Considérons la forme binaire quadratique

f = aox] -j- 2aiiPiii?2 -{- diocl .

Par la substitution

Xi = cCiXi -{- «2X2, Xi = (3,X, +|38Xa, elle devient

F == AoXJ + 2A,XiX2 + A.oX^, ou

Ao = «oa? + 2aiajj3| -)- aapj, Ao = a^ccl -{- 2aia2^2 + azjSj,

A, — a(,<xt(X2 -\- «I (aijSj -j- a«Pi) -j- as^iPs.

Formons avec les coefficients de f différentes expressions telles que

ainsi que les expressions correspondantes sur la transformée

^o + A^+Aj, AoA^A^, AqA, — Aj, AqA, — A^, ...

qui renferment à la fois les coefficients ao, «i> ct,2 et les constantes de la transformation «i, «2, |3i, jSa. En comparant celles-ci aux premières, il arrive quelquefois que l'une d'elles ne diffère de l'expression correspondante que

par une certaine puissance du module. Si on remarque, par exemple, que

Q^^d^ ft«, A0A2 — A^ sont respectivement les discriminants de la fonction

et de la transformée, on a la relation

A0A2 — a; = r2 {a,a^ — aj),

comme on le vérifie d'ailleurs facilement avec les valeurs de Ao, Ai, Aa; mais, il n'en est pas ainsi pour les autres expressions. L'idée que renferme cette équation s'exprime brièvement en disant que a^a^ — a^ est un invariant de/". En général, on Jippelle invariant, une expression des coefficients d'une forme telle, qu'après une transformation liénairej^ l'expression analogue avec les nouveaux coefficients £St tgale à la première multipliée par une certaine puissance du module de la transformation^ ~"^ ^ Soit une forme binaire de l'ordre n '^

. nin — i) 0,1 f= a^x'l + na^x\-'Xî-\ a^x\-^x\ -\ \- anX""^

ayant pour transformée

F = AoX'î 4- wA^X^-'X, -\ h AnX^,

toute fonction (p(ao, ^i, ^2, ...) des coefficients de /"qui satisfait à l'égalité

9(Ao, Ai, Aa, ...) = r^(p(fôo, «1, aa, ..) estsin invariant. Si > = o, on a ^ cp(Ao, Ai, Aa, ...) = (p(ao, C^i, tta, ...),

et l'invariant cp est alors une expression qui reste égale à elle-même pour toute transformation linéaire, même pour celles dont le module est différent de l'unité. On dit alors que cp est un invariant absolu.

Lorsqu'une forme admet plus d'un invariant, on peut toujours en déduire un invariant absolu. Supposons, par exemple, que /"possède les deux invariants 9(^0» CLy, •••) et ^{^(«0, «1, ...) ; on aura les égalités

(p(Ao, Ai, ...) = r>(p(ao, tti, ...), t];(Ao, Al, ...) = r/*4^(ao, fti, ...)»

par suite,

d'où

[(p(Ao, A., ...)]/* =r/*>[(p(a.o. «., ...)F, [tJ^(Ao, A, ,...)]> = r>/^[tj;(ao, ai,.. .)P;

[(p(Ao, A,, ...)3/^^[(p(ao, ftj, ...)Y ^ [^(Ao, Al, ...)]X [^J;(«o, tti, ...)P'

\ ni

La fraction du second membre doit être considérée comme un invariant absolu.

Afin de se rendre compte de l'existence de semblables expressions, il faut remarquer que la transformation linéaire introduit dans une forme binaire quatre constantes a,, «2, (3,, fia; si, entre les 71 -j~ i égalités qui donnent les valeurs des coefficients Ao, A,, .... on élimine ces constantes, il restera n — 3 relations entre ao, a,, ^2, ..., et Ao, A,, A., .... Quand l'une d'elles peut se ramener à la forme

(p(tto, «1, 0^2, ...) = (p(Ao, A,, A2, ...)

la fonction cp est un invariant absolu. Une forme binaire de Tordre 71 ne peut donc admettre plus de n — 3 relations de cette nature; les formes quadratique et cubique n'ont pas d'invariant absolu; elles ne peuvent avoir qu'un seul invariant qui est leur discriminant. •

181 0. Invariant slmuUané. Soit un système de formes

/'=«-o<-i > fi = ^hx\-\ , /'2=Co^iH » etc.

En effectuant une transformation linéaire, il viendra

F = AoX'î + ..., F,=B,X^ + ..., F,==CoX; + ...

Une fonction ç des coefficients de toutes ces formes qui satisfait à l'équation

(p(Ao..., Bo..., Co...) = r^9(ao ..., &o ..., Co ...)

s'appelle invariant simultané du système donné.

Nous avons déjà rencontré des fonctions de cette espèce. Quand on transforme un système de k formes linéaires à k variables, on a :

A et (5 étant respectivement les déterminants des formes transformées et des formes primitives; il en résulte que à est une expression des coefficients des fonctions linéaires jouissant de la propriété de l'invariance; c'est un invariant simultané de ces formes.

On sait que à est le résultant du système; une propriété semblable existe pour l'éliminant de deux formes binaires quelconques. Soit

/■= a^x"^ -\- ma^x'['-'x^ -\ \- a^x''^,

/", = 60^? + nh^x'\-'x2 -| 1- Kx\.

Désignons par (/^iÇi), (jOaÇt), ...(jo«,g«.) les racines de /"^o, et par

do == qiqt "' q^f ^m = PiP2

(fiSi)i (^282), ... (rnSn) les racines de /', =0. On peut écrire en posant :

Pmj bo = SiS2 ... 5n, bn = 1\r2 ... Tn*

Pour obtenir le résultant R, substituons dans /"i les racines de f=o ci multiplions les résultats. On aura

Pm qm

Si on applique les formules de la transformation

Xi = aiXi -j- a2X2, X2 = |3|X| -j-PaXa,

le premier déterminant de f devient :

«1X1 + «2X2 |SiXi-]-|3aX2 =(^ia, — />,(3,)X| — (jo,[32— çia^Xî;

Pi qy

par suite, les valeurs de Xi et de X2 qui correspondent à ce facteur sont proportionnelles à

jo,(32 — qiCf.7j q\&.\ — pijS. ;

de même, dans la transformée de /"i, Xi et X2 seront proportionnels à

rK^2 — 5ia2, 5i«i — riPi ; or, le déterminant de ces quantités a pour valeur

P\^2 — qiOit q\cx.x — pi^x

n|32 — Sioi.1 SiOii — r,|3i

Donc, chaque déterminant du résultant R' des transformées est égal au déterminant correspondant de R multiplié par le module, et comme il y a mn déterminants semblables, on a

Par conséquent, le résultant de deux formes binaires quelconques est un invariant simultané de ces formes.

Il est utile de remarquer qu*en posant :

Pi -= jO«|32 — (/ia2, Qi = q\C(.t — ^i|3i

«2 jSî

on a la relation :

Pt>

Pour la vérifier, il suffit de remplacer Xi, 0:2, par leurs valeurs.

1811. Le discriminant d'une forme est un invariant. Il a été démontré antérieurement que, pour une forme quadratique, on a :

A = r'd, A étant le discriminant de la transformée et d celui de la forme primitive; par définition, d est donc un invariant. Cette propriété a lieu pour le discriminant d'une forme quelconque; nous allons le démontrer en considérant seulement une forme binaire de l'ordre n, savoir :

f== af^x^l -\- na^x1~'x^ -j- •• -}- anX^.

Si on désigne, comme ci-dessus, par (jo,gi), (P2Ç2), . . (puqn) les racines de /";:= o, on a :

Xi 5C2

Xx ûc-.

Pn qn

On sait encore que le discriminant d de /"est représenté par

Pi qi Pi Ç2

Pn-K qn-{ Vn qn

Pi qi

Pi q-o

On vient de voir que, dans la forme transformée, les racines qui correspondent aux deux premiers facteurs sont proportionnelles à

JOiP? — qiC(2, qiai — pi^r, P2^2 — g2a2, Ç2ai — jOîjSi ;

or, on a :

p\^i — q\&.2 qtoci ^ pi^i JO2IS2 — qiC(.2 qtUi — pa^i

ai (X2

P< Il I

Ainsi, chaque déterminant du discriminant A de la transformée est égal au facteur correspondant de ô multiplié par le module; comme il

renferme

déterminants semblables, il vient

ou bien

par suite, d est un invariant de /.

Il résulte de cette démonstration qu'en représentant par (t*iQa — P2Q1) ce que devient (jo,(/i — ^2^1) par la transformation, l'on a

P1Q2 — P2Q1 = r{piq2 — q^Pi)-

Donc, une fonction quelconque des déterminants {piq2 — P2<?i), (piqs — Pôq*)-/ etc. où chacun d'eux entre d'une manière égaie sera un invariant.

!91!9. Pour une forme binaire, une fonction symétrique des différences des racines est un invariant, lorsque chaque racine s'y trouve un même nombre de fois.

On sait que les fonctions symétriques des racines sont des expressions rationnelles des coefficients. Dans la forme binaire

f=aç,x'\-\-na^x\-'x^-\ \- anX\,

oïl ao est différent de l'unité, ces coefficients sont — >— » etc. Afin de rendre

aa ao

la fonction entière, il est nécessaire de multiplier par une puissance convenable de ao pour faire disparaître tous les dénominateurs. Supposons la fonction donnée décomposée en ses facteurs linéaires

et posons

Xi X2

Xx X2

Pi qi

Pz qi

Pa qn

• pn

Les quantités p seront les racines de /' = o où l'on considère — comme

' Xo

l'inconnue.

Soit la fonction symétrique suivante :

<2(p, -P2)^(p3-pj^...

où chaque racine entre au degré p. En remplaçant les racines par leurs valeurs

elle devient

V^i qtj \qs qj

ou bien

<IW2^\

(Piq2 — Piqiy {psqk — p.qs)'^ ...

et puisque chaque racine entre également dans les termes de la somme, le dénominateur sera le même partout ; sa valeur étant

fonction symétrique donnée se réduit à

l{ptq2 —P2qiy{psq', ~ P',q^Y ...

et nous venons de voir qu'une telle expression est un invariant. Par exemple, la formule

<{Pi — P2)' représente l'invariant de la forme quadratique, et l'expression

a] (pi — p^y ipi — p-oY {p-2 — P'.y

celui de la cubique.

De même les sommes

(lll{p^ —p2y(ps — p^y

(il Kpi — p^y (ps - p^y (pi -- p4) (p2 — Pi)

correspondent à des invariants de la quartique.

913. Après ces définitions, nous allons démontrer les propriétés fondamentales des invariants d'une forme binaire de Tordre 71

Première propriété. Un invariant est une fonction homogène des coefficients et de poids constant.

Appliquons à la forme f la transformation spéciale

x\ = Xj, Xi = ^X2 ayant pour module

o l Si (p est un invariant, on a

9(Ao, Al, Aï, ,..) = A*9(fto, «1, 0-2, ...). Remarquons que le changement de x% en ÏX2 revient à multiplier chaque coefficient de la forme par une puissance de A égale à son indice, de sorte que l'égalité précédente peut s'écrire

(p(fto, axïf ^2^^, ...) = X''9(rto, ^^1, (i'i •..)• En vertu de cette relation, chaque terme du premier membre doit renfermer le facteur A*; ce qui exige que la fonction 9 soit homogène et que la

somme des indices dans chaque terme soit constante et égale à k ; c'est précisément cette somme qui constitue le poids de l'invariant.

Deuxièyne propriété. Un inoariant reste le même, en valeur absolue, si on échange les coefficients éqmdista?its des extrêmes. Eflfecluons la transformation

X\ •= A.2» Xi =^ A.|

dont le module est — i ; on aura

(p(Ao, A,, As, ...) = (— if (p(ao, a^, «a ...),

k étant le poids de l'invariant. Or, une telle substitution donne une transformée où «0 est remplacé par an, «i par an-.\ et, en général, ai par an-x\ «1 cause de l'égalité précédente, cet échange laisse la fonction invariable si k est pair, et il y a seulement changement de signe, si k est impair. On appelle invariants droits ceux qui conservent leur signe par l'échange des coefficients équidistants des extrêmes, et invariants gauches ceux qui changent de signe.

On exprime encore la propriété qui précède en disant qu'un invariant est symétrique par rapport aux coefficients à égale distance des extrêmes .

Troisième propriété. Le poids d'un invariant du degré B par rapport aux coefficients est \nd.

En effet, si dans chaque lerme aragat ..., on remplace ar par an-ry as par an-.,, etc., l'invariant conserve la même valeur absolue; il faut donc que l'on ait :

r -\- s -\- t -\- • ' = n — r -{- n — s -\- n ~ t -\- *" ou

par suite, Il en résulte que, pour une transformation de module r, il viendra

nÔ

(p(Ao, Al ...) ==r 2 (p(fto, fti, ...)•

Le poids de l'invariant étant un nombre entier, on en conclut, pour n impair, que son degré B doit être pair; ainsi, une forme de degré impair ne peut posséder que des invariants de degré pair.

Quatrième propriété. Un invariant satisfait aux équations différentielles:

ao- h 2». :i r 3<*2 1 \- + na„, j-^ = o,

dtti da-i. das ' ' aa„

nai ]- {n - i)ai- \- {n ^ 2) a^ -- -\- - • . . -4- r/„ = o.

duQ dai daz ' dan-i

Pour le démontrer effectuons la transformation

X\ = Xi — j— /Xg»

dont le module est l'unité. L'invariant 9 reSTera identique à lui-même. Or on trouve, pour la transformée, \^

et l'invariant pris sur cette transformée a pour valeur

(p(ao» »! -f-<*oA, a2-{- 2ai'k-\- aol'^^ ^3 -|- 3^2^ -|- 3aiA' -|- f(-o^', .•)

Ctftl Clft2

Comme la fonction cp reste invariable par la transformation, les coefficients des diverses puissances de A doivent être nuls; en égalant à zéro celui de la première puissance, on obtient la première équation différentielle. La seconde se déduit immédiatement de l'autre en changeant a^ en «„< à commencer par le dernier terme. Toutes les autres équations provenant des coefficients de A', A' ..., égalés à zéro, expriment la même chose que la première et doivent être satisfaites en même temps; il est inutile de les écrire.

Cinquième propriété. Si fi et fo sont deux formes binaires de mèine degré et 9(^^o> ^1» CI2, ...) un invariant de la première, l'expression

a«o dat da-i dan

sera un invariant simultané de ces formes, 6a, ^i, ^j, ... étant les coefficients de la seconde forme

En effet, formons la fonction composée

/. + M, = {((o + kbo)x'l + n(a, + kb^)x^l-'x^

+ !!:i!ii-^ (a, + kb,)xr'xi + . . .

Quand cp{ao, «i, «2 ...) est un invariant de /'i, l'expression

(p{cbo -\- kbo, «I 4~ ^^1 » ^^i ~\~ ^"^2, • . .) sera un invariant de la forme /"« + kfz quel que soit A:. En développant, les coefficients des diverses puissances de â: jouiront de la propriété de l'invariance et, en particulier, l'expression proposée qui est le coefficient de la première puissance; comme elle renferme à la fois les coefficients a et b, c'est un invariant simultané des deux formes. Par exemple, on sait que a^a^ — a] est un invariant de

ft = a^x] + 2a^x^x^ -j- a^xl.

Posons :

ft = bf,x^^ +2b^x^x^-\-b^xl.

Si on effectue sur 9 = a^a^ — al l'opération

dao dai da^

on trouve l'expression

aibo — 2fti&i -\- aob2

qui sera un invariant simultané des deux formes quadratiques.

914. Il sera utile d'appliquer les principes que nous venons d'exposer à la recherche de quelques invariants. Après avoir choisi le degré 9 de la fonction à déterminer, on calcule le poids par la formule

n étant le degré de la forme. Il faut ensuite combiner les indices o, i, 2, ... n de la lettre a de manière à former une somme égale à jo; ce qui permet d'écrire la partie littérale de l'invariant. On ajoute aux termes des coefficients A, B, C,... qui se déterminent par l'emploi des équations différentielles. D'après la manière de composer les termes, l'expression écrite sera symétrique, et il suffit dans la pratique de se servir d'une seule équation.

Forme quadratique. Elle ne possède qu'un invariant qui est son discriminant. On a : 9 = 2, \n9= 2; par suite, l'invariant est de la forme

ka^a^'\-^a\.

A et B étant des constantes numériques. En appliquant à cette expression la première équation différentielle, on trouve

ao (2^111) -\~ 2ai (Aao) = o ou bien

(A -\- Bjttofti =0.

On donne la valeur que l'on veut à l'un des coefficients; car l'invariant peut toujours être multiplié par un nombre quelconque. Prenons A == i ; la relation précédente donne ensuite B = — i . Donc, l'invariant cherché sera

En posant : A = 2, il viendra : B = — 2, et l'invariant se trouverait multiplié par 2; ce facteur est inutile; pour déterminer les constantes numériques, on prend toujours A = i.

Forme cubique :

Son discriminant est un invariant et elle n'en a pas d'autre. On a ici: 6 = 4, ^ n9 = 6. Il faut donc composer une expression du quatrième degré et telle que la somme des indices soit égale à 6 dans chaque terme. D'après cela, l'invariant sera de la forme

Aalal -\- Ba^a] -\- Qa^a^a^a^ -\- \)a\a^ -\- Ea\a\, L'équation différentielle donne

-|- 3^2 [2kala^ -f ^"f^o^^S + Dajj = o, ou bien,

(G + 6A) ala^a^ + (2C + 3D) a]a,a^ + {2E + 6B + 3C) a,a,a\ + (4E + 3D)aX = o;

par suite, on a les relations

C-j 6A = o, 2C + 3D = o, 2E -f- 6B -f- 3C = o, 4E -f- 3D = o. Avec la valeur A = i, on trouve

Donc l'invariant de la cubique a pour valeur

alal + 4^0^*2 — àa^a^a^a^ -\- 4»^». — s^f']^]- Forme quartique :

Cherchons si elle admet un invariant du second degré. Si G = 2,jnQ = 4, et la composition de l'invariant doit être

Par l'équation différentielle, on trouve sans peine A = i, B= — 4, C = 3. L'invariant du second degré de la quartique est :

»oC^4 — 4^^«3 + 3c^^ Supposons, en second lieu, 0 = 3; alors ^n9 = 6, Si on combine les nombres o, I, 2, 3, 4 trois à trois de manière à former une somme égale à 6, on arrive à l'expression :

L'équation différentielle conduit aux valeurs :

A=i, B = — I, C = --i, D==2, E==-~i, et l'invariant sera :

^oS^4 ~- ^^0^1 — ^^î«4*-l- 2a^a^a^ — al. . Pour la forme canonique

x\ -\-x\-\- 6lx\x\ les deux invariants que l'on vient de trouver et que nous désignerons par i et j se réduisent à

On sait que le discriminant de la quartique est un invariant, mais il n'est pas indépendant; il s'exprime au moyen de i et de / par la formule

On le démontre facilement par la forme canonique. Les équations dérivées étant :

si on pose a;2 == i , la première donne

Substituons ces valeurs dans le premier membre de la seconde et multiplions les résultats ; on aura

Or, on vérifie facilement que

( I - gA'r == ( I + 3X»)^ ^ 27 (A - l^)\ c'est-à-dire,

C'est là une relation invariante qui aura lieu aussi pour la forme générale.

Remarque. Comme moyen de vérification, on fait usage de cette propriété que : La somme des coefjicienls numériques d'un incariant est toujours égale à zéro, lorsque la forme est écrite avec les coefficients du binôme. Pour s'en rendre compte, il faut observer qu'en posant :

ao = Ui = f^2 ==^ • • • == an = I , la forme f se réduit à une puissance exacte, savoir :

et l'équation /*== o a toutes ses racines égales. Or. nous avons vu qu'un invariant s'exprime par une fonction symétrique des différences des racines qui s'annule quand les racines sont égales. Il en résulte que cet invariant est identiquement nul pour

ao = ai == *• = ttn = I ;

par conséquent, la somme de ses coefficients numériques doit être égale à zéro. Il n'en est pas ainsi, quand on écrit la forme comme suit :

car elle ne devient pas une puisssance exacte lorsque tous les coefficients sont égaux à l'unité.

Nous vérifierons plus tard par d'autres méthodes que les expressions que l'on vient de trouver sont réellement des invariants. Lorsqu'une fonction rationnelle des coefficients d'une forme vérifie l'équation différentielle sans satisfaire aux autres conditions de poids et de symétrie d'un invariant, on l'appelle semi-invariant ou péninvariant.

PROPRIETES DES COVARIANTS.

^tS. JJn covariant est une^xjoressioiLJ^^^ coefficients et des variables d'une forme telle, qu'après une substitution linéaire, la même expression prise sur la transformée est égale à la première multipliée par u?ie puissance du module de la transformation.

Soit

f=z a^x^ + wft,a?J~' -]-•• + ^n^a

une forme binaire de l'ordre n qui, par une substitution linéaire de module r, devient

F = A^XI + ;iA,X,-X, -| h A,X-

toute fonction (^[ao, a\, ...yX\. x^) qui satisfait à Tégalité

9(An, A,. ..., Xi, Xj^ = 7'''9(fto, «1, ..., a;,, iCâ) est un covariant de f.

Soit une cubique

qui, égalée zéro, admet les racines po, pi, ps; on peut obtenir immédiatement un covariant au moyen des différences des racines. Posons :

5 = fi^;2 (Pl — p2)M^1 — P3^2)' i

en remplaçant les racines par les rapports

elle devient

s = l(piq2 — P2q\f(xtqs — X2Pzy et nous avons vu précédemment que ces déterminants jouissent de la propriété de l'invariance. La somme s se compose de trois termes résultant de la permutation des racines; en laissant le fadeur rtj, on aura

* = (pi — p2)*(^, — P5a?2)'4-(P*— P^Yi^t — pja?2)*+(p2 — p^yicOi — P1X2Y

= < [(pi - pa)' 4- (p. - P^r + (p. - ps)'] , — ^XxX2 [pi (pî — ps)» + pa (p, — p^y 4- p5 (pi — p2)'J

+ < [pî (p, - p,y + Pi (p. - p^y + p! (p. ~ p^n

Si on substitue aux fonctions symétriques leurs valeurs, et si on multiplie ^

ensuite par a\^ on trouve, à un facteur numérique près, ™

(«0^2 — »?) A + (^(/'.-i — fSf^2^-^'l^2 + (^^'1^3 ~ ^-2)^2 1

qui est l'expression définitive du covariant du second degré de la cubique.

Comme nous l'avons fait remarquer pour les invariants, une expression composée avec les différences des racines et des facteurs linéaires renfermant les variables ne peut représenter un covariant qu'à la condition que toutes les racines y entrent un même nombre de fois. Ainsi,

(tj 2 (p, — pj)' (p, — ps) (j;, — p2a;t)* (a;i — pBjîî)

est un covariant du troisième degré de la cubique, et

(l'1 2 (p. — p2)' (p2 — p^y (pi — po* {xi — pAX2y

al 2(p, — p2) (pi — pi) (pi — 04) {oci — piX2y [xi — p^x^y (x, — P4.X2)'

sont des covariants du quatrième et du sixième degré par rapport aux variables de la quartique. Les diverses expressions analogues que l'on pourrait former pour une fonction homogène quelconque à deux variables n'ont qu'une importance théorique. Il existe des méthodes plus faciles pour déterminer les covariants; elles reposent sur diverses propriétés de ces fonctions que nous allons démontrer.

tSIG. D'après l'identité fondamentale

(p(Ao, A,, ..., X,, Xs) = r''"®(/io, <Ai, ..., «I. X2),

le coefficient de X*,XJ dans le premier membre doit être égal au coefficient de x\x\ multiplié par r*; la puissance k se nomme indice ou poids du covariant. Désignons par G le degré du covariant par rapport aux coelïicients et par v son degré par rapport aux variables. Si, dans une forme quelconque de l'ordre n, on change a?t en /a?i, et, en même temps, ai en «</», il se fait que À" est facteur dans tous les termes. Mais, par ces deux changements, un terme a^xd'^ ... x\xl du covariant renfermera /Ha+/3f...^ g^ l»^u ^yj^^^

l -\- a-^-p -\- *'* = constante.

Or, si on effectue la transformation

X\ = X2, Xa = Xi dont le module est — i, le covariant reste le même en valeur absolue, tandis que aa devient an-an ^tc. et x\, x\~^:, par suite, il faut que

ou bien

d'où

nQ 4" ^

Par conséquent,

i"* La somme des indices des coefficients d'un terme du covariunt augmenté de l'exposant de Xi daîis ce terme est constante et égale à

2** Le poids du coeffieie7it de a;[ est représenté par

nB -4- V — -^ /.

Ces propriétés permettent d'écrire la partie littérale d'un covariant lorsqu'on donne son degré v relativement aux variables et son degré 0 par rapport aux coefficients. Par exemple, pour la cubique

le covariant du second degré relativement aux coefficients et aux variables est de la forme

^^0^1 ~r •2C,a7ja?2 -\' Cj

la !

ce qui permet de poser

où les poids de Co, Ci, Ca seront respectivement 2, 3, 4, puisque ' — = 4;

Co = Aa^a^ + ha\, C, = CuoCi:, + Baia2i Cj = Eft,ag + Fa^.

Il ne reste plus qu'à déterminer les constantes numériques A, B, ...; ce qui se fait par des équations différentielles que nous allons démontrer.

SI 7. Equations différentielles des covariants. Appliquons à une forme binaire de l'ordre 7? la transformation

X2 = Xj,

pour laquelle r = i . On aura

cp(Ao, Al, ..., Xl. Xo) = 9(^0, «1, .. , Xl, ^2), ou bien, en remplaçant X,, X2 par leurs valeurs

cp(Ao, Ai, ..., Xl — ).X2, Xo) = (p{ao, ai, ..., Xi, Xi).

Il résulte de cette identité, qu'en développant le premier membre, les coefficients des diverses puissances de A doivent être nuls. Or, par la transformation, les coefficients Ao, Ai, A2, ... ont pour valeurs

par suite, le coefficient de la première puissance de A donne l'équation

dcp . do) d(D d^

— x,- ^ tto -j h 2ft, — ^ 4- . . + nan-s -— = o,

dxx dai da2 da^

ou bien,

d(p dm d'i) rfq? , , dm

dXi da, da-z da^ ' ' dun

L'échange des variables ou la transformation

Xf = Aj) X2 ^= Al

n'altère pas le covariant, tandis qu'un coefficient a< devient an<; on aura

aussi

d(p d(p d(p dcp

la') a;, — - = a„^— 4-2rt„, \-nai-—»

dxi 6ta„i dan-2 dao

Cela étant, écrivons le covariant (p à la manière ordinaire suivant les puissances décroissantes de Xi ,

9 = C,x\ + yC,x\-^x, +'^^~^^C,<-'a^^ + •- + Cv^^^. Il vient :

(«") ^2 ^ = vCo^-y-'^a + K^ - I ) C,a?^2a?| -t \-yC ,tx] .

D'un autre côté, appliquons l'opération du second membre de (a) à cp, en observant que les coefficients Co, G|, ... sont des fonctions de cto, «i, a.., .... Si on compare ensuite le résultat avec (a") pour égaler les coefficients des mêmes puissances de Xt et de iCa, on trouve

dCo , dCo , , dCo

dai da2 ' * " da,

dCi dCi dCi

dai dat * aa»

dCi dCi . , dC-i

-. \-2ai- h •• • + nan-i -—

dai dai da»

dC, dC, dC, ^

dai da» * ' da,,

Par le développement des deux membres de l'identité (a'), on arrive encore aux équations :

^*i"i — r(^* — 0^2 1 — — 4-^''« , — = o, dao dai ' aa„i

?îa, -3 1-(^? — 0«2-^ [-«„-| = Cv,

dao cLdi dan-i

im, —■ h (n — i)ft2 -1 Y Un 3 = 2Cv i ,

rf«0 ««1 dCln-i

?lCti-; h [n l]a2- V- "' +ftn-j = VC|.

Ce sont les deux systèmes d'équations différentielles auxquelles doit satisfaire tout covariant cp de la forme donnée. Appliquons, par exemple, ces équations pour déterminer les coefficients Co, Ci, C2 du covariant du second degré de la cubique. On a

Co = ^a^a,, -\- Bftf,

C2 = ^a^a.-\-'Sa\.

Par les équations du premier système, on trouve

dCo , rfCo , CiCo / A I Tî\

ao- \-2ax- \- 3^2 -r— = 2aoai ( A -}- B) = o ;

dttt da2 das

par suite, pour A = i, il vient B = — i ; donc

Co ^a^a^ — a].

En second lieu

dC, rfC, , rfC, 2

dtti da2 das

ou bien

«0«2 (D + 3C) + 2ft'D = (10^2 ^!»

c'est-à-dire,

aoft2(D4-3C— i) + aJ(2D+ i)=o;

on en tire :

donc,

Cl ==i(ftoas — aittî).

Enfin, régalité

dCî dC2 dCo

k dai diii daz

B revient à

aotts (E — i)-{- a,a2 (4F -]- 3E -|- i) = o.

En conséquence,

E=i, F = — I, h et

' C2 = aittt — a].

Le covariant du second degré de la cubique est complètement déterminé et il a pour expression

(ao^a — a]) ocl -j- («ofts — «itta) X1X2 + (aiŒs — a]) x].

9tH, Le calcul d'un covariant se simplifie encore par le second système d'équations différentielles. On en tire, en commençant par la dernière,

' I ••=;- dCo

V <=o dai

C2 = - 1 ^n—i)ai+y--y

V — I <=o dtti

V — 2 <=o aa»

Avec Ço, la première fait connaître Ci ; avec Ci, la seconde donne Cj, et ainsi de suite. Désignons par d l'opération

dao dai *^ ' dan-i '

on aura simplement

'-<i = — ctLoj La = • ctLi , C5 ==: d\j2f •••• Ly = cfCv i .

Il suffit donc de connaître le premier terme Co pour en déduire tous

les autres et, pour ce motif, nous appellerons C© terme principal du covariant. Appliquons cette mUhode à la recherche du covariant du troisième degré par rapport aux coefficients et aux variables de la cubique

On a :

^ = 3» 0 = 3> 1^ = 3» et ! — = 6;

le poids du coefficient du premier terme du covariant est 3 ; il sera donc de la forme

Co = ala^ + ka^a^a^ -f BaJ.

L'opération

ciCo , dCo . dCo

dai dtti das

donne

ala, (A -|- 3) 4- ay^ (3B -|- 2A) = o ;

d'où A =^ — 3, B = 2 ; par suite,

Co = ala. — 3aoC^iC^2 + 2aJ.

Connaissant Co, il vient successivement pour les autres coefficients

C, = |rfCo= I [3a, (2aoa^— ^a^a,) + 2a,(6aJ — 3aoa2) + «3 (- 3»oa.)]

c'est-à-dire,

C^ = aoa^a^ -\- a\a^ — 2a^a\.

De même

C2 =1 rfC, =H3a,(a,a3 — 2^;) + 2«2 Kû^3+ ^ai^J + (^z^K— 4û^oaa)]

Cg = 2à\a^ — a^a\ — a^a^a^. Enfin,

C3 ==(iCj = 3a, (— a2a3) + 2a, (4a^ag —O'X) + 0,7, (— 2(i,a, — «oû^s) c'est-à-dire,

Cj =! 3^iC^j<*3 — 2a5 — ^0^5»

Il vient ainsi pour le covariant du troisième degré de la cubique,

+ 3 (2aîa5 — »,«; — a^a^a^) x^x\ + (3a, ^,«5 — 2a| — a«aj)a?î.

®19. Dans le calcul des covariants, il faut encore utiliser la propriété suivante. La transformation

Xi =i Xa, ii?» = Xi

revient à échanger les coefficients à égale distance des extrêmes dans la forme et le covariant se trouve simplement multiplié par ( — i)*, puisque le module de la substitution est — i . 11 en résulte que le coefficient de X2~*x\ se déduit du coefficient de x]l~^x^ par l'échange des coefficients de la forme équidistanle des extrêmes; on conserve les signes si k est pair, et on change le signe, si k est impair. Conformément à cette remarque, il suffit de calculer la moitié des coefficients du covariant; les autres s'en déduisent comme nous venons de le dire. Par exemple, pour le covariant qui précède, le coefficient du premier terme étant

on remplace ao par aj, fti par a2 et réciproquement; ce qui donne

a^tto — 3a^a^a^ + 2al ;

c'est, au signe près, le coefficient du dernier terme.

Avant de terminer, indiquons la marche à suivre pour trouver les covariants du quatrième et du sixième degré relativement aux variables de la quartique

le premier étant du deuxième degré et le'^second du troisième degré par

rapport aux coefficients. Si on pose n = ^, 0 = 2, v == 4, il vient:

= 6, et le poids du coefficient de x. dans le covariant sera égal a 2.

11 faudra prendre

par l'équation différentielle, on trouve A= — i. Le premier terme du covariant est donc

(aoa.-, — a]) xl .

Il vient ensuite

Cl = { rfCo = { [4^1 («2) + 3»2 ( — 2ai) -\- 2as (ao)] = ^{aoas — at a2).

C, = 1 dC^ =14 [4a. (a^) + sft^l— Cl,) + 2a,(— a,)-\- ^,(^0)]

= i(2«,»3+^oCt4 — 3»2)-

Par l'échange des coefficients à égale distance des extrêmes, on déduit ensuite de Ci et de Co les valeurs

Cs = ^ (a^a^ — ^^3^2), C^ = ft^ttj — al»

Le covariant cherché est ainsi :

(«0», - a]) oc'l + 2 {a^a, — a,a,) xjx, + (2a^a^ + a^a^ — ^a\) x\x\ -\- 2 vtt.n^ — a^a^) x^xl + (a,a, — a\) x\.

Pour le second covariant, on a : v = 6, 0 = 3, = 9; par suite le

poids du coefficient de x\ sera égal à 3, et on pose :

car il doit être du troisième degré. L'équation différentielle conduit aux valeurs A = — 3, B = 2 ; donc,

On trouve ensuite,

Après le calcul de ces coefficients les autres s'écrivent immédiatement en échangeant les coefficients à égale distance des extrêmes; ce qui donne :

C^ = I (— «o^s^i + 3»4^aCt^ — 2a, aj),

Ce = 3a,c^5a, — a.aj — 2aJ,

après avoir changé les signes. Avec ces valeurs on peut écrire le covariant du sixième degré de la quartique.

Nous verrons plus lard que les expressions que l'on vient de déterminer et qui satisfont aux propriétés démontrées sont réellement des covariants.

ZtO. Tout invariant d'un covariant est un invariant de la forme primitive; de même, tout covariant d'un covariant est aussi un covariant de la forme.

Désignons par Co,c,, ...les coefficients d'un covariant cpde /"et par C«, Ci, ... ses coefficients après une transformition linéaire. Les coefficients c sont des fonctions de ao, «i, aj, ..., et les coefficients G des fonctions de Ao,Ai,Ai, .... Par définition, on a

cp(Go, Cl. ..., Xi, X2) == r'(p(co, Cl ..., xi, Xi), et, par conséquent, les coefficients G ne diffèrent des coefficients c que par

une même puissance du module. Cela étant, représentons par I (co, Ci, ...) un invariant de 9; à cause de cette propriété des coefficients c, on aura

I(Co, Cl, C2, ...) = r''I(co,c,,c,, ...).

Si on remplace maintennnt les coefficients C par leurs expressions en Ao, Al, As, ..., ainsi que les coefficients c par leurs valeurs en ao, ai, «2, ..., il viendra

I(Ao, Ai, Ao, ...) = rH{aQ, a,, as ...):

par suite, I est un invariant de f. On démontre de la môme manière la seconde partie de la proposition.

Nous avons trouvé pour le covariant du second degré de la cubique

{aoa^ — a\)xl + {a^a. — a^a,)x^x^ +(«/*3 —O'D^l^ le discriminant de cette fonction, savoir :

est l'invariant de la cubique sous une forme différente de celle que nous avons déjà rencontrée.