Méthode d'Euler. Afin de résoudre l'équation incomplète

ic* 4- V^^ -\- qx -\- r =i O , posons

En élevant au carré, on trouve

a;2 = t^2 | ^2 j ^2 j 2(1^^; | ^^ | ui^)^

ou

x^ — (u* -j- v^ -|- fjo^) = 2 (uv -^-uw -\- vw). En élevant encore au carré et en transposant, on arrive à l'équation

X* ■ — 2 {v} + 'y' 4" w^) x^ — ^uvwx -\- (w* + iJ^ + w^y — ^[u^v^ -\- u^w^ -\- v'^w^) = o.

Si on identifie cette équation avec la proposée, on obtient les relations

— • Suvw = q, On en tire

par suite, les quantités w*, 1;% lo^ sont les racines de l'équation du troisième degré

Soient y,, 2/2, 2/3 les racines de cette réduite; on aura

w = ± 1X2/1, t' = rfc^^2/2, t<; = ±1/3/5. La valeur de l'inconnue se présente donc sous la forme générale

X = ± ^2/1 ±: ^/ya dr 1/3^; c'est la formule d'Euler.

Afin d'écrire Texpression des quatre racines, il faut combiner les signes de u. V, w de manière à satisfaire à la relation

uvw = — -•

En désignant a, j3, y trois valeurs des radicaux telles que l'on ait :

ces racines seront :

Xt = a -f" P "l"y>

X2 = — a + (3 — y, Xs = a — P ~ y,

Cette méthode peut s'appliquer à la résolution de l'équation complète

ic* -\- ax'' -j- bx* -)- ex -j- rf = o.

On pose avec Lagrange

en supposant que u^, v', w* sont les racines d'une équation du troisième degré

y* + fy^ + 9y + h = o

qu'il faut déterminer.

Si on élève au carré, il vient

ou bien

x^ 4- - ax + — = tt^ + ^* + ^' + 2 (wv + ww + vw),

2 lO

x' + - ax-\ — --|-/"=2 (uv -{-uwA- vw).

Élevons encore au carré; eu égard aux relations

u^v^w^ = — h, on arrive à l'équation

,* ^ ax« + i (sa* + 1 6/*) x* + -i^ (ft^ ^ 1 6a/-— 1 28 \/^^h)x