X! + X| + ... + XI

donc, la transformation est orthogonale.

Un exemple d'une substitution de cette espèce est donné par la transformation des coordonnées dans l'espace. On sait que les formules pour passer d'un système d'axes rectangulaires à un autre système de même nature sont de la forme

X = ttx' -|- by' -\- cz',

avec les conditions

ft'

C'est donc une substitution orthogonale. Il y a neuf constantes dans les formules; en se donnant arbitrairement le^ valeurs de trois d'entre elles, toutes les autres seront déterminées par les relations précédentes. Dans le cas général, le nombre de constantes arbitraires se réduit à

hr — • = -^ •

FORME QUADRATIQUE.

tSOO. Une forme quadratique à A: variables a pour expression

f=a^^x\ -\- 2a^^x^x^-\- 2^,30:^X3+ ••• -{-^.axhXiXk

+ a^^x\ -\- 2a^^X2X^ -\ + 2a2kX2Xk,

■^a^^x\ -\- • " -\- 2aikXiXk

-{-auxl^ ou, d'une manière abrégée,

avec la condition ai^ = a^ji.

Désignons par /"i, /"a, ••• fky les demi-dérivées par rapport aux variables. On aura

fi = ciwXi -\-ci'i2X'i -\- ftisocs-l -\-a\kXk-,

/ \ (2 = aziXt -\-a22X2 + ttisXs + ••• -|- a2fcXfc,

fk = CkiXi ~\- ak2X2 + ^ksXs + \- akkXk.

On sait que le déterminant

«Ik

dzk

ttkl

dkk

de ces fonctions est le discriminant de f. De plus, en vertu d'une propriété^ des fonctions homogènes, on a aussi la relation.

Appliquons à la fonction quadratique la transformation suivante :

x, = a,X, -j- a2X2 -]-... -|- cckXky a;2 = |3,X, + (32X2 -^ y^kXk,

Xk = AiXi + A2X2 -|- ... -]- ^Xfc.

Pour arriver à l'expression de la transformée F, substituons d'abord ces valeurs dans le système (i); il viendra

f\ = bliXi -\- ^12X2 -|" • ■• 4" bik^ky

f, = &2iX, -\- 622X2 -]-••• -|- taiX*,

fk = bkiXi -j- 642X2 ~r • • "{" bkkXk. Si on représente par di le déterminant de ce système, nous avons vu que

Ji = rd.

Nous arriverons à une forme quadratique ne renfermant que les variables nouvelles en multipliant les équations correspondantes des systèmes (2) et (3). Il vient ainsi

Xifi -\- X2f2 -\ \- Xkfk

= (6nX, + 6,2X2 -\ 1- 6, A) (a.Xi + a,X2 + • • 4- oikXk)

+ (62,X, + 6i,X2 H \-buXk) ((3,X, + 1S2X2 H \- |3*X0

+ {bkA + 6*2X2 -\ \- bkkXk) (>,X, + A2X2 -j h >kXkl

ou bien

F = {ctiX, -{- C12X2 + •• ' + CikXk) X,

-\- (C2|Xi -\- 025X2 -!-•••+ C2kXk) X2

-\- (ciiXi -|- 0^2X2 -j- ••• -f" c*fcXfc) Xk, où

Cil = biiat -\- 621P1 + ^3171 + 1- hkih,

c\2 = &!««! + ^ïjPi + &5271 H + hktki,

Le discriminant A de la transformée est le déterminant formé avec les coefficients c ; mais, d'après leurs valeurs, on doit avoir

A = rJ,.

Si nous remplaçons à{ par sa valeur, il vient finalement

De là cette proposition ;

Si on transforme une fonction homogène quelconque du second degré, le discriminant de la transformée est égal au discrimi7iant de la forme 'primitive multiplié par le carré du module de la transformation.

Pour une transformation orthogonale où r = i , on aurait :

Le discriminant^ est donc un exemple d'une fonction des coefficients d'une forme unique qui reste invariable par une transformation linéaire,

^Ot. Fonction adjointe. Gauss a introduit dans l'étude d'une forme quadratique une nouvelle fonction de même degré appelée fonction adjointe. Afin de la déterminer, transformons la forme donnée

f^ 2 1 Ht^xyXt^^

en prenant pour nouvelles variables les demi-dérivées de /*. Posons donc

Xi = ftiix, 4-^^12X2 -| YaxkXky

Xa = «âiiCi -|-a22iC2-{- • — \-a<ikXk^

Xk = a\t\X\ 4" a*2iC2 -|- •• • 4" O'itkXk* Le déterminant de ce système est le discriminant de /. Supposons-le

différent de zéro et résolvons ces égalités par rapport à Xiy X2, x-o .... En désignant par an, «12, «is, etc. les premiers mineurs de (5, il viendra

dxi = auXi -j- c(.2iXi -\- a:$iXs -}"■•* + ûc^jX*, dxz = «12X1 -|- «22X2-!- ^52X5 + \- cckiXkj

dxk = «ikXi -|- a2ftX2 -\- asfcXs -}- ••• + a^kX*.

Si on multiplie ces égalités respectivement par Xi, Xa, Xs, ..., et si on les ajoute ensuite, on trouve

d . f= (anXi -\- «21X2 -j- «51X5 -] \- ak\Xk)Xi

-j- («12X1 -}- «22X2 -j" <^52X5 -|- ... -|- afe2Xfc)X2

-[- («15X1 -]- «asXo -1- «13X5 -] • -j- afc3Xi)X3

-j- (aifcXi -{- «2^X2 + «3^X5 + ••• -f- atfcXft)Xfc.

On sait que le discriminant d est symétrique et on a la relation : ara = a«r; par suite, en développant, on arrive à l'expression suivante :

+ «22^1 + 2a23XjX3 H 1- 2a^^X^X^

+ «33X3 H- • • + ^<^zk^ô\ +

C'est ce produit du discriminant par la fonction donnée qui constitue la fonction adjointe. Son discriminant est le déterminant formé avec les premiers mineurs «n, au, ... de d. En le représentant par Ai, on aura

Donc, le discriminant de la fonction adjointe d'une forme quadratique à k variables est égal à la (k — ly^me puissance du discriminant de cette forme. Soit la forme à trois variables

pour laquelle

d= ati ftij «15

a<ii ftj2 ^25 asi 0^32 Ct>5i

La fonction adjointe aura pour expression

-j- 2 (fli3«35 — a)2ar33)X,X^ -|- 2(ai2a->5 — ai'^a22)^i^s -{- 2{a\2aii — aa5ai,)X2X5.

909. Réduction d'une formé quadratique à une somme de carrés. Étant donnée la forme générale quadratique à k variables, il est possible à priori de la ramener à une somme de carrés de k formes linéaires. En effet, supposons qu'elle soit complète et posons l'identité

-i î A "y Tiv / Si on égale de part et d'autre les coefficients des carrés des variables et des doubles produits, on obtient un nombre d'équations égal à

fi -J = ;

mais, dans k formes linéaires à k variables il y a k^ coefficients; en retranchant de ce nombre celui qui précède, il reste

rA ^ . kik-i)

- y\A ^yT^ Parmi les constantes de la transformation, on peut en prendre arbi-

Ai^^' trairement et les autres se déduiront ensuite des équations de

condition. Le problème proposé est donc possible d'une infinité de manières. Nous allons indiquer un procédé qui permet en allant de proche en proche d'arriver à une somme de carrés. Soit donc

+ ttkkXk .

Supposons ftn différent de zéro; on peut écrire

ou bien

OÙ cp représente une fonction jiinéaire et 91 une fonction quadratique qui

renferment seulement l'une et l'autre les variables X2, x^ ..; on en déduit

ttii an

I Oj'

f = — (cinXi 4-9)' + ?i — — »

et, en posan'.

X| =anXi +9,

ait au

On a ainsi introduit au second membre un premier carré d'une forme linéaire, et il y a en plus l'expression ^

«Il

qui est une forme quadratique k k — i variables. En admettant que le coefficient de xl soit différent de zéro, on opère semblablemcnt sur celle-ci pour introduire un second carré d'une forme linéaire à A — i variables plus une fonction quadratique h k — 2 variables; ainsi de suite. On arrivera nécessairement à un résultat final de la forme

f^p,X]+p,\l+p,Xl + ... +p,Xf

où le nombre i est au plus égal à A et les quantités Xi, X2, X5 ... représentent des expressions comme suit :

X, = 0 . ac, +<ja;2H

Xi = o . Xl 4- • • • + o . Xi, -)- a'iiXi -j- • • ,

car, on peut toujours désigner par Xi, X2, ... x» les variables sur lesquelles on a opéré successivement. Le déterminant des coefficients de X|, X2, ... x, ne renferme que des zéros d'un côté de la diagonale et il se réduit à son terme principal

Il est donc différent de zéro puisqu'aucun coefficient an, a' 22, ... n'est égal à zéro. Il en résulte que les formes Xi, X2, .... Xj sont indépendantes.

Cette méthode n'est plus applicable, lorsque l'on rencontre une forme quadratique ne renfermant aucun carré. Il est nécessaire, dans ce cas, d'opérer comme nous allons l'indiquer. Soit ^ une forme du second degré

ne renfermant que des doubles produits; en admettant que le coefficient de X\X2 est différent de zéro, on peut écrire

^ = aXiX2 + ^liCi -\- 4^23^2 + TT,

où J^i, ^2 sont des formes linéaires et tt une forme quadratique qui ne renferment plus Xt et Xa. Or, on peut poser :

I 'J'i^'* d/ = -(axi + J^a) (aXi-\-^i)-]- n >

et, par conséquent,

é= — (axi + ax2 + 4^i + ^2)' {aXi — ax2-{-^2 — ^J^i)^ + 7T'

Si nous représentons par Y,, Y2 les expressions entre parenthèses, on a

Il y a de cette manière deux carrés au second membre et une forme quadratique qui contient deux variables en moins. On lui appliquera le même procédé, ou encore, si elle renferme un carré, on peut reprendre la première méthode. Il est à remarquer que les fonctions linéaires Yi, Ya sont de la forme

Yi = axi -|- axa -\- ""

Yf = axi — ax2-]-"*

En écrivant leurs coefficients sur deux lignes j

et en retranchant la première de la seconde pour substituer à celle-ci les résultats, il vient

II en résulte que le déterminant relatif aux fonctions Y peut prendre la même forme que pour les fonctions X. Nous avons donc démontré la proposition suivante :

Une forme quadratique à k variables est égale à une somme de carrés de {ormes linéaires indépendantes do?ît le nombre est au plus égal à k.

Admettons que la form(3 f se ramène à une somme de A: carrés et que l'on

ait :

f=p,X\ +p,Xl + p^ + ■■■+P.XI

Regardons, pour un moment, cette expression comme une forme donnée à k variables Xi, X2, ... X* et ayant pour discriminant

A = pipip5 ... pk.

En remplaçant les quantités X par leurs valeurs, on retrouvera la forme primitive qui, dans notre hypothèse, sera la transformée de la précédente. Désignons par r le module de la substitution, c'est-à-dire, le déterminant des fonctions X; nous savons qu'il est différent de zéro. Si on se rappelle que le discriminant de la transformée est égal au discriminant de la forme primitive multiplié par le carré du module de la transformation, il vient la relation

(5 = r^.p^pipr, ...pk.

Or, le second membre étant différent de zéro, il en sera de même de à ; réciproquement, si ^ n'est pas nul, aucune des constantes p ne sera égale à zéro; enfm, lorsque 0=0, il faut que l'un au moins des coefficients p soit nul. Par conséquent, la condition nécessaire et suffisante pour qu'une forme quadratique se ramène à une somme d'autant de carrés qu'elle renferme de variables est que son, discriminant soit différent de zéro; lorsque 0 = 0. le nombre de carrés sera moindre . ~ ~'

90S. Quand une forme quadratique est réelle, on peut toujours par une substitution orthogonale la ramener à la forme

où les constantes 5i, 52, ... Sk sont réelles. Aiiu de simplifier l'écriture, nous allons démontrer cette propriété pour une forme à trois variables ; la méthode est la même dans le cas général. Soit

la forme donnée, et

Xi = aiXi -|- ««Xj -\- asXf ,

(4) ^2=(3,X, + (32X, + j35Xs,

Xi = yiXi 4- yjXî -|- /«Xs

une substitution orthogonale. On a les formules inverses

Xi = aiXi -|- (SiXz 4- yiXf, (5) X2 = aaXi -f- (3»a;i -f y^Xi^:

Xô = oLiXx -J- [SjXi + ytXz.

Il faut déterminer les constantes a, |3, y de manière à ramener la fonction à la forme

La fonction donnée peut s'écrire

f= [axyXx -|- ai«X2 + axzXi) xi + [a^Xx + «82X2 -\- ^25X3) Xj

OU bien, d'après les formules (4)

f = (a\xXx -\- a\2Xi -f XxiX%) (a,Xi -\- «2X2 -f- asXs)

(7) 4" (^21X1 4- c^22iP2 -f- a2iXi) ((3,Xi -|- (3îX2 H- (SjXs) -h («nXi -f- as2a?a + ctîi^s) (yiXi + 72X2 + 75X5).

D'un autre côté, la fonction (6) devient par les formules (5),

(8) f=:.sx{aix H- (5,X2 + 71^5) X, +52 («2X1 -f- |3?^2 -f- 72X5) X2

-\- Ss {a.iXi -\- (SjXs -f- 73^5) X5.

Identifions les expressions (7) et (8) en égalant les coefficients des mêmes produits. Si on exprime d'abord que les coefficients de XjXi, Xi^Uj, X1X3 sont égaux, il vient

chioci -\- a22(3i -j- ^3271 = 5, (3,, ttnai + a2sQx -\- dssyx = Siyi, ou bien

(axx — Si) a.1 -{-ttix^x -\-asxy i=Oy

(9) aiiax-\-(a22 — 5i) (3| -[-«5271 =0, t ttisai 4" ^23(3i +(aj3 — 5,)7i = o.

En second lieu, l'égalité des coefficients de X2X1, X2X2 et X1X3 donne aussi

(an — S2) a.2-]-aii^t-^asiy2 = o,

(10) ai2a2 + («i2 — «2) jSa + 0^3272 = o, ^^15^2 + ftasjSî -J- (cLsi — 52) 72 == o.

Enfin, en égalant les coefficients de XsXi, X3X2, X$Xg, on trouve encore

(a, 1 — 5$) as -r o,2if^'o + «317$ = o,

(il) C^i2a5 +(^22 — 5j)(35 + a327s =0,

Si on élimine successivement «i, (3|, yi ; «a, (Sa, ^2; «a, Ps? 73 ^^"s les systèmes d'équations (9), (10) et (11), on arrive à ce résultat que les constantes 5i, 53, Ss sont les racines de l'équation du troisième degré

an —s

aia

où s représente l'inconnue. On sait (N® 65) que les racines de cette équation sont toujours réelles. Après les avoir déterminées, on les substitue dans les égalités (9), (10), (i I ) qui, avec les relations

«î + (5î+7! = i, o.l + fil + yl=i, c.l + ^l + yl = i sont suffisantes pour calculer les valeurs des constantes d'une transformation orthogonale réelle propre à ramener la fonction donnée à une somme de trois carrés .

Dans le cas général d'une fonction quadratique' à k variables, la réduction à la forme

^,x? + 5,x»4 hs,xi

dépendra la résolution de l'équation du degré k

«n — ô" «12 «is ... «ik =0.

«2fc

«5fe

ttkk S

«Jkl «A2 «*5 <

Nous avons donc la proposition suivante :

Une fonction quadratique réelle à k variables est susceptible de se ramener à la forme

s^X]+s,Xl-\ 1-5*X|

par une substitution orthogonale et par la résolution d'une équation du degré k dont toutes les racines sont réelles.

Si on développe le déterminant qui précède (N° 28), on sait que le terme indépendant de l'inconnue s est le discriminant, savoir :

«2fc «3k

likk

Lorsque d est différent de zéro, il n'y a pas de racine nulle et le nombre de carrés de la forme réduite est égal à k; mais, si (5 = o, il y a une racine nulle, et le nombre de carrés est alors k — i. De plus, le coefficient de la première puissance de s est la somme des premiers mineurs de d correspondants aux éléments dd la diagonale; en les désignant par «n, «22, etc., il y aura deux racines nulles, si Ton a :

a, 1=0, «22 = 0, jc53=-o,

(Xkk = o ;

dans ce cas, le nombre de carrés de la forme réduite sera A; — 2. On peut remarquer que tous les autres premiers mineurs seront nuls ; car, lorsqu'un déterminant symétrique s'annule, on sait que

ai2 = l/ociiOC22t «13 =|/ ajiass, «23 = ^a22a5$, etc.

Le coefficient de 5' est la somme des mineurs de l'ordre k — 2 que l'on obtient en groupant diagonîllement k — 2 à /: — 2 les A; éléments de la diagonale; lorsqu'ils sont tous nuls, l'équation en s possède trois racines égales à zéro. On peut continuer ainsi, en se basant sur le développement du premier membre de l'équation du degré k. Donc

Lorsque le discriminant d'une forme quadratique réelle est différent de zéro, il yak carrés dans la forme réduite; il n'y en a que k — i, si le discriminant est nul, k — 2, si les premiers mineurs relatifs aux éléments de la diagonale du discriminant sont nuls; etc.

Soit, par exemple, la forme quadratique à quatre variables

f = a, ,x\ + a^^x\ + a^^x\ + a^^x\ -\- 2a^^x^x^ + 2^,3X^X3 -j- 2aii,XiXi -}" 2a2sX2X5 -\- 2^24X2X4 -|- 2^34X5X4. On a : ' -^.

a%{ an

CL2k

asi a^i,

Lorsque ce déterminant n'est pas égal à zéro, la forme réduite est

Si 5 := o, elle devient :

.,X*+s,X| + ..Xl.

fb.l^

Avec les conditions

et 11 (Il 2 Cl 15

0/21 0^28 Ofii

dsX (^12 Ojil

C^ll

ait

ft2l

ft2a

Oj\\ Clts Clir, «61 «55 «34 «il «4 5 «44

la fonction donnée se ramène à la forme

Enfin, la même fonction se réduit à un carré parfait avec les conditions : r^ g ' ;

«Il

«aj

«Il «15

Observons encore que, dans le cas où ^ = o, la fonction adjointe est un carré parfait. Pour l'exemple qui précède, elle a pour expression

«I i^î + «22^2 + «33X3 + ^uK + ^a^a^iX, + 2a, 3X^X3

-j- 2ai4XiX4 4" 2a2jX2X5 -f- 2^24X2X4 -f- 2a54X5X4.

Or, on a les relations

tÂ

«12 ="^Xana2a, «15 = |/aiia33, «h = j/'aiia44,

«25=1/082063» 024=1/022044, CCti = yC(,ssCCiA.

En substituant ces valeurs, la fonction adjointe devient :

Il est évident qu'il en est de même dans le cas général.

1604. Loi d'inertie des signes. Quand une fonction quadratique réelle j à A variables est ramenée à la forme

les coefficients pi, ;?«, ... peuvent être positifs ou négatifs et quelques F uns d'entre eux égaux à zéro. Un terme positif tel que -|-jO,Xj est équi-

valent à (X4//?,)% et un terme négatif — p^Xl à — (X^j/p,)». La forme réduite peut donc s'écrire

lorsqu'elle admet h carrés positifs et tous les autres négatifs. Supposons que, par un autre mode de décomposition, on trouve

/"= Z* -{- Zj -| — • 4- ^« — ^<Vi — ^t-h2 — ••• — Z»;

on devra avoir / = /t, c'est-à-dire, le même nombre de carrés positifs dans les formes réduites. En effet, admettons /i <! 2; le nombre h -\- k — i sera au plus égal à A: — i, et si on considère les équations linéaires

Y, =0, Y2 = o, ... Yh = o, y^H-i == o, Zi^2 = o, ... Zk = o

dont le nombre h-{-k — i ne peut pas dépasser k — i, il est possible de trouver pour les k variables Xiy X2, ... Xk des valeurs qui vérifient ce système et pour lesquelles l'une au moins des fonctions Y^^i, Y^^a, ... prenne une valeur différente de zéro choisie à volonté. Dans ces conditions la forme f se réduit à

f = — Yft^i — Ya+2 * • • — Yfc ,

/■=zî + zl + ... + zf,

et ces deux valeurs doivent être égales; ce qui est impossible, la première étant négative, puisque l'une au moins des fonctions Y/,^i, Yh^2 ... est différente de zéro, et l'autre positive. Ainsi h ne peut pas être plus petit que i; on démontre également que h ne peut pas être plus grand que i; donc, h = i et l'on a ce théorème :

Quelle que soit la manière de ramener une forme quadratique réelle à une somme de carrés indépendants, le nombre de carrés positifs et le 7iombre de carrés négatifs restent invariables . C'est la loi d'inertie due à M. Hermite.

Nous avons démontré qu'une forme quadratique réelle se ramène, par une substitution orthogonale, à l'expression

5,x; + 5,xn ]-SkXl

où les coefficients sont réels. Lorsque toutes les racines de l'équation en s sont positives, la fonction restera positive quelles que soient les valeurs des variables; on dit alors que /"est une forme positive ; quand toutes les racines

sont négatives, on dit que /"est une forme négative; s'il y a en même temps des racines positives et négatives, on dit que f est une forme indifférente. On peut encore regarder deux formes quadratiques comme étant de mcme espèce, lorsque, dans leurs expressions réduites, il y a le même nombre de termes positifs et négatifs.

905. M. Hermite a profité de la loi d'inertie des signes pour résoudre le problème du nombre de racines réelles comprises entre deux limites données. Désignons par a, b, c, ... /, les racines d'une équation de degré n : F(a:) = o et considérons la fonction homogène du second degré

/*= -ixi + ax2 4- a'xs -\ 1- ff»-'x„)'

+ j-^(a;, + bx, + ¥x, -\ \- 6-'x„)«

(Xi -f- 1X2 + l-Xs -j \- /"-'Xn)»,

dans laquelle a?i. iPa, ... Xn représentent les variables et t une indéterminée réelle. Posons :

Xt == Xi -\- aX'2 -|- a^Xs -f- • — |- r<t"~'^„,

X„ = xi -\- 1x2 -|- /'a?3 -| 4" ^""'^n.

Il viendra

(13) f=-^Xl + — ^X^ -I 1- -^

Quand toutes les racines sont réelles, la substitution (12) l'est aussi et le nombre de carrés dans (13) affectés de coefficients positifs est égal au nombre de racines plus grandes que^; toute autre substitution donnera le même résultat.

Supposons que deux racines a et b soient imaginaires et de la forme

a = r(cos a -|- [X — i sin a), b = r{cos a — \/ — i sin a). Si on pose

X, = Y, + Yî \/^, X, = Y, — Y..> \/^,

.vV f

et si on remplace, dans X| et X2, a et b par leurs valeurs, on trouve

y, =xi -{- 7'X2 cos a -\- r'^xs cos 2a -] |-r'*-'a7„ cos (n — i)a,

Yj == iCi -|- rx2 sin a + r^Xs sin 2a + • • • + r^'-^Xn sin (w — i)a.

La substitution (12) sera encore réelle en remplaçant X,, X2 par Y,, Y^. On fera la même chose pour chaque couple de racines imaginaires, s'il en existe plusieurs.

Dans la forme réduite, deux racines imaginaires fourniront les termes

(Y, + YapX i)^+- .(Y,-Y,[/~[)K

Posons :

-==p(cos(p + |/— I sin 9), -=p{cos(p — [/^ isincp);

l'expression précédente revient à

p J j^cos? + ^/-irT sin ?) (^Y, + Y, i/:r7^ j' +p [(<^os^ — iX^sin î^^ Nx — Y2 ^xitt'^I',

pf^Y, cos? — Yasin? j-f |/~ i /^Y, sin?-]- Y2 cos? jl' + p U Y, cos ? — Y2 sin ? j — j/HT/^Y, sin ? + Yj cos ? j j

== 2p ( Y, cos- — Yism- j — 2p( Yi sin--j-Y2 cos- j •

Chaque couple de racines imaginaires donne lieu à un carré positif et à un carré négatif. Donc, toute substitution réelle ramènera /"à une forme réduite dans laquelle le nombre de carrés positifs sera égal au nombre de couples de racines imaginaires augmenté du nombre de racines réelles plus grandes que t. Cela étant, désignons par ta et ti deux valeurs de t, ^ > ^0; par Co, Ci les nombres de carrés positifs pour t = tQQit = ti\ par No et Ni les nombres de

racines réelles respectivement plus grandes que t^ et ti ; par 2R le nombre de racines imaginaires. On aura

Co = No + R,

d'où

Co — C| = J\o — N| )

par suite, la différence Co — Ci sera égale au nombre de racines réelles comprises entre ta et li.