X. — X.Xa ~ p Xa
dai dcii dao
conduit à
c'est la forme elle-même.
En second lieu, prenons l'invariant de la cubique
Tévectant
'da, ' «da,^ ' *d«, *d(lo
donne le covariant du troisième degré de cette forme :
(ala. — 3ao«,«« + 2»;) xf + 3 («o«,«3 — 2«û«? + «>2) ^?-^a + 3 (2fl>3 — «o^s^^ô — ^i^l) ^1^2 + (3«.«2«.-i - «0^1 — 2«,') a;' En troisième lieu, on sait que la quartique admet les invariants
aoa« — ^aids -\- ^al
L'évectant
da^ ^ das dai dai dUo
appliqué aa premier ne fait que reproduire la forme elle-même; mais, si on opère sur le second, on arrive au covariant du quatrième degré de la quartique que nous avons rencontré précédemment (N* 224).
En quatrième lieu, au moyen de l'invariant du quatrième degré de la quintique (N" 22i), Tévectant
* dai ^ *da, ' das ' Ma2 ' * ' dai da»
conduit au covariant du cinquième degré de la quintique :
— 38a,a,a, 4-72a,aJ- 32ala^)x]xl + (— 2aoa.^a^ ~ Sa.al — i2a,a^a^ -\- 36a^a.a^ + 7^»î«^* — i^^t^a^jx^x^ + ( - Sf^o^^a^ + i6a, a^a, + ga^^
— 6a]a^ —38^,^3», +24a^)a;,a7;+ ( - a,al-j-sa^a,a^ — 2a^a^a^ - 8fl,a;
En cinquième lieu, l'évectant
dv dv ^ ^d-p rf:p rfcp ^9 , rfq?
*da6 das da^ das dat dai ' da^
appliqué à l'invariant du quatrième degré de la seitique (N" 224) donne le covariant du sixième degré de cette forme, savoir :
{a,afi,-\-2a,a^a^ -a] —a^a. — a.aDx^, + ( - 2a\ + 2a,a,a, + 2a, aj
— 2ala.-{-2a,a,a^-\-2a,a^a^)x]x^-]-{2ala^ — 2a^a^a^ — sa^al-]-af,a^a^ + 2a,a^a,sa,al + \a^a^a,—a]a^)xlxl-{-{—j^al+^a^a^a^+6a^a^a,
— 2a ^a a^ — 2a\a^ —2a, a* '-2a^a^a^-\-2aQa^a^x\x\-\-{2a^a\ — 2a^a^a^
— 3aX + »oa,a6 + 2aia,a8 — 3a*ae + 4a,a3a5 — aoûtI)^>î + ( — 2ajOj + 2a^a^a^+2ala^ — 2ala^^2a^a^a^-i-2a^a^a^)x^xl-\-(a^a^a^-\-2a^a^a^
MÉTHODE DU HeSSIEN ET DU JaCOBIEN.
t099. Étant donnée une forme fkk variables, le second émanant considéré comme une forme quadratique relativement aux variables y possède
un invariant qui est son discriminant; en le désignant par H, on a
rfy d'f
dx] dXidxi dxidxt
d'f d'f d'f dxidxi dxl dXidXi
dx\dxk dx^dxk
d'f d^f d'f dxkdxi dxkdx2 dxkdx%
dxl
Ce déterminant est le covariant Hessien de la forme donnée; si n est le degré de/", celui de H sera k{n — 2) ; son degré par rapport aux coefficients est égal à l'ordre du déterminant. Le covariant Hessien est facile à obtenir; c'est toujours un des premiers à considérer dans l'étude d'une forme.
Pour une forme quadratique
les dérivées secondes se réduisent aux différents coefficients de la forme en négligeant un facteur numérique, et l'on a
a\\ (i\2 ... (i\it 0>%\ dit 0,2%
«Il ait ••• o,ii
flkl ttlj
dkh
Le Hessien est donc égal au discriminant.
Considérons seulement le Hessien pour les formes binaires. Soit d'abord la cubique
/•=: a.x\ + l(i,x\x^ + 3c^i^*^î + <^5^l- En laissant le facteur 6, on aura
ttiflCi •\- atXt aiX\ -\- Q>3Xi
ou
H — (atXi + atXi) [atXx -\- OjXj) — (oiXi -f- ajxt)',
c'est-à-dire,
c'est le covariant du second degré de cette forme. Appelons H' le Hessien de H; on aura
H' == 4(«o«, — c^î) («i^s ~ ^l) — (»o»8 — <ïiS)'»
c'est-à-dire l'invariant de la cubique.
Pour la quartique
f= a^jxj + /\.a^x]x^ -\- ôa^x^xl -\- ^a^x^xl -)- «4^^, il vient
H == a^x] -{- 2a^x^x^-\- a^xl a^x] -\- 2a^x^x^-\- a^xl a^x\ + 2ajX,x, + ft^xj a^x] + 2a^x^x^ + a^^ = (ttoac* 4- 2a^x^x^ -f a,xî) {a^xl + 2a3X,X2 + a^x|) — {a,x] -\-2a^x^x,-{-a^xlf;
en développant, on trouve
(ao«, — af)a;; + 2(00^3 — a^a^)x]x^-{- {a^a^-^- 2a^a, — ^al)x]x^, + 2(a^fi^ — a^a^)x,xl + (a^a^ — a^)x;.
Pour la forme canonique
f=x\+xi + 6}.xy,,
il se réduit à
x] -\- Ax' 2Ax,x, 2AxjX, xl -j- AxJ
ou
II = A(x;+x*) + (i-3A>?x
En posant
on peut prendre
H=xî + x;-f 6A,x^x^
Si Ton calcule le Hessien H' de H, on arrivera à une expression de la même forme :
H' = x; + x; + ôAjxJx^,
de sorte qu'en éliminant acj -f- xl, acjx* entre les expressions de ces trois fonctions, il vient :
Cette relation prouve que le Hessien du Hessien d'une quarlique peut s'exprimer au moyen de /" et de H comme suit : H' = a/"-)- j^II, a et (3 étant des constantes.
Nous aurons l'occasion de considérer le Hessien dans les formes binaires d'ordre plus élevé; nous allons maintenant démontrer une propriété générale de ce covariant.
1699. Supposons que la forme binaire f se réduise à une puissance exacte :
Il vient, dans ce cas, pour les dérivées dx I lix .,
rfy
dxidxi
= n{n — i) bibi {biXi -{- &2a;2)"~*;
par suite
H = w« (?^ — i)* (6,a;, + biX»)*^''
b] hfi.
Le déterminant facteur étant égal à zéro, le Hessien est identiquement nul.
Réciproquement, quand le Hessien d'une forme est identiquement nul, elle doit être une puissance parfaite. Nous allons le vérifier dans quelques cas particuliers. D'après la valeur trouvée, si le Hessien d'une cubique est identiquement nul, on doit avoir les relations
a^a^ — «î = o, tto^s — ft^a, = o, a, a, — a\=o.
Or, les dérivées étant
df
df
dxi
dx2
la première et la troisième relation expriment que ces dérivées se réduisent à un earré; ce qui exige que la forme primitive soit un cube.
De même, si le Hessien de la quartique est identiquement nul, on a
^0*1 — aj = o, a^ft, — a^a2=o, a^a^ ~\- 2a^â^ — 3^^ = o, a^a^ — a^a^ = 0, Ces relations expriment que les dérivées
al = o.
df
se réduisent à des cubes; par conséquent, la quartique doit être une quatrième puissance. En allant ainsi de proche en proche, on vérifie l'exactitude de la proposition énoncée.
«30. Covariant Jacobien. Nous avons vu (N<> 225) que le Jacobien de plusieurs formes est le déterminant formé avec leurs dérivées premières par rapport à toutes les variables. Soient /*et 9 deux formes binaires de Tordre n et J leur Jacobien. On aura
dxi
EL
dxt
d(p dxx
dx2
Le déterminant J est un covariant simultané de / et de 9 dont le degré est 2 (w — i). Il jouit de la propriété spéciale de se reproduire, si on remplace /"et 9 par des expressions linéaires de ces formes. En effet, cherchons le Jacobien des fonctions composées
A, ^, A', ^' étant des constantes quelconques. Il a pour expression
df d'p
dxi dx{
df d^)
dXi dxi
dXi dxx
c'est-à-dire,
dx\
Ji
dXi
dxi
d(p dxt
dXi
Le Jacobien reste donc invariable dans ces conditions, abstraction faite d'un facteur qui dépend seulement des constantes des fonctions composées. On donne le nom de combinant à un covariant qui jouit de cette propriété.
Supposons que les formes /"et 9 aient un facteur linéaire commun de telle sorte que leur résultant R soit égal à zéro. D'après une propriété des déterminants, on peut écrire
df
df
dx\
dx2
di)
dxt
dx2
par su
ite,
df df
dXi 0x2
df
dx2
dcp dx dXi dx2
dx2
di)
dx2
\ dxi dxîj
dxij
En opérant de la même manière sur la seconde colonne, on trouve aussi
\ dxt I
Il résulte de ces expressions que le Jacobien s'annule en même temps que f et (p. Si l'on prend la dérivée de (a) par rapport à xt et celle de (p) par rapport à Xi, il vient encore
dJ___ / d'f d*(p \ dXi \ dx] dx])'
les premières dérivées de J s'annulent encore avec feicp; le facteur linéaire commun à ces fonctions doit se trouver au carré dans J. On a donc cette proposition : Lorsque les formes f et (d ont un facteur commun, le Jacobien renferme ce facteur au carré. Le discriminant de J doit donc s'annuler en même temps que le résultant R de /* et de 9. Remarquons encore que Ton a :
df
dxi
dxi
df
dxt
dtp dxi
dxi dxt dx2 dx»
df dxi
df dXi
et si la fonction composée f-\-k^ renferme un facteur linéaire à une puissance /i, le Jacobien doit renfermer le même facteur à la puissance h — i ; car la première colonne contient les dérivées de f-\-k(p dans lesquelles le facteur entre à cette puissance.
931. Le déterminant fonctionnel ou le Jacobien est extrêmement utile, lorsqu'on veut dresser la liste des formations invariantes d'une fonction homogène donnce. Après avoir déterminé par d'autres méthodes quelques covariants, on les combine entre eux ou avec la forme elle-même pour former des Jacobiens; on arrive de cette manière, par une règle commode et facile, à d'autres covariants. Ainsi pour la cubique, après avoir calculé le Hessien
H = (a^a^ — a])xl + {a^a^ — a ,fl,) x.x^ + (a^a^ — al)xl, on cherche le Jacobien de /" et de H qui est, à un facteur numérique près,
a^x] -\- 2a^x^x^-\-a^xl a^x] -\- 2a^x^x^-\- a^xl 1
2(ao«2 — ^î)^i + (^0^3 — ct,a,)a:, (a^ag — a^a^)x^ -\- 2(a^a^ — al)x^ \ et l'on trouve le covariant du troisième degré de la cubique dont nous avons déjà donné la valeur précédemment.
De même, pour la quartique qui possède le covariant du quatrième degré
H = {a^a^ — aj)xj -f 2{aç^a^ — a^a^)x]x^ -f {a^a^ + 2a^a^ — 3al)x]xl + 2{a,a^ — a^a,)x^x\ + {a^a, — a\)x\,
le Jacobien de /" et de H :
df du df m
dx\ dxi dxi dxi
fournira le covariant du sixième degré de cette forme.
Le Jacobien est surtout indispensable dans l'étude d'un système de formes. Il donne immédiatement des covariants du système comme nous allons le montrer par quelques exemples. Pour deux quadratiques
f= a^x^ -\- 2a^x^x^ -\- ^jXj, (p = h^x\ -\- 2b^x^x^ -\- h^x\f
le Jacobien fournit le covariant simultané
cbiXi>\- aiXT. cb\X\ -\- a^Xi
Pour le système d'une cubique et d'une quadratique :
le Jacobien a pour valeur
{aQx\Ar2axXxXi-\-a^x\){hxXi-\rh2X2)—{aix\-\-2a2XiX2-\-ctix\)(hisXi-\-hxXi) = (ajji — axhQ)x\ -\- («0^2 H- «i&i — 2a2bo)x'\xi -\- {2aih2 — «afei — asbo)xixl -\- [atbi — «561)0:2.
Il est inutile de multiplier les exemples. Les applications qui vont suivre mettront suffisamment en lumière le rôle important du Jacobien dans la théorie des formes.
