Elle est susceptible de se ramener au type suivant
(2) /•= hoipCx + >o^,)2'*+' -f- lu {X, + hx,y-^' H \-h, [Xi + lnX')'^^^\
par une détermination convenable des coefficients h et ?., et celte expression est la forme canonique de la fonction donnée. Dans (i), il y a 2?i -j- 2 coefficients «0,^1, ... a2n+t ; dans l'expression (2), il y a aussi 27i -|- 2 constanles arbitraires &o, Ih, ... bn, h, ^tf ... ^n- Le problème semble donc déterminé. Afin de calculer les valeurs de ces dernières constantes, identifions les fonctions (i) et (2) en égalant les coefficients des mêmes puissances des variables. On aura :
ho'{-bt-]-b>-\ -f- hn =aoj
(3) ^0^0 + ^^! + KK + '' + ^O^u = r/„
Il s'agit de résoudre commodément ce système de 2n -\- 2 équations. Pour abréger, posons :
lo
.. As
ai
ai
as
An
Ao =
ao
an
az
as
ai,
an-\-2
etc.
Développons ces déterminants suivant les éléments de la première colonne qui est la seule différente. En désignant par Ao, Ai, A2, ... A» les premiers mineurs relatifs aux éléments de la première colonne de A , on trouve
Ao = Ao^O -\- AiCti -[- A2^2 -f- • • • -j- An^n,
Al = Aofti + Ai^a -j- A2az -\- •.• -j- Anan+19 A2 = AoCt2 -\- Ai^s + A2a> + •.. -\- Ana„^i,
Cela étant, prenons les n-\-i premières équations (3) et regardons &a, &i, ... bn comme les inconnues. Il viendra pour la première 60,
par suite,
— A&o + Ao«o + Aic^j + •.• + A„an = o.
Prenons, en second lieu, les {n-\- i) équations (3) qui suivent la première en considérant boT^o, ti^i, ..., bn^^n comme les inconnues. On aura également par la valeur de bolot
— A&o^o 4" Ao^i -\- Aiai-\ [- Anftn+i = o.
Avec \es n -{- I équations suivantes, il viendra encore
— Aboli -{-Aoa,^-{-A^a,^-\ ]- A„a„4.2 = o.
Ainsi de suite; les n -\- i dernières équations donneront
— A?)çAj+' -|- A^an+i -j- Aia„^.2 -| + A„rt2n+i = o.
Ces dernières équations au nombre de n-\- 2 sont homogènes relativement à A60, Ao, Al, ..., A„; pour qu'elles soient compatibles, il faut que l'on ait :
I ao «I fti ... an =0.
Àq fl-i ftj a$ ... ftn^-i
a^ as ax ... ^^«4.2
/^ ' ' ftrj-fl an-\.2 an^S ••• û^2n-).l
ao
ai
ft2
as
ttn^i
an+i
Dans la résolution des différents systèmes de w -^ i équations, nous avons seulement considéré les premières inconnues 60, ^o^o' ^0^0» •••' P^"^ ^^^ valeurs dès autres inconnues 6,, 61 Ai, ...; 62, &2/2.. .••» on arrive aussi à la même équation (4) où "ko est remplacé successivement par li, ?.2, ..., )n» Il en résulte que les n -\- i constantes 1 sont les racines de l'équation
A"+* ««4.1 a„^2 fl^n+l ... «2»+l
Celle-ci étant résolue, les ^i -]- i premières équations (3) donneront les valeurs des coefficients bo, bi^ .. .yh». Par conséquent, le passage d'une forme binaire d'ordre impair in -j- i à sa forme canonique s'opère d'une seule manière et dépend de la résolution d'une équation du degré w -j- i .
!809. Appliquons cette méthode à la forme cubique et quintique. Soit, en premier lieu,
/"= aoxl -f 3a^x]x^ -}- ^a^x^xl + a,^xl.
Pour la ramener à la forme
bo(x, -|- loXif -f- &i(Jt^i + ^iXiY,
il faudra résoudre l'équation du second degré
fto ai
Al a^
^2 as
dont les racines seront Ao et A,. Les coefficients ?>o, ^1 se déterminent ensuite par
to-j-t, =fîo, bolù-\-bili = at»
Posons :
On en tire
a:i+^X2 = X|, X, -|- AiXa = Xs.
Xi==x :r-{ — XiXi -|->.oX«), Xi=- ^(Xi — Xa).
Par cette transformation, la fonction donnée se réduit à une expression de
la forme
/XJ + mXl
qui est sa forme canonique.
Soit, en second lieu, la quintique
f= a^x] + S^.rrîo^g + loa^x^xl + îoa^x]xl + Sa^x^x^ + a^x^,
qui peut se ramener à la forme
^o(xi -\-l0X2Y -]-bi(xt'}'hx2y -\-b2(xi -{-hx2Y
par la résolution de l'équation
I «0 CLi tti =0,
À ai ai as A^ az «3 «4 À' as a% as Ao, ?!, ^2 étant les racines. Les constantes bo, &i, b2 se déduisent des équations
Si on pose
a7i4-/oiP2 = ; r-Xi, a?i + /ia;2 = X2,
on tire de ces égalités
par suite.
372 = ^ r- r ;- Ai — A2 h
Xi -)- ^2a?2 = T z- (Xi + Xa).
/ft — /l
Par conséquent, par la transformation linéaire (a), la quintique se ramène à une expression de la forme
qui est sa forme canonique. Souvent, on pose
X5 = — (X. + X2), OU X, +X2 + Xî = o, et l'on prend, pour la forme canonique de la quintique, l'expression
pX' + qXl + rXl Î808. Considérons aussi le cas d'une forme binaire d'ordre pair
f = af.x]'' -\- 2naix\'*-^X2 -\ ^^ -aixl^'-^Xi-^- [- a2na?r,
et proposons-nous de la ramener au type suivant :
h, (x, + lox-^'"' + &, {x, + hx.y- H Yh..(x,-{- ).nx.y\
Si on identifie ces deux expressions et si on opère comme dans le cas précédent, on arrive encore aux équations
AMo -{- Aofti + Aia2 -{-••• + AnCtn+l = O,
— A6o^o + Ao^;, -|- A,«„4.i -!-••• + A„«2.» = o. Ce système renferme 71 -(- i équations et 71 -{- 2 inconnues — A&o, Ao, Al, ..., A»; il manque une équation pour que le problème soit déterminé. Supposons 60 = o; il ne restera plus dans la forme canonique que 71 termes; mais alors les équations précédentes étant homogènes relativement à Ao, A|, ..., A„, il faut que Ton ait :
ao
ax
an
ai
as
an^\
at
fin+2
an fl-n+l ttn^t ... a-in
Donc, lorsque les coefficients d'une forme binaire d'ordre pair 271 satisfont à la relatw7i (3), elle peut se ramener à une somme de 71 puissa7ices 271; si le déterininant ((3) est différeiit de zéro, il est possible d'u7ie infinité de manières de la ramener à une somme de n -\- i puissances 27i.
Il faut donc qu'une condition soit remplie pour passer de l'expression générale d'une forme d'ordre pair à sa forme canonique. A cause de cette circonstance, on a été amené à compléter la somme des n puissances 2n par un terme additionnel comme suit :
-]- A: (a?« + A«a?2)' (xi + ^2X2)' {xi -{- ltX2y .. . (a?! -}- ^iPa)*,
et cette expression constitue sa forme canonique.
On est parvenu avec assez de peine à trouver les expressions canoniques des formes du quatrième, du sixième et du huitième degré. Nous indiquerons ici la marche à suivre pour une quartique. Soit
Posons :
/ = 6, (xi + A,a?2)* + ^2 (xi -f ^2^»)* + 6k [xi -f- >.i3;2)* {xi -{- hXiY-
En égalant les coefficients des mêmes termes de ces deux expressions, on trouve les égalités
fti -|- &2 -f- 6Â: = c^o,
hxli -\- bih + 3^'(^« + ^2) = «1,
(6) b,^ + Ml + M^î + ^ + i\K) = «.. h,^ + b,ll-^3k^M\ + K) = ^^-.^
Posons :
Les quantités Ai, ^2 seront les racines de l'équation
(7) z'' — sz-\-t=^ o.
Avec ces valeurs les équations précédentes deviennent
(8) bi -\- b2-\- 6k — «0 = 0,
(9) bili -\-b2h-h 5fis — «1=0,
(10) b,l',+b,llA-Hs' + 2t)-a2 = o,
(12) b,l\ + b^'X\-]-6kt^ — a, = o.
Éliminons entre (8), (9) et (10) les coefficients 61, bo» On aura
I I 6A; — ttfl
II Aj ^ks — «i
OU bien
{Il — Aï) o i 6k — tto
^a ;^ks — ai
•2 /^ k{s^-\-2t) — a2 Multiplions les éléments de la première colonne par Aj et retranchons les produits des éléments de la deuxième colonne; en supprimant le facteur li — A2, on a la relation
o I 6k — tto =0.
Éliminons encore 6iX|, 64X2 des équations (g), (10), (11), et b^l\, b^l] entre les équations (10), (11), (12); on trouve aussi :
0 I ^ks — »! =0,
1 o k{s^-\-2t) — ai s <— i ^kst — as
0 I k{s^ + 2t) — ai =0.
1 o ^kst — as s — t 6kt^ — «4
Par le développement de ces déterminants, il vient
aot — aiS -\- «2 — A;(8^ — 25') = o, ait — a2S-\-a5 — ks{^t — 5') = o, a2t — a-.s -\- «i — kt{St — 25^) = o.
k{St — 26'') = p,
a^t — aiS -\- «2 — |u, = o, ait — (0'i-\ — j s -\- as = o,
(«2 — p)i — ais -|- ^4 = o.
Enfin, par l'élimination de s et de f, on arrive à l'équation du troisième degré en ^
En posant :
on peut écrire
«0 ai
ai — |x
as
a^ — (ji, as
Après avoir déterminé les racines de celte équation, on substitue l'une d'elles dans (i6) pour en déduire les valeurs de 5 et de ^ L'équation (7) donnera ensuite les constantes lx,h; enfin, les égalités (8), (9), (10) permettront de calculer bo, bi, k, et le problème proposé est résolu. Comme l'équation cubique en ^ admet trois racines, on arrive au but proposé de trois manières différentes.
En posant :
il est démontré que la quarlique peut se ramener à la forme
Il est utile de faire remarquer, en terminant, que le passage à la forme canonique n'est pas possible dans tous les cas; lorsqu'une fonction présente une certaine particularité, par exemple, si elle renferme un facteur au carré, le problème peut être impossible. Ainsi, dans cette hypothèse, une cubique ne peut pas prendre la forme IX\ -\- wX^, mais la forme XJX^.
