yxy
dxidx
dxidxi '
c'est une forme quadratique relativement à y i, ?/2, 2/3; elle admet, comme invariant, son discriminant, c'est-à-dire,
dY d'f d'f
dx\
dx^dx^ dx^d^^
dx^dx^^
dx\
dx^dx..
dx^dx^^ dxAx^ dx]
Ce déterminant sera une formule covariante pour toutes les formes ternaires d'ordre plus élevé que le second; on l'appelle Hessien de f.
Un déterminant semblable existe évidemment pour la forme générale à k variables.
En second lieu, étant données trois formes ternaires f, 9, ^J^, écrivons les premiers émanants relativement à chacune d'elles :
df , df df
dx\ dxt dxs
rfcp
dxi d^
dcp di)
ctxo dxs
dxi dx2 dxs '
ils forment un système de trois fonctions linéaires homogènes relativement à Vif y»^ Vs', leur déterminant est un invariant simultané de ces formes; donc l'expression
df
df
df
dX]
dx2
dxz
dcp
dv
dxi
dXi
dxs
rf^
dxt
dxi
dXi
qui renferme les coefficients de /", cp et (J; ainsi que les variables sera un covarianl simultané de ces formes. On l'appelle Jacohieti ou déterminant fonctionnel de /", 9, vj>. Nous aurons l'occasion plus loin d'étudier les deux formules précédentes qui constituent à elles seules une méthode facile pour la recherche des invariants et des covariants.
METHODE DES EVECTANTS.
•181. Si l'on représente par Xx et xa, yi et y» deux séries de variables cogrédientes, les formules
Xi = «iX, -j- ajXa, 2/1 = aiY| -j-aaYt, a;a = (3.Xi + |3:X2, y, = |3,Y, + p^Yi,
SI
donnent la relation
a?iî/2 — X2y\ = r(X|Yj — XjY,);
par suite, lorsque /"(iCi, X2) devient, par la transformation, F(X,, Xj), l'expression
f{xx, X2) + ^.(^i2/« — x^yxY se changera en
F(X., X2) + Ar»(X,Y, — XaY.)»,
et quel que soit X, on aura l'égalité
A-»" ^0 + M^'2/2 — ^ty^r = F(Xi, X,) + ;t" (x,Y2 — X2YO".
Si on développe les deux membres, on trouve
{a.+^y\)x\+n{a,''ly\-'yi)x^r'^^-{-''^'^^^
= (Ao + /r''Y5)X'; + n(S.x - Ar^Y^-^YOXl-'Xz + ••• .
Cela étant, désignons par 9(^9, a^ a», ...) un invariant de /*. On aura
(p(Ao, A,, ...) = r*(p(ao, ai, ...)•
En prenant l'invariant 9 pour la fonction du premier membre de l'équation précédente, il vient aussi
(p(Ao + Ar»Y5, A, — Ar''Y;-'Y,,...) = r''(p(ao + ^y^ a.— Ay^-'y^, ...),
et cette relation doit avoir lieu quel que soit A; développons les deux membres et égalons les coefficients de la première puissance de 1. On aura
r»* J Y» ^ Y^-ïY ^ 4- Y«— 2Y* ^ ... -^- Y« ^ I
"^ V MAo ^ '(/A,^ * «dA, ' dAj
. / rfî> (i(p , . d(p c^? \
V Mao ^' ^*rfa, ' ^* ^*rfa, ^* dan/
Si on divise par r", on voit que, par définition, la formule
d(p dm d-p dcp
dao dai dai ' dan
jouit de la propriété de l'invariance. En égalant les coefficients de /', on arriverait à la même conclusion pour l'expression
Il en résulte, qu'en remplaçant y\ et 1/2 par X| et X2, on obtient la formule covariante
\ Mao (ia, ' rfdî ' cia,/
ou bien, en écrivant suivant les puissances décroissantes de x,,
/ ^d V' da„
d , , rf d \p
dan-i dttn-t daoj
Cette expression se nomme évectant de l'ordre p de la forme /"; elle donne immédiatement un covariant au moyen d'un invariant cp de f. Comme application, soit d'abord la forme quadratique
f ^ aox] + 2a,x,x2 -J- ^2^2 qui possède l'invariant
Le premier évectant
