CHAPITRE III
MÉTHODES DIVERSES POUR LA FORMATION DES INVARIANTS ET DES COVARIANTS. APPLICATION AUX FORMES BINAIRES.
MÉTHODE DES INTERMUTANTS.
99 t. Si on résoud les équations
Xi = «iXi -\- «iX?,
Xi = (3iXi -|-|3aXj,
par rapport à Xi, Xj, on trouve
rXi = pjiPi — a2a;2, rX2 = — (SiiCi -j- «i^ai par suite,
dXj ^ aXs /}
r— - = /32 r-— = — p., aiPi ctxi
dXi dXi
r - — = — «2, r-— = ai.
aa^s aXi
D'un autre côté, si on prend les dérivées en regardant Xi et Xz comme fonctions de Xi et de X2, il vient
d d dK, d dXz
dxt dXi dx\ dXi dxi
d d rfXi . d dX'j
dx2 dXt dxi dXi dx2
ou bien
É=-;[Ks)+H-i:)l
s;~r["'(ffi)"'""(~H;)l'
c'est-à-dire que, abstraction faite du facteur -> les symboles ,
r dxi
rf , . d d
- — s expriment en et par les mêmes formules que les variables
dxi *^ dXî dX, ^
X2 et Xi. Si, par la transformation, f{xt, Xi) devient F(Xi, X2), l'expression
\dx2 dXiJ deviendra
r» \dXi dXxJ et l'on aura la relation
/ d ^ \ r^ff ^ -^ ^ \
\dXi' ~dXj~^ ' \Jx2' 'dxj' Donc, étant donnée une forme binaire /(a?i, ^172), l'expression
\dxi dxi )
qui s* en déduit en remplaçant xt par - — et X2 par — - — jouit de fa
dXi dxi
propriété de l'invariance.
On donne le nom à' inter mutant à ce symbole covariant. Nous allons montrer l'usage que Ton fait de cette formule. D'abord on peut s'en servir par rapport à la forme donnée. Si on l'applique à /", les dérivées étant de
Tordre 7i, on arrivera à un invariant. Par exemple, la forme quadratique
f= «o^î + 2a^x^x^ -\- a^xl donne la formule
'^ dx\ dx^dx^ dx'\
qui appliquée à /", c'est-à-dire, en prenant les dérivées sur /", conduit à l'expression
-la^a^ — ^a\-\-2a^aQ = ^{a^a^ — a\)\
c'est l'invariant de la forme multiplié par 4. La forme cubique
fournit l'intermutant
dxl dxldx^ dx^dx] dx\
En opérant sur /", on trouve
ôaotts — i8a,aî -]- 1802^1 — Sasa^'^ c'est un invariant identiquement nul.
En général, l'intermutant de l'ordre n
\dx2 dxij
appliqué à la forme elle-même conduit à un invariant du second degré par rapport aux coefficients qui est identiquement nul, si le degré n est impair. Lorsque n est pair, on obtient une expression où les termes à égale distance des extrêmes sont égaux; en les réunissant pour diviser ensuite par 2, cet invariant sera :
aoan — naittn-i -\ ^ azttn-t ^^ asûtn-s + • • •
n(r^-i)....P-fi)
+ ...±i ^ ^-al
On néglige le facteur numérique provenant des dérivations. Ainsi, pour les formes du quatrième, du sixième et du huitième degré, on aurait :
a^a^ — 8a,a, + 2d>a^a^ — sôa^a^ + 35a;.
Quand on connaît un covariant de /", on le change en intermutant et on opère ensuite, soit sur le covariant, soit sur f. On sait que la cubique possède le covariant
{a,a^ — a])xl -h (ao«3 — a^a^)x^x, + (a^a. — al)xl
qui donne l'intermutant
("»"'-'''' £f- ('^«"^ - '^■'^'^ di; + ^"•'^^ ~ "'^ d^ •
Appliqué au covariant lui-même, on trouve l'invariant de la cubique
4(ao«2 — a\) (a^a^ — a]) — (a,a. ~ a^a^)\
tandis qu'en opérant sur /", il vient
(a,a^ — a\) (a^x^ + a,x^) — (a,a,^ — a, a,) (a^x^ + a^x,) + (a^a. -^ al) (a,x^ + a^x^);
c'est un covariant identiquement nul. La forme cubique ne possède pas de covariant linéaire.
Les intermutants sont surtout très utiles pour les formes d'un degré plus élevé que le quatrième. Après avoir trouvé quelques covariants, on les change en intermutants pour opérer sur les formations connues ; on transforme encore les nouveaux covariants en intermutants, et ainsi de suite.
«««. Les intermutants sont aussi très utiles dans la recherche des covariants simultanés de deux formes. Soit, par exemple, deux formes quadratiques
f= a^x] -\- 2a^x^x^ -\- a^xl,
ft = ^«^î + 26,a;,a;, -|- b^x\, La première fournit l'intermutant
dxl dx\dx% ' dxl
en l'appliquant à la seconde, on trouve l'invariant simultané
{ttobi — 2aibi -j- 0260), après avoir divisé par 2 .
Pour deux formes de l'ordre n
ce serait :
aohn — naihn..\ -[-•• + «n&o.
Soit encore le système d'une quadratique et d'une cubique f= a^x] + 2axXiXi -j- a2x\y
L'intermutant fourni par la première
d« d» rf«
appliqué à la cubique donne le covariant linéaire
«0 (biXi -\- biX2) — 2»! (61^71 + boX2) -\- «2 (boXi -\-biXt) ou
(aobi — 2^161 -|- «260)571 -j- (aob§ — 2aib2 -\- a7bi)xt.
Celui-ci fournit l'intermutant
(aobi — 2aibi -|- â^2?>o) 3 (««65 — 2ai6j -|- aibt) - — »
dx2 dx\
et en opérant sur /", on arrive encore à un covariant linéaire, savoir :
[ôofti^» + sMo^i — bx {aoUi -\- 2à\) — b^all xi -\- [&o«j — 3&i«i«2 + b2{aoa2 -{- 2a]) — biaoUi'lXi,
Ces exemples suffisent pour mettre en évidence la facilité avec laquelle les intermutants conduisent à des covariants simultanés de deux formes.
MÉTHODE DES ÉMANANTS.
99S. Désignons par a?,, xa; 3/1, y 2 deux séries de variables qui se transforment par les mêmes formules, savoir :
xx = «iX, + ajXj, 3/1 = aiYi -|- «jYs,
a;, =p,X.+/52Xi, y, = i3,y,+p,Y..
On dit alors que ces variables sont cogrédientes . On en déduit
xx + hx = a, (X, + AY.) + a,(X, + AY,), X, + ly, = (3,(X, + AY,) + P2(X, + AY,);
I ce qui montre que les variables composées Xi -|- Aj/^, a?a -f- Aj/j se trans- 1 forment également par les mêmes formules en regardant Xi + ^Yi,
X2-I- AY2 comme les variables nouvelles. Donc, si la première substitution
dans une forme f{œ^, Xi) donne l'égalité
/■(iP„a?2) = F(X,, X,), [ on aura aussi
f(xx + At/,, a?2 + Al/,) = F(Xi + AT,, X, + AY2),
jl quelle que soit la valeur de la constante A. En développant pour égaler P ensuite les coefficients des mêmes puissances de A, on obtient les relations
df df , dF , , rfF
, ax\ dxi aX{. (1X2
En général, on a
Cette dernière égalité prouve que l'expression
jouit de la propriété de l'invariance; elle renferme à la fois les variables X et y et on doit la considérer comme un covariant à deux séries de variables. On l'appelle émanant de l'ordre p de f.
Considérons l'expression ((3) comme une forme d'ordre p relativement ^ 2/1» Vi, et soit
fd^f dPf \
^ \dx^^ dx^-^dx^ )
un invariant de cette forme. Si on transforme les variables yi, y», la fonction (|3) deviendra, je suppose,
AYP+;>BYî-'Y, + ...
et l'on doit avoir
Or, à cause de l'égalité (a), les coefficients A, B, ••• sont tels, qu'en transformant Xt et iPj, ils deviennent
et, après cette seconde transformation, on aura
par suite, l'expression du second membre est un covariant de f. Par conséquent, tout invariant d'un émanant considéré comme une fonction de y\, yt est un covariant de la forme,
9*^4. Nous allons montrer par quelques applications l'utilité et la fécondité de ce principe. Considérons d'abord le second émanant
dxidxi ^ dx\
par rapport à la cubique
f = aox\ + S^^iarjxî + 2>^iPCxx\ 4- dixl. Si on remplace les dérivées par leurs valeurs, il vient :
y\ («oXi + fliXa) + 2yxyi («iX, -f- «2X2) + yî («a^» + «5X2), en négligeant un facteur numérique; cette expression est une forme quadratique en 2/1 ♦ y 2 qui admet comme invariant son discriminant^ savoir :
(floXi -\- axXi) {UiXi -j- «3X2) — {ttiXi + UiXi)* ou
(flo«2 — a J) acj -|- («0^5 — «i«2) a;iX2 + (â5i«i — a|) xj .
Cette fonction des coefficients et des variables de /"jouissant de la propriété de l'invariance est un covariant de la cubique. Appliquons le même émanant à la quartique
f = aQx\ + ^atx]xi -(- 6aix\x\ + 4tf»xix J -4- ^*^i >
on trouve, en divisant par 12.
(a»xj -f- 2^1X1X2 + atxl) 2/f + 2 {atx] -|- 2 ajXiXt -f- ««xj) yij/t
Le discriminant de cette forme, c'est-à-dire,
{aox] -\-zaiTiX2-{'a2xl) {a2x\-{- zasXiX2-{-akxl) — (atx]-{'2a2»iX2-\-aixly, ou bien,
ia,a^ — a;) ar* + 2 {a^a^ — a^a^) x\x^ -\- {a^a, + 20. ^a^ — 3»*) x\x\ H- 2 {a, a, — «,«3) a;,a?5 + (a^a, — a\) x\
est un covariant du quatrième degré de la quarlique.
On pourrait continuer à opérer avec le môme émanant sur les formes d'ordre plus élevé et l'on trouverait chaque fois des corarianls de ces formes.
Considérons encore le quatrième émanant
ou
pour l'appliquer à la quintique
f= aQX^^ + 5^i^î^2 + loa^x^^xl -\- loa^x^xl -j- sa^x^x^ -\- a^x] ; il viendra
y\ {%Xi + f^i^i) + ^y\y2 (*i^i + «.2^2) + ^y\y\ K^a + ^^s^s)
C'est une quartique relativement à y\ et yt; or, la forme /■=ao^J -\- •••, possède r invariant
si on remplace les coefficients par ceux de l'expression précédente, on trouve
[aiXx-\--aiXi){a^Xx-\-aiX2) — à^{axXi-\-a2Xt) {aiXi-\-akX2)-\-^[o,i^\-\-(''i^iY ou
C'est un covariant du second degré par rapport aux coefficients et aux variables de la quintique. On en déduit immédiatement un invariant du quatrième degré de la même forme, en formant le discriminant de ce covariant ; ce qui donne
c'esl-à-dire,
Appliquons encore le même émanant à la sextique
on trouve
+ ôi/Jy^Ka;' + 2a^x^x^ + a,^J) + 42/, 2/5(^30?^ + 2a^x,x^ -\- a^x\)
+ 3/î {<^A + 2«5X,x, -f «6^j)- On en déduit, comme tout-à-l'heure, le covariant du quatrième degré de la sextique
{a,x] 4- 2a, X, a;, + a^x\) {a^x\ + 2aj^x^x^ + a^x\) — 4(a,xî + 2a^a:,x, + ft-xj) (a^xj + aa.x.x^ + ft^xj) + 3(<^2^î + 2a5X,x, + ft,x^)% ou bien
K^, — 4«.»3 + ZK) ^; + 2 (^0^5 — 3»,^^, + 2«2a3)arîx,
+ K^e — 9û^2»* + 8al)^'^2 + 2 (a^fte — S^^a^^s + 2»3ajx,x^
I/invariant du second degré par rapport aux coefficients de ce covariant
fournit aussi l'invariant du quatrième degré de la sextique; sa valeur est :
+ 2a^a^a.a^ — 2a^a^a,a^ + 2a^ala^ — 2a^a^al — ala^ -f 2ala^a^
+ alal — 3«2f*3^i + ^5- !t95. Les applications précédentes consistent à remplacer dans les invariants
les lettres par les coefficients différentiels; ce qui donne
dx\ dx\ \dx^dx
dx\ dx\ dx\dx^ dx^dx\
\dx]dx\/
La première expression constitue une formule covariante pour toutes les formes à partir du troisième degré, et la seconde pour toutes les formes à
partir du cinquième degré. En général, d'après la nature de l'émanant, tout
invariant d'une forme conduit de la même manière à une formule covariante
pour les formes d'ordre plus élevé.
Supposons que le degré n de f soit impair, et posons : p = n — i.
L'émanant
\ ' dxt dxi)
doit être considéré comme une forme binaire d'ordre pair par rapport à 2/1» 2/1 qui admet toujours un invariant du second degré; les coefficients
da?*""' dx^'^dx^
etc.
étant des fonctions du premier ordre en Xi et X2i le covariant correspondant est du second degré. Donc, toute forme binaire d'ordre impair possède un covariant du second degré par rapport aux coefficients et aux variables.
Posons encore : p = n — 3; chaque terme de l'invariant renfermera les dérivées de l'ordre n — 3 qui représentent des fonctions du troisième degré en Xi et X2 ; l'émanant conduit, dans ce cas, à un covariant qui est toujours du second degré par rapport aux coefficients, mais du sixième degré relativement aux variables, c'est-à-dire, du degré 2n — 2p. Ainsi, en général, une forme binaire d'ordre impair admet une série de covariants du second ordre par rapport aux coefficients et du degré 2n — 2p par rapport aux variables, p étant le degré de l'émanant.
Tous les covariants ainsi obtenus constituent des formes d'ordre pair ; ils possèdent un invariant du second degré par rapport à leurs coefficients et, par conséquent, du quatrième degré relativement à ceux de la forme primitive. Ceux-ci donneront lieu à des formules qui seront la source de covariants du quatrième degré par rapport aux coefficients. On peut faire un usage analogue de ces derniers, etc.
936. Le rôle de l'émanant que nous venons d'étudier dans les formes binaires est le même pour une forme à un nombre quelconque de variables. Soit, f(XiX9i ..., Xk) une forme à k variables et
Xi = aiX| -j- a2X2 -{- "* ~1~ ^kXk.
X, = (3,X. + (3,X, -{ }- ^kXk,
Xk = A|Xi -|- A2X2 -h • • • "1~ ^*^*»
les formules de transformation linéaire. Si yi, ?/», ..., yk représentent une seconde série de variables qui se transforment par les mêmes formules, il en sera encore ainsi pour la suite
^1 + ^yi> ^i + ^y« ••• Xik + Ay*,
et l'on doit avoir l'égalité
f{x, -{-ly,,x^-\-lyi, ...) = F(X, + AY|,X, + AY,, ...),
d'où résulte la formule générale
d X" 'dxj '
elle exprime que la fonction du premier membre jouit de la propriété de l'invariance. Tout invariant de cette expression considérée comme une forme d'ordre p relativement aux variables y sera un covariant delà forme primitive. Le raisonnement est identiquement le même que pour les formes binaires. Soit, par exemple, le second émanant
\ ' rfxi dx2 ^ dx%)
pour une forme* à trois variables. En le développant, il vient :
y^-TZi + y
Ux':'^'"'dxi
Vz
dx\
dxtdx2
