaires. Supposons, maintenant, que (3% y^ soient imaginaires, et posons :
|3» = f (cos 0 + |X— I sin 0), y» = f (cos 0 - \/^^ sin 0) ; il viendra
P = dr p ^cos--|-^— I sin- j, y = ± p ( cos 1/— i sin- j>
où il faut prendre les mêmes signes ou les signes contraires suivant que g est positif ou négatif; dans le premier cas, la somme |3 -j- y est réelle et la différence |3 — y imaginaire; dans le second, la somme (3 -[- y est imaginaire et la différence j3 — y réelle. Par conséquent, dans ces deux hypothèses, il y a toujours deux racines réelles et deux racines imaginaires.
Enfîn, supposons que deux racines de la réduite soient égales, et prenons p2 , y2. Qjj ^^^^ . |3 = ^ y et deux des quatre racines sont égales. Dans ce cas, le discriminant de la réduite est égal à zéro; or, si on le forme, on retrouve le discriminant de l'équation du quatrième degré; donc,
4(^^ -j- i2r)^ — ( — 2/)' + 72jor — 275^)* = o, ou bien,
sera la condition pour que l'équation proposée ait deux racines égales.
Lorsque les trois racines de la résolvante sont égales, on a : a =^ = ^, et, par suite,
a ^a. CL Cf.
a?l == — > X%= > j;5 = - , Xk== - '
L'équation du quatrième degré possède donc une racine triple. D'après la théorie de l'équation du troisième degré, on doit avoir, dans ce cas,
jo^ -j- 1 2r = o, 2/)' — 72;)r -|- 27^'" = 0,
c'est-à-dire
Il résulte de cette discussion que, si le discriminant A de l'équation proposée est positif, il y aura quatre racines réelles ou quatre racines imaginaires, parce que la réduite admet trois racines réelles; si A est négatif, il y a deux racines réelles et deux racines imaginaires.
104, Plusieurs méthodes reposent sur le même principe que celle de Descartes. Ainsi, dans la méthode de Ley, pour résoudre l'équation complète
a?* + ax^ -\-hx^ -\-cx -\- d = o,
on suppose l'équation décomposée en ses facteurs du second degré :
a?' — (Xi -{-X2)x-\-XiXi = o^ iP* — {xi-{- xa)x -\-XiXk = o^
a?!, Xi^ Xs, Xi représentant les racines. On pose ensuite
(xi -|- X2) (xs -j- a?4) = ar ; comme
[Xi -{- Xo) -\- (X'3 -f- ^4) = — <^'
il vient
Xi-\-X2= —{[a —y/a- — :\z), x;-\-x^ = — '^(a-\-[/a^ — ^z). D'un autre côté, on a aussi
^ia?2 4" XsX!, -\- (Xi -\- X2) {Xi -\- Xi) = bf
XiX^XiXtt = rf,
c'est-à-dire,
^1^2 -f- XsXit = h — z.
X\X2.XiXi = d, et, par conséquent,
a;ia?4 = ^{b — z — [/{b — z)* — 4ci).
Mais, on sait que
X\Xi [x% + ^*) + ^«^* (^1 -\-x%) = — c ; en y substituant les valeurs précédentes, il vient l'équation
(fe — 2r -f [/{h - zy — 4rf) {a + y/a'' — 4^)
-f- (fe — z — ^(ft — z)' — 4d) {a — |/a* — 4;?) = 4c ou bien
2a(/) — ^) + 2 l/e? — ;^)' — 4^ . |/a' — 4^ = 4c. Si on divise par 2 et si on fait disparaître le radical, on trouve
(a^ — ^z) [(& — zY — 4rfj = [a(b — ;2r) — 2c]^ c'est-à-dire,
2r' — 26Z* -|- (¥ -\-ac — ^d)z -\- (a'd — abc -j- c') = o.
C'est la résolvante; elle admet toujours une racine réelle; connaissant cette racine, on en déduira les valeurs de
et les deux trinômes du second degré seront complètement déterminés. De même, pour résoudre l'équation
F(a?) = a^x'' -|- ^aix^ -\- àazx^ -|- ^a^x -j- a» = o,
posons avec Clebsch,
F(a?) = ya.xx'^ + 2j3,a; + 7,) (a.2X^ + 2|3?a? + y^).
Après avoir développé ce produit, on égale les coefficients des mêmes puissances de l'inconnue et on trouve les égalités
(32 -|-|3ia2 — 2a 72 + 4p,|32 -f a
72 + yijSa = 2^3
271 = 6ai,
Soit, maintenant,
aiyi + yiaj = 2a2H-4>^, f>^^2 = a^ —1.
On sait par la règle de multiplication des déterminants que le produit
a pour expression
ytcci 4" 72^1 7 «,'^2 + 72(3 1 7172 + 717a et qu'il est identiquement nul. Si on remplace les éléments par leurs valeurs, on trouve l'équation
ai -\- 2X
ai at — A
a2 -)- 2A as
ou bien
4A'— (ftoft^ — 4a,a, + ^a\)l'\-(a^a^a^-\-2a^a^a^~-ay^—a^a\ — aX)^o^
c'est-à-dire,
Cette réduite est très remarquable; elle renferme comme coefficients les invariants i et / du premier membre de la proposée; de plus, la seconde puissance de l'inconnue manque et on peut lui appliquer immédiatement la formule de Cardan. On l'appelle réduite normale de l'équation du quatrième degré. Bail a démontré que toutes les autres résolvantes peuvent toujours s'y ramener. Avec une racine réelle de cette équation, on pourra déterminer les coefficients des deux trinômes.
Pour l'équation incomplète
F(j?) = a?* -|- px"^ -^qx-\-r = Oy on arrive également à une réduite semblable en posant :
Après avoir effectué le produit, la comparaison des coefficients dans les deux membres donne les relations
uv
Si on élimine u et lu on arrive à la résolvante de Descartes
(y^^' + ., {y^^ + (,. 4,.) (yji^) ,,==.,
et, en développant, il vient l'équation
•V' — 3 (7^* + 1 2r) y -}- (— 2p' -f y2pr — 279^) = o,
c'est la résolvante cherchée.
165. Méthodes basées sw la transformation du premier viembre en une différence de deuv carrés. Nous avons démontré que le premier membre d'une équation de degré pair est susceptible de se ramener à une différence de carrés et, en considérant l'équation du quatrième degré, nous avons exposé une méthode de résolution de cette équation.
Plusieurs algébristes ont employé un artifice particulier pour arriver au même but. En premier lieu, dans la méthode de Ferrari, afin de résoudre réquation complète
X* + ax^ -\- hx"^ -\- cx-\-d = Oy
on écrit d'abord,
a;* -\- ax^ = — hx'^ — ex — rf,
et, en complétant le carré au premier membre, on obtient
ex — d.
Il faudrait maintenant transformer aussi le second membre en un carré. Afin d'y arriver, désignons par y une quantité indéterminée et ajoutonb l'eipression
ax\ , y^
aux deux membres; il vient ainsi
Pour que le second membre soit un carré, on doit avoir
En développant, on trouve l'équation du troisième degré
2/5 — by^ -\- (ac — ^d)y — d{a^ — 46) — c* = o.
Soit yi une racine de cette réduite; l'équation du quatrième degré sera ramenée à la forme
G"— 'OJ
celle-ci se décompose immédiatement en deux trinômes déterminés du second degré qui, égalés à zéro, donneront les quatre racines de la proposée. Dans la méthode de Lebesgue, pour résoudre l'équation
F (a?) = ic* -{- px^ + ga? + r = o,
on forme immédiatement la différence des carrés en introduisant une quantité indéterminée y; il y a en plus une quantité supplémentaire que l'on égale à zéro. On pose
Le premier membre se trouvera transformé en une différence de deux carrés, en déterminant y de manière à satisfaire à l'équation
r-'-ip + yr + —, = o, 4 42/
yd j 2py^ -\- (p^ 4^) ?/' — qf2 = o ;
c'est la résolvante de Descartes. Elle admet une racine réelle positive yi ; par suite, la résolution de la proposée revient aux deux équations du second degré
œ'-^y,x+-Jp + y\) + ^^^o,
Enfin, considérons encore l'équation du quatrième degré sous la forme F = cstoac* + 4a, ac^ -|- ôctax^ -j- ^atx -{- a<, = o,
et soit (p une fonction de x définie par régalilé
cp = aoX^ -\- 2aiX -|- fta + 21/ où y est indéterminé. On aura
<p« — OoF = 4(aJ — ttotig + ao2/)^^ + 4(a4»2 — «o^s + 2a,3/)ir + («2 + 22/)^ — aoa4.
Posons
S = 2(aia2 — ttocts + 2a,y).
T' = ((12 + 22/)' — ttott».
L'égalité précédente devient :
(k) 9^ __ ^^F ^ i^2^a | 2Sa; + T%
et le second membre sera un carré parfait avec la condition
R2T2 S2 = o, c'est-à-dire
[a] — ao»! + ^02/) [(a, + 22/)' — aoftj — (a^a, — a^a^ + 2a,2/)» = o,
42/° — (»o»4 — 4»<«3+ 3»a)2/ + «0^4+ 2a,S^3 — ^o»5 — VÎ — al = o que l'on peut écrire
c'est la réduite normale. D'après celte condition, le second membre de la relation {k) est un carré parfait et l'on a :
(p2 — ftoF = (Rx + T)», d'où
ao^ = (^' — {Kx + Ty.
Donc, l'équation F = o revient aux deux suivantes :
çp-l-Ra; + T = o, (p Rx — T = o.
Le discriminant de la réduite ne diffère que par un facteur numérique
du discriminant A = i^ — 27;* de l'équation du quatrième degré. Par
conséquent, si
i^ — 2yf > o,
il y a quatre racines réelles ou quatre racines imaginaires; si
ii 27/* < O,
il y a deux racines réelles et deux racines imaginaires; enfin, si
il y a au moins deux racines égales. Lorsque l'on a à la fois i = 0, y ■=» o, les racines de la réduite sont nulles et l'équation du quatrième degré admet une racine triple.
