APPLICATION AUX FORMES BINAIRES

Z99. Nous nous proposons d'appliquer les méthodes précédentes aux formes binaires des six premiers degrés pour arriver à leurs invariants et covariants indépendants; tous les autres que l'on pourrait encore obtenir par un procédé quelconque s'expriment rationnellement au moyen des premiers. Nous désignerons par C;^.^ un covariant du degré A par rapport aux variables et du degré ^ par rapport aux coefficients. De même I^ sera un invariant du degré |M,.

a) Forme quadratique :

f = ttox] -\- 2atXiX2-\- ttixt.

Elle n'a pas de covariant; le seul invariant qu'elle possède est son Hessien ou son discriminant :

b) Forme cubique :

f=aox\-\-^aix]xi-]-^a2Xixl-\-asxl.

Elle admet deux covariants, l'un du second et l'autre du troisième degré relativement aux variables. Le premier est son Hessien :

Cç,,, = («o^a — a])x] + {a,a. — a^a^^x^x^ + (a^a^ — a\)x\.

Le second est le Jacobien de /"et de €2,2; sa valeur est :

C5,3 = (fljfls — ^a^axai -\- 2a'\)x\ -\- ^{a^aiat — 2aoa| + à\a2)x\x2 -f- 3(2aîaj — aoa2ai — aial)xixl -\- {^ata^as — aoa\ — 2a\)xl.

Son invariant est le discriminant de d,», c*est-à-dire,

c) forme quar tique :

Le Hessien est un covariant du quatrième degré :

C,,t = (a^a^— a^^) x]-}- 2{aoa^— a^a^) x^^x^-\-(a,a^ + 2a^a^ — sa]) x]x\ -i- 2{a^a^ ~ a^a^) x^xl-hia^a^ — al) x^.

Ensuite le Jacobien de f et de C*,» fournit l'invariant du sixième degré :

+ 5K<^i«» — 3«o«2«3 + 2a;aJ x*xl -\- io{a\a, — doaDx^xl

+ (3«2<Ï3«* + «««î — 2flJ) xj.

La quartique possède deux invariants fondamentaux, l'un du second et l'autre du troisième degré. Le premier s'obtient en transformant f en intermutant et en opérant sur la forme elle-même; le second résulte de l'application du même interrautant sur C«,2 ou le Hessien. Ce sont :

Ij = flo«4 — 4«i«3 + 3«a»

Ig = Af^a^a^ — a^al — a^^a^ — 2a^a^a^ — a].

Le discriminant est ausssi un invariant, mais il n'est pas indépendant; on sait que

d) Forme quintique :

f=s a^x\ -\- S(ixx\x^ -\- ioa^x'\x\ -|- ioa^x\x\ -j- S^i^x'^i H~ ^i^\' Formons d'abord le Hessien qui sera un covariant du sixième degré relativement aux variables :

(i) C6,a==(floa2 — a*)x®-j-3(aofl5 — ai«a)a:5x2 + 3(aofl4+^'^5 --2fl5)xja;î 4- («ofl» + 7*1^4 — 8a»as) x\x\ 4- 3 {aia^ -f- «ta» — 2a\) xjx} + 3(«2ai — aia^) x.xj + («»«» — a\) x\. Soit le quatrième émanant

C'est une fonction du quatrième degré en j/i, yj, ayant pour coeflicients les dérivées quatrièmes; elle admet un invariant du second degré qui fournira un covariant du second degré par rapport aux coefficients et aux variables; son invariant du troisième degré donnera aus^i un covariant du troisième degré relativement aux coefficients et aux variables. Ce sont :

(2) Ca,i = {aoa^ — 4^1(13 + 3«|) ^] + (<*oaj — 3^»«* + 2a,at) X|Xt

(3) Ci,j=^(«oa2«4— aoaj — a?a4-l-2a»ata5— ûj)xJ+(ûo«2«5— aoa«fl« — «Ja, -f- aittiak 4" ^1^1 — O'ici't) ^î^« + (doUtai — a^a\ — aiatUs -|- diUtak + alUi — Utal) xix] -\- {aidiUs — a»aj — alus -f 2aja5a* — a]) x].

Une forme cubique possède un covariant du troisième degré relativement aux variables et aux coefficients; formons ce covariant pour Cf,i; il sera du 9* degré par rapport aux coefficients de la quintique. On trouve

(4) ^5,9 = (gala^a^al-i- 2ialalal-{- ySaldgalal-^ ^Sala*ai+ galaïa^a]

— iÔ2ala]a^al + ggalaxa%ala\ -{ ) x^ 4

Nous ne voulons pas écrire tout le coefficient de x^ à cause de sa longueur; il renferme à lui seul 93 termes.

Avec les formations précédentes, on peut trouver les co va riants des différents ordres par rapport aux variables. Cherchons, en premier lieu, les covariants linéaires. Si on transforme Ca,3 en intermutanl pour opérer sur Cs,t, on trouve le covariant linéaire Ci, 5; en l'appliquant à C|,», il en résultera le covariant C|, II. Changeons C|,5 et C|,h en intermutant pour opérer sur C|,t ; on trouvera encore deux covariants linéaires Cj,t, C|,ij. On a :

(5) Ç.t^i={a\aia\ — 2a\aia^ai-\-ala\ — aoa]a\ — ^ttoaiata^as-i- Saoaia\as

— 2aoaia$al — 2aoa\aias -\- i^aoala] -J" 22aoa2alaA + gdoal + 6a]akCi»

— i2a\aiatat— î sa](i2(il-{' ioa\ala^-\-6aialag-{- 3oaiaî[a»a« — 2oaiatal

— isa*^a^ + loalal) xi -]

(6) C,,T = {ala2a\ — ^a]aia,al + s^lala^ + •••) a?t H

(7) Ci„i = (— ala\ata\ + a^alalal + ja^diala^al + '--)xt-\

(S)Ci,n^{—2alalaial-{-2a]alalal -f loala^ala^al -\ ) x, -]

Le second terme de Ci,s se déduit du premier par la loi de symétrie. Le coefficient de X| dans Ci,» renferme 49 termes, dans Ci,ii, 177 et dan* Ci,u, 306.

Passons aux covarianls du second ordre relativement aux variables. Nous avons déjà Co,»; on en trouve un autre en formant le Hessien de €5,1; c*est ;

(9)C2.6-=(- alalal— 2alalal -f- S^o^i^s^^^s— i^J^'ûs— 5(^oa]a^a^a^

— 3^2^* — 4«,ûja? + 2«5«? + 2afa^a5 — a\al — «X) a^! + • ••

Le Jacobien de ce dernier et de Cï,2 sera aussi un covariant du second ordre, savoir : ,

(10) C.2,H = {—ala\al + 6ala,a,a,al—iala,ala^ + ")x^^+ .••

Le coetïicient de xj renferme 65 termes.

Nous avons déjà deux covariants du troisième degré relativement aux variables; ce sont : C3 3 et Cj^g; on en trouve un troisième, en calculant le Jacobien de Ca,2 et de €5,3 ; c'est :

(I i) €5,5 = (a\a^a,a^ ~ 3a'«5«5 + ^^l^^s^l — «o«;«*«^5 + H«ofl,«2«3«B

— I lUoa^a^al— a^a.ala^— 9a^a\a^-\- i^a^a\a^a, — 6a^a^a\ — ^a]a^a^

Atin d'obtenir un covariant du quatrième degré, transformons €2,» en intermutant pour l'appliquer au Hessien €6,2; on trouve ainsi

(12) C4,, = {a\aM^ — 3«o«,«2«5 — 5«o«,«3^4 + ioaç,a\a^ — ^a^a^al

Le Jacobien de ce dernier avec Gî,a sera également un covariant du quatrième ordre; sa valeur est : •

(13) G«,6 = (— ala^, + a'iala^ + 3«o«»«2^5 "f ^<^i^z^,^5 — 5«>i«» — Salala^al^ -j- 2ala^ala^ ~\- i2ala^a.al — ôala^a^ — 2aoa]al

— 2aoa]a^a,a^ — ôa^a^alar, + i^a^a^a-a^ + 2oaoa^ala.a^ — ^a^a^a\a\

— S2aQa^a^a\a^ — 2^aQa^a\ — gtio^^t^i — ^^^oK^ô^k ~ lo^o^^î^s + àa\a^a^ — 1 2ala^a.a^ — i sa^a^a] — loflja'a^ — 6a'\ala^-{'^oa'lala^a^

On arrive à un covariant du 5* ordre en formant le Jacobien de Cj,2 avec la quintique. C'est :

(14) C»,5 =(alcs — 5aûaia* + 2aoaias -\- 8a?aj — 6a,a|)xî -\- ••••

De même, le Jacobien de la quinlique et de Cj.t fournit un covariani du cinquième ordre. On a

(15) C5,7 = (ala.a^al — 2a^a,a>, + lalala^a^ — ala,a\ — ala]a^al

4- 2a\a,a\a\ + i6ala\a,a^ — 2a\a\ala^ — iSaJa-^iJ + iW,a^a\a,

— 9(^\0'\ + S^o^^aC^s + 2aoa>3a4«^6 — i2ftoaJaJ — 2^(i,a]a\a^a^ + 52aoa!a2a5*6 + yaoûl^attsa' — 22aoa!a3a, — S2a^a^a\a^a^

-\- 34^0», a^aj -f- d>aQa^ala\a^ — a^a^a^a^ -\- i^a^a\a^ — 2saoa'las(f'4

-\- loa^alal — 2a]al -\- ioa\a^a^a^ — 28a\ala^ — ^oa^a^a] -\- ^2a]a\a^a^

— 35«î»2< — 5o»iV|a, +3oaJa* — i2aJ«*«6 + 7oa'aX<^,

— 40aJaJ4 — isa^a^a^ + loa^^aDx] -]

On obtient un covariant du sixième ordre comme le Hessien par le Jacobien de €2,2 et de €5,2^ c'est :

(16) Ce,* == {ala^a^ — ala^a^ — a^a^a^ — 2aQa^a^a^ -j- ^a^a^al — a^a\a^

Il existe aussi un covariant du septième ordre; c'est le Jacobien de C^,* et de la quintique; sa valeur est :

(17) C7.5 = {ala\a^ — Sa^^V, + 3»;^! - ^a,a\a^a^ + S^^o^îas»*

+ Sû^oû^iC^aa* — 7»oai V^+c^ofi^sa3 + 2a>5 — Saja^a, — 2a\al + 8a\a\a^

Enfin, il existe encore un covariant du 9' ordre; c'est le Jacobien de la quintique et du Hessien Ce, 2. On a

(18) C9,5 = («X — 3aoa,a9 + 2a\) x\ -\

Nous n*avons écrit généralement que le coefficient du premier terme d'un covariant; on sait que tous les autres peuvent s'en déduire.

Il reste à faire connaître les invariants fondamentaux de la quintique. Il y en a quatre des degrés 4, 8, 12, 18 dont les poids {{nB) sont respectivement 10, 20, 30, 45.

Le premier \^ est l'invariant de la forme quadratique C2,«; sa valeur est :

I» = — ala\ 4" ioflo«i«4â!5 — 4flo«2^5<3^5 — làttoUial -\- i2aoala^

— lôaîajfl» — <^a\a\ -\- \2a\a\az + "j^axa^a^ak — ^^^a^aX — \8a\aK

Le second 1$ se déduit du co\ariant C,,, en prenant son invariant du second degré. On a :

+ «o'«î«X5 — 5^>iK^l H

Il renferme 68 termes.

Le troisième In est le discriminant du covariant C|,5. On a :

Ii2 = - ayy^al + 2alala.alal — a^lalal + 6a>,a^a,aJ

- lôaJa^aJaX + i4c^Jc^9*3«>» H

II contient 228 termes.

ËnfiD, rinvariant lis est égal à Pinvariant cubique du covariant C^.e- On a :

1,8 = ay.al — salayy. + ioaJa^<a^ - icaja^»^

Il contient près de 900 termes.

e) Forme sextique :

Commençons la liste des covariants par le Hessien ou le déterminant des dérivées secondes. On trouve le covariant du huitième ordre

+ 4(»i»6 + 4»*^6 — 5(^,o,a)K^\ + 2(3^3^6 + ^«3«^5 — 5^î)^?^5 Si Ton considère le quatrième émanant

(^'dî;+^'d^.y^'

son invariant du second degré donnera un covariant du quatrième ordre et du second degré relativement aux coeflicients, tandis que son invariant du troisième degré correspondra à un covariant du sixième ordre et du troisième degré par rapport aux coefficients. Ce sont :

(2) C»,, = (ttott, — ^a^a^ + za\)x\ -\- 2(a^a^ — i,a^a^ + 2a^a^)x]x^

(i) Ct,, = {a^a^a^ -\- 2a^a^a^ —a\ — a\a^ — O'^c^D^] -{

Voir N» 226,

Formons le Hessien de €4,2; il en résultera un covariant du quatrième ordre et du quatrième degré savoir :

(4) Ci,» = (iSa^a ^a^a^ — iSa^a^a] -]- 16^0»*^^ -\- loSa^a^a^a^

+ aaja^ag — Saoa^a^a^ — 6aoa]a^)x\ H .

Si on change le covariant €4,2 en intermutant pour l'appliquer à la sextique, on arrive à un covariant du second ordre et du troisième degré ; c'est :

En appliquant le même intermutant au covariant Ce^s, on obtient encore un covariant du second ordre qui a pour valeur

(6) C^,^ = {74aoa^al — Saoa^ala^— 52a,alal — 2alala^-{- 2ia,a^a^a^a^

— 57».!^î + 33c^i^2«^4«5 + i^f^Wzf^^ — mK^^ + 48aja,a5 + ^oa^a\a\ + %2a,ala^ — ala.^a.a^ — 54a>J — 2sa\a^a^a^

H- ioa\a^a^ — ^oa\a^a\)x\ -\

Transformons €4,4 en intermutant pour l'appliquer à Ce.s ; on aura

(7) €2,7 = Intermutant de C*^* sur C6,j.

Toutes les autres formations se déduisent des précédentes en les combinant deux à deux pour former leurs Jacobiens, savoir :

(8) Cl 2,5 = Jacobien de f et C8,2;

id.

Caj;

=zs

id.

Ca,.

id.

Ce,*

id.

Ce,6

id.

Cas

id.

Cs.s

id.

Cl0,4

id.

Il est à remarquer qu'il y a deux covariants du sixième degré par rapport aux coefficients et aux variables qui sont distincts.

La sextique possède cinq invariants fondamentaux des degrés 2, 4,6, 10, 15, et dont les poids respectifs sont 6, 12, 18, 30, 45.

Le premier s'obtient en changeant f en intermutant pour l'appliquer à la forme elle-même; sa valeur est ;

I, = «0^6 —6a^a^-\-i 5a,a, — ioa\.

Le second I* est l'invariant du second degré de la forme C4 2. On a I, = a^a^a^a^ — a^a^a; — ay.a^ + 2a,a.a^a^ — a^al — a\a^a^ + aja?

Le troisième le est l'invariant du second degré de la forme Ce, 5; c'est :

il contient 45 termes.

Le quatrième Ii& est Tinvariant du second degré de la forme Gj^s, et le cinquième I13, l'invariant du troisième degré de la forme Ci.B. Us possèdent un très grand nombre de termes.

Nous avons maintenant énuméré les formations invariantes fondamentales pour les formes binaires des six premiers degrés; leur ensemble constitue ce que l'on appelle le système complet de ces formes; toutes les autres peuvent s'exprimer rationnellement au moyen des fonctions de ce système et on ne les regarde pas comme distinctes des premières. C'était une question difficile à résoudre que d'établir le système complet d'une fonction homogène donnée, c'est-à-dire, de faire d'une manière exacte le choix des covariants et des invariants indépendants; elle a été résolue par Clebsch,et l'honneur en revient à la méthode symbolique allemande dont nous nous proposons d'exposer les principes avant de terminer cette introduction à Tétude des formes algébriques.