F?6 K + 32aY+ 256/"* — 1024^ — 5 1 2a ^^<^ = o
Par la comparaison de celte équation avec la proposée, on obtient trois égalités qui permettent de calculer f, g, h. et Ton arrive finalement à la réduite suivante :
y^ - Y^ (3a* — 8&) y' + ~ (3ft* — i6a'b + i6ac + 166' + 6^d)y
166. Méthode de Grunert. Si on désigne par w, v, w, ^ quatre quantités quelconques, et si on pose, pour abréger,
il existe entre elles l'identité suivante :
a?* — ^tx^ -\- 2(3^^ — w' — v^ — w^)x'^ — 4 [2UVW -^ t{t^ — u^ ^ v^ — to*)] x
-j- [i* — 2t^ {u' -j- ^* + ^') ~H Swvîo^ — 4 (w'^-y^ -J- v^w^ -)- î^^w'}
En comparant avec Inéquation
ic* -f- ax^ + ^^' + ca? -]- rf = o, on aura d'abord
— 4i = a, ou f = ;
ensuite les relations provenant de l'égalité des autres coefficients de x conduisent aux valeurs suivantes :
u^^v*-^w* = — (sa^ — 86), u^v"^ -f- u'^w* -\-v'^w^ = — (3a* — i6a*5 -[- i6ac -]- 166' — 64^),
î^«î)'to' = — ia^ — xah + 8c)*.
Les quantités w% 'y^ w^ satisfont donc à l'équation du troisième degré
r ~ "7(2^' ~ ^^^ ^' + 4"î '^^* ~ ^^^'^ + i6ac + 166» — 64%
C'est la réduite de Lagrange; ce que l'on pouvait prévpir par la valeur de
t =s — ; car, on a dans ce cas
ce qui est le point de départ de Lagrange pour généraliser la méthode d'Euler. ie9. Méthode de Francœur. Soit l'équation incomplète
x* -J- P^* -\- qx -\-r = o.
Posons :
Substituons cette valeur et ordonnons la transformée par rapport à x'. Il viendra
x'* -j- 43/x" -\- {6y^-\-p)x'' + (42/5 -f 2py -\- q]x'
+ y^ +py'' + qy + ^ = o^
La méthode consiste à déterminer y de manière que cette équation soit bicarrée; dans ce but. on établit la relation
42/ac'' + (42/^ + ^Py + î)^' = ^7 qui conduit à
Si on substitue cette valeur dans l'équation restante
x'* + (6i/2 + p)x'^ 4- (y* -}-py'^-i'qy + r) = o on trouve
y^-^-y' -\ — -Ap^ — 4^)2/'— 7-* q^ = 0:
c'est la réduite d'Euler en considérant y* comme l'inconnue.
Comme on a posé
l'expression générale de l'inconnue sera :
La résolvante admet toujours une racine positive que nous désignerons par y] ; on aura ainsi y = ±: yi; en introduisant successivement ces valeurs dans la formule, on obtiendra les quatre racines.
Soit, comme exemple, l'équation
La réduite est :
Elle possède la racine yj = i ; il faudra donc prendre y = dt i. La substitution de ces valeurs dans l'expression de x donne
t08. Méthode de Schlomilch. Elle a pour but de transformer l'équation
X* -\- ax^ -\- hx^ -\- cx-\- d = o
de manière à la rendre réciproque. Posons
x = u-\- vy.
Substituons cette valeur dans l'équation et ordonnons par rapport à y. On trouve
. w* + au^ -\- bu* -{- eu -\- d
Afin de rendre cette équation réciproque, il faut déterminer w et v de manière à satisfaire aux relations
u* 4" ^'^^ -\- bu^ -\- eu -{- d
On en déduit
V* = u* -\- au^ + ^^* -\-cu-\-d, v*(4w -|- a)^ = (4w' -j- 3aw2 -f- 26w -|- c)^,
et si on élimine v entre ces égalités, il vient
(4W -j- a)2 (w* 4" ^^** + ^'^^ '\-cu-\-d) = (4w' -|- 3^^^ -|- 26** + e)*, ou bien,
(a' — 4a?^ + 8c) w3 ^ (^t^?) -|- 2ac — 46^ + i6d)i^« -j- (a^c — ^bc -\- Sad)u -j- a^^d — c* =0.
C'est la réduite de l'équation sous une forme que nous n'avons pas encore rencontrée. On prendra pour u une racine réelJe de cette équation et on calculera la valeur correspondante de v. Cela étant, en vertu des relations posées, l'équation en y devient :
. . AU A- a ^ 6w' + mu -\-b ^ , 4u-\-a
On peut écrire
£n posant :
on obtient l'équation du second degré
^u -\- a 6u^ -4- ^au -\-b — 2v^
Comme exemple, soit à résoudre l'équation
X* -j- 4x3 — 8^^2 | 5j[. ^ yg2 = o. On trouv pour la réduite
Elle est satisfaite pour u = g; la valeur de v correspondante est
V = dt. p/ÔD = zt 2[X 15. Soit t) = 2 1/15; l'équation en ^r est :
Connaissant les valeurs de z, on trouve pour y
— 23 ± 17 — 17 dr 7
ce qui conduit aux valeurs
Xi = 6, 0:2 = — II, X5 = 4, X4 = — 3.
IMPOSSIBILITÉ d'une FORMULE GÉNÉRALE DE RÉSOLUTION POUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES DE DEGRÉ SUPÉRIEUR AU QUATRIÈME.
te9. Soit
l'équation générale algébrique de degré m où les coefficients sont indépendants. Supposons qu'elle admette une formule de résolution x = A renfermant les coefficients et certains radicaux algébriques, de telle sorte qu'en la substituant dans l'équation, celle-ci sera satisfaite quelles que soient les valeurs des coefficients. En désignant par Xi, Xj, ..., Xm les racines, on peut écrire
X"* — (Xi -{- Xi'\" ')x"'-^-{-{XiX2-\-XiXt-\-*") X'''-^-\-»'*-±XiXt...Xm^O,
Cette équation aura lieu identiquement pour les valeurs Xi, Xj, ... Xm considérées comme des quantités arbitraires et indépendantes.
Substituons, dans la formule x = A, aux coefficients les expressions en X,, Xa, . . Xm qui leur correspondent; puisqu'elle doit donner successivement Xj, X2, ... Xm, les diverses racines qui s'y trouvent doivent pouvoir s'extraire exactement. Ainsi pour l'équation
X^ -\- 2pX + ^ = O,
la formule
X = — p dû y/p"^ — q devient par cette substitution
X, + ^2 , /(X, -\-X2Y X, + XS I y -
x = ' zt\ / x,X2= ' i:-lX(x, — xi)»
X\ -\- Xidz (X| X2)
Les radicaux de la formule représentent donc des fonctions rationnelles des racines, mais non symétriques; car, si elles Tétaient, ce ne seraient plus des radicaux, mais des fonctions rationnelles des coefficients.. Cela étant, supposons que la première racine à extraire soit 1/ = ^/ P, où P représente une fonction rationnelle des coefficients, c'est-à-dire, une fonction symétrique des racines; ?/, ne l'étant pas, devra changer parla permutation de deux racines au moins, et ses diverses valeurs seront fournies par l'équation
y'' = P, où le second membre est invariable pour toute permutation des racines. Désignons par
y = (ç{Xx,X2, Xi, ...)
une valeur de y; une autre valeur telle que cp(x2, x^, Xj ...) résultant de l'échange des racines Xi, x^ s'obtiendra en multipliant la première par a, a étant une racine r*^"*' de l'unité. Nous aurons donc
9(X2, Xi, Xs, ...) = a(p(xi, X2, Xi ...).
Cette relation étant identique, on peut y permuter les racines Xi et Xa; il vient ainsi
(p(xi. X2, Xs, ...) = a(p(x2, Xi, Xs ...)• En multipliant ces égalités membre à membre, on trouve
On doit admettre que rest un nombre premier; dans le cas contraire, on le décomposerait en ses facteurs. La relation précédente exige alors que r soit égal à 2, afin que a puisse prendre la valeur — i. Par conséquent, la première racine à extraire dans la formule de résolution est une racine carrée,
La fonction y n'est pas symétrique; elle admet deux valeurs correspondant à l'échange de deux racines; elles sont égales et de signes contraires. Cette fonction restera invariable pour un nombre pair d'échanges de deux racines et, par conséquent, pour les permutations circulaires de trois, de cinq racines, etc., puisque chacune d'elles est équivalente à un nombre pair d'échanges de deux racines consécutives.
Ce premier radical peut se combiner dans la formule avec des coefficients de l'équation, ou avec des radicaux de même espèce, ou avec un radical d'un indice plus élevé. Dans les deux premiers cas, les combinaisons donneraient lieu à une fonction de même nature que 3/, et, s'il n'y avait pas autre chose dans la formule, on pourrait écrire une identité telle que
X| =^j;(Xi, X2, x$, ...).
Or, s'il existe plus de deux racines, cette identité est impossible; car, le second membre reste invariable par une permutation circulaire des racines Xi, X2, x$, tandis que le premier change nécessairement. Il doit donc entrer autre chose dans la formule que des radicaux du second degré. Soit z = j/Q le radical qui vient ensuite; la fonction sous le radical n'est plus symétrique
comme tout-à-l'heure ; elle reste seulement invariable pour les permutations circulaires de trois, de cinq lettres, etc., tandis que z ne jouit pas de cette propriété; sa valeur doit changer par une permutation circulaire sans que l'équation z'' = Q cesse d'avoir lieu. Désignons encore par
Z=(p {Xi, X2,X5t X4, ...)
une valeur de z ; une autre valeur telle que
9(a?2, a?î, Xi, Xkj ...) résultant d'une permutation circulaire de X|, Xa, Xs, s'obtient en multipliant la première par a, a étant une racine r*^*"' de l'unité. Il vient donc l'identité
(p(x2, X3, Xi, X*, ...) = a(p (Xi, Xj, Xj, X4, ...).
Cette relation doit exister pour une permutation quelconque des racines et nous aurons aussi
(p{Xi, X,, X2, X4, ...) = acp(x2, X3, x«, X4, ...)» 9(xj, X2, X3, X4, ...) = acp(x5, a?i, X2, x*, ,..)•
En multipliant, on arrive à l'égalité a' = i ; par suite, r = 3. Donc, le second radical dans la formule doit être un radical cubique.
La fonction z peut prendre trois valeurs différentes que nous représenterons par z^ a.z^ a}z.
Or, s'il existe plus de quatre racines, on peut effectuer dans l'identité ^5 = Q des permutations circulaires de cinq lettres pour lesquelles la fonction Q reste invariable. Quant à z, il n'y a que deux hypothèses possibles : ou bien z restera invariable pour ces mêmes permutations, ou bien il passera par les valeurs az, cf}z. Dans ce dernier cas, on pourrait écrire l'identité
9(iP2> X|, X4, X5, Xi, Xe •••) = «^(xi, Xs, X3, X4, Xs, Xe .. .) ainsi que
cp(xi,X4, Xs, Xi, X2, Xe .. ) = a(p(x2, Xs, Xj, X5, Xj, Xe ..) 9 (x«, x», Xi, Xî, x$, Xe ...) = «9(31^3, a;,, x», Xi, Xj, Xe ...) 9 (X8, Xi, Xj, Xs. x«, Xe ...) = a9(x4, x», Xi, Xa, X|, Xe ...) 9(xi, X2. X3, Xi, Xs, Xe . .) = «^(iPs, X), X2, Xs, Xi. Xe ...)
et par la multiplication, on aurait : a'' = i.
Cette égalité est impossible, si ce n'est pour a= i, puisque a est une racine cubique de l'unité. Il neresledonc que l'hypothèse où z reste invariable pour des permutations circulaires de cinq lettres; mais, s'il en est ainsi,
2 doit aussi être invariable pour des permutations circulaires de trois lettres. En effet, considérons la valeur suivante a
Z = (p{Xsf Xi, Xs, X^i»X2fX& ...).
Puisque z reste invariable pour des permutatîMiyîirculaires de cinq lettres, on peut remplacer respectivement J "* -i
Xsf Xi, Xi, Xif X^f
par \f
X2,Xs, Xi,Xi,Xs, «4 >
et il vient l'égalité "^ ^
(p{xs,x^jXi, x,, X2, Xe ...) = 9(x2, Xs, x,,X4, Xs, Xn ...);
comme on a aussi
9(ac5, iC4, Xsi xi, a;2,iP6 ...) = 9(a;i, 0:2, Xi, x», xs, Xe ...)» on en déduit
(p(X2, x$,Xi, X4, Xs) Xs ...) = ?(^i> x»i ^3» iC4, a?»» ace ...)î par suite,
Cp(X8, Xs, Xi, ...) == 9(Xi. X2, Xs, ...)
c'est-à-dire que 9 reste invariable pour les permutations circulaires de trois lettres. Ce résultat est en désaccord avec l'hypothèse admise que z change pour ces permutations. Il y a donc contradiction, et la formule générale de résolution ne peut exister que pour les équations de degré inférieur au cinquième.
