Comparons l'expression de la forme binaire de degré n

I , nin — I )

à la w*^*"* puissance d'une forme linéaire

(ttix, -{- aiX2)"

= a^^x*l -\- na*l-'a^x*;^^x^^ + ^ a^-^a^x^-^x* -j \- ajx;*,

et posons :

a7 = ao, a^ia, = a^, a'^-^al = a^j ..., a"^ = an.

Avec ces relations, ces deux expressions sont identiques; en désignant par flx la forme linéaire fliXi 4" û^i«ï^2, il vient

Cette formule constitue la représentation symbolique de f. Au lieu d'employer la lettre a dans la forme linéaire, on peut se servir des lettres b, c, d^ ..., et en posant :

6x = 6iXi -I-64X2, Cx ==CiXi-\-CiX2, dx = diXi-\-d2Xi, on a de même

On doit regarder a, />, c, d, ... comme des symboles équivalents de telle sorte que les mêmes produits des a. des 6, des c, etc. représentent le même coefficient de f et l'on a :

Les constantes fti , at^bt, ... des formes linéaires n'ont aucune signification en elles-mêmes; ce sont seulement leurs produits de w""** dimension qui sont susceptibles de représenter les divers coefficients de la forme. La multiplicité des symboles est indispensable; car, pour représenter le produit aia2, par exemple, on ne peut prendre

parce que le terme a^^—s^' pourrait provenir de

et il y aurait ambiguité en repassant des symboles aux coefficients de la forme; tandis qu'en adoptant pour représenter aia» le produit

il n'y a aucune méprise possible.

Cette représentation symbolique s'étend à une fonction homogène à plusieurs séries de variables. Soit

H h a«2/;(a(;Jx7 + wa(;)j?7-^x, -\ [- aï>x'^)

une forme homogène à deux suites de variables, du degré n par rapport à 2/ et du degré m par rapport à x. Le nombre des termes est :

On peut, dans l'expression de F, faire rentrer les coefficients a^, Oi, ... dans les constantes a ou les supposer égaux à l'unité.

Chaque terme de cette fonction renferme un produit de la forme

prenons pour le coefficient correspondant

les symboles r et 5 devant être pris ensemble et tels que les produits seuls, où la somme des exposants de r^ et ra est m et celle de Si et s-j n, jouissent de la propriété de représenter un coefTicient de la forme. Si, dans le terme

on attribue à A et |u, toutes leurs valeurs, en ajoutant les coefficients binomiaux correspondants, on arrive à l'expression

F = {riXi -f- r.Xi)"' (5,2/, -|- s^jj^Y, ou bien

F = r'îs'»

qui constitue la représentation symbolique de F. 1S34. Considérons, maintenant, un invariant

I(<ao, ai, «2 •••)

de f{xiy X2). Pour fixer les idées, supposons qu'il soit du troisième degré; désignons par (3o, |3i, jSa, •••, yo^yi, 72, ••. les coefficients de deux autres formes de même ordre. On sait que

da.0 doci ôxn

est une expression invariante; elle renferme encore les coefficients a au second degré et les coefficients (3 au premier degré. De même

dR , dK , , dK

jouit de la même propriété ; mais, dans L, les coefficients a, (3, y, n'entrent plus qu'au premier degré. Quel que soit le degré de I, par un certain nombre d'opérations semblables, on arrivera nécessairement à une expression invariante qui contient les divers coefficients au premier degré; de plus, par une propriété des fonctions homogènes, la même expression reproduira l'invariant primitif, abstraction faite d'un facteur numérique, si l'on identifie toutes les formes à la première. De là, cette proposition :

Un invariant de degré k d'une forme d'ordre n est susceptible d'être représenté par un invariant qui renferme au premier degré les coefficients de k formes de même ordre, et celui-ci se transforme, à un facteur numérique près, en l'invariant primitif, si Von fait toutes les formes égales à la première.

Cela étant, supposons que les k formes soient représentées symboliquement

par

b^ = {b^X^ -\- ^jXj)",

c; = (c,x, 4-c«Xï)»,

Au lieu des coefficients a. 6, 7, ..., on substitue les produits des a, des b, des c, etc., de dimension n qui les représentent. L'invariant I se change ainsi en une fonction des constantes ai, a2, 61, ... des A- formes linéaires; c'est cette expression que l'on prend pour représenter symboliquement l'invariant I.

Soit la forme quadratique

f = «0^! + 2a,ar,a7j -|- a,arj qui possède l'invariant

I = (XqCx.^ — a, ; Po. |3|, jSj, étant les coefficients d'une seconde forme de même ordre, on a :

aao dy.\ aa.i

mais, si l'on prend symboliquement pour les deux formes

al = (a, a;, + V,)S bl = (ft.x, -f 6,a;,)«, il vient :

par suite,

c'est-à-dire,

K = {atb2 — atbiy = (abf .

On prend donc {aby pour représenter symboliquement l'invariant de la quadratique.

Soit encore

rinvariant du second degré de la quartique

/•= cL^x\ -f ^<x^x\x^ + 6a,a;fx» + \a^x^x\ + a^x\ ; on trouve

oj = ao, a, (15= a,, a« = a,,

^; = Po, ^^=/3., 61 = (5,;

(3o, |3i, |32, jSs étant les coefficients d'une seconde quarlique. Posons symboliquement

a* = [aiXi -\- «1X2)* ; h* = (6,X| 4- ftjXj)*;

en remplaçant les coefficients a et /3 par les produits des a et des b correspondants, il vient :

K = b\ai - 4fi\h,a,a\ + 6h\h\a\a\ - ^b,hla\a, + b[a\ ou

Par conséquent, (a&)* est la formule symbolique de l'invariant du second degré de la quarlique.

Réciproquement, toute expression invariante qui renferme les coefficients de k formes linéaires, les a, les b, les c, etc. à la w*^'"* dimension doit être considéré comme la représentation symbolique d'un invariant de degré k d'une forme de l'ordre n. Pour déterminer sa valeur, on regarde a^ b, Cy ... comme des symboles équivalents pour la représentation de /"et on remplace leurs produits par les coefficients correspondants de la forme. On fait l'opération inverse de celle qui précède.

935. Les covariants rentrent dans les invariants par la remarque suivante. Les déterminants (ab), {ac)f etc. de deux formes linéaires jouissent de la propriété de se reproduire par une transformation. Substituons dans une forme linéaire

les valeurs il viendra

ou

La fonction ax se transforme en une expression semblable relativement à Ci, ?,, les constantes nouvelles étant a\, a\. Or, si on résoud les égalités précédentes par rapport à cti, «a, on trouve

Abstraction faite du module r, on voit que les coefficients primitifs

Oj^ a^ s'expriment en — a, et -\- a\ par les mêmes formules que les

variables Xi et xi, c'est-à-dire que ces quantités sont cogrédientes à Xi et Xt. Par conséquent, on ne changera pas la propriété invariante d'une expression en remplaçant — 02 et -j- di par Xi et 0:2; mais alors les déterminants tels que {ah)^ (ac) qui renferment a deviennent

(ab) = {aib2 — ft2&i) = &«

(ac) = (aid — atd) = Cx.

Donc l'expression invariante se change en une formule contenant les variables, c'est-à-dire que l'invariant devient un covariant. Réciproquement, si, dans la formule covariante, on pose Xi = — aj, a;2==Oi, on retombe sur l'invariant.

Il est utile de remarquer que l'on peut encore écrire

et substituer à -|- a^ et — ai les variables Xi et X2. Il vient, dans ce cas,

(ab) = — {aobi — ^162) = — ^^r.

Il résulte de ces diverses observations préliminaires que la possibilité d'une représentation symboliqne générale des formations invariantes d'une forme donnée dépend uniquement de l'expression générale des invariants d*un système de formes linéaires; c'est ce qu'il importe de déterminer.

teSG. Soit un système de k formes linéaires

ttx = CbtXt -j- ftoX2,

bx = biXt -+-&2X2,

Cx = CiXt H- CiXt,

dx =d]Xt -\- d2X2,

Regardons Xi et X2 comme les coordonnées homogènes d'un point M d'une droite rapporté à une origine fixe 0 de cette droite. Toutes ces formes égalées à zéro définissent k points que nous représenterons par

Ml, M2, M,, ... Mk.

Un invariant simultané des fonctions linéaires égalé à zéro doit exprimer une propriété du système indépendante du changement de l'origine. Or, lorsqu'il s'agit de points sur une droite, une telle relation ne peut se rapporter qu'à la coïncidence des points ou à une situation anharmonique

spéciale des différents points du système ; mais, si deux points Tiennent à coïncider le déterminant du second ordre des équations qui les représentent est nul; d'un autre côté, si on forme le rapport anharmonique de quatre points, on trouve

di Cl fti di

ou bien,

bz I ^2 ^2 1^ dt

bi Cl bi d,

{ac) (bd)

(bc) {ad) '

c'est aussi une expression qui ne renferme que des déterminants du second ordre. Nous pouvons donc admettre que tout invariant simultané d'un système de formes linéaires est un composé de déterminants semblables, c'est-à-dire, un composé d'invariants de ces formes prises deux à deux.

Comme les covariants se déduisent des invariants en remplaçant, par exemple, une série de coefficients — «j, -|- ai par Xt et a?8, ils auront en plus des facteurs de la forme bx- Les formations invariantes des formes binaires quelconques qui dépendent de ces dernières devront renfermer les mêmes facteurs. On a donc la proposition suivante :

Tout invariant d'une forme binaire se représente symboliquement par un composé de produits de déterminants du type {ab), et tout covariant par un composé de produits du type {ab) et du type bx-

Si on écrit une formule symbolique conformément à cette loi et dans laquelle les a, les 6, les c, etc. entrent à une dimension égale au degré de la forme, elle représentera un invariant ou un covariant dont le degré par rapport aux coefficients est donné par le nombre de symboles a, 6, c, ..., et le degré par rapport aux variables par le nombre de facteurs analogues à 6,. Il est bien entendu que, parfois, ces formules correspondent à des invariants ou à des covariants identiquement nuls. Il en est ainsi, par exemple, lorsque la permutation de deux symboles équivalents change le signe d'un produit symbolique. La formule (aby qui est propre à représenter un invariant de la cubique, change de signe en permutant a eib; donc cet invariant sera nul, comme on le vérifie facilement. On a

(aby = (a,b, - a,b,y = a\bl - sa^a.b.b] + 3«.«l^î^ - <'V'' c'est-à-dire.

Il en sera ainsi pour toute puissance impaire de (ah) ; les formes d*ordre impair n'ont pas d'invariant du second degré par rapport aux coefficients; mais bien les formes d'ordre pair, parce que les formules

[ab)\ {ab)\ («&)», ...

restent invariables par l'échange de a et de b.

Les formules

(a6)' axbx, {aby {cb) dax

réunissent les conditions voulues pour représenter des covariants de la cubique; car les a, les b, les c s'y trouvent à la troisième dimension, et ces expressions jouissent de la propriété de l'invariance. La première est un covariant du second degré, et la seconde, un covariant du troisième degré relativement aux coefficients et aux variables. De même les produits symboliques

{abyalbl, {aby {cb) alb^cl

représentent des covariants du quatrième et du sixième degré de la quartique. Indiquons les calculs à effectuer pour trouver la valeur du covariant

{aby axbx de la cubique. On a :

{aby axbx = {aibt — a2&i)* {aiXi + a2X2) {biXt -\- b2Xi) = (a\bl — 2a^aJ)^b^ -f alb\} [a^b^x* -f {a^b^ + «a^tjaj.a;, + a^b^]]

ou bien

{a',b,b\-2a',a,b]b^ + a,alb',)x]

+ (<*;»a^j — 2ay^b^bl + alb]b^)xl.

Or, on sait que aJ = 6J = ao, a]a^ = b]b^ = a^, a^^ =b^bl = <x^, aî = 6j = a,; par la substitution, on trouve

2[{aoCC^ — aj)^; + («o^s — ^i<^i)^i^i + («i^a — «1)^1]- Le calcul que nous venons de développer pour trouver la valeur d'un covariant qui répond à une formule symbolique montre suffisamment combien il serait pénible de déterminer les invariants et les covariants par cette voie. Aussi, cette détermination n'est qu'accessoire dans la méthode des symboles. Sa grande utilité est de représenter par des formules très simples des fonctions très compliquées; il est bien vrai que ces produits ne donnent pas

immédiatement la valeur des formations invariantes; mais leur aspect indique suffisamment leur nature. Enfin, à cause de celte simplicité, elle se prête mieux à l'étude des relations qui existent entre elles ainsi qu'à la solution des questions multiples qui s'y rattachent.

^3'7. Le nombre des invariants du degré p d'une forme de l'ordre n est égal au nombre d'invariants du degré n d'une forme de V ordre p. Soit

V = {abf(ac)?(bcY...

un produit symbolique représentant un invariant d'ordre p d'une forme de

degré n; il doit contenir p lettres a, 6, c, et chacune d'elles s'y trouve à

la n'^"** puissance. D'un autre côté, représentons par ® une forme d'ordre;) et par «i, «2, ... ctp les racines de l'équation

Faisons correspondre les racines aux symboles a. b, c. ..., et remplaçons chaque déterminant facteur par la différence des racines pour former l'expression symétrique

2(ai — a2)"(ai — as)^ («2 — a^y ...

où il y a ;) racines et chacune d'elles y est élevée à la puissance n. Dans ces conditions, nous avons vu que c'est là l'expression d'un invariant du degré n de la forme (p; par conséquent, il y a pour la forme d'ordre/) un invariant du degré n pour tout invariant du degré p de la forme de l'ordre n, et la proposition est démontrée.

Cette loi s'applique aussi aux covariants, c'est-à-dire qu'uae forme de l'ordre n admet autant de covariants du degré p relativement aux coefficients qu'une forme d'ordre p possède de covariants du degré n,

^38. Représentation symbolique du Hessien et du Jacobien. On sait que le Jacobien de deux formes d'ordres m qX. n est le déterminant

df

dxi

df

dx2

dxi

dxi

Soient, symboliquement.

© = {piXi -\- b»XtY ==^ -

oh a et b sont des symboles différents. Il vient

df df

CLXi (1X2

-— =:.nb:-%y — i- =^nb^-'b,; dxi dxi

en substituant, on trouve

ma'^~^a\

ma^^at

= mna^—^b^"^

nbl-^bx

nb^-'^bi

bt

c'est-à-dire,

J = (ab) a^-'b^'

en laissant le facteur numérique mn; telle est la formule symbolique du Jacobien.

En second lieu, supposons que

f=al=bl^c^

soit une forme de l'ordre w, les symboles a, è, c étant équivalents; cherchons la valeur du Hessien représenté par

dx^ dxidx2 d'f d'f

On a

dxidxi dxl

dxidx2 dxidxi Avec ces valeurs, il vient

par suite,

= n{n — i) a^—^aitti = n(n — i) b^bib^.

H = n*(w — i)» [ah) a'^-^bl'^ . ^,62. Si on échange a et 6, on aura aussi

H = — «« (w — i)* (ab) al-^b'lr* • »«&«.

En faisant la somme de ces expressions, on trouve

2H = n*(n— lY {ahy a'^^hl"^.

On néglige les facteurs numériques et Ton prend pour la formule symbolique du Hessien

H = [ahY a;-»fc;-«.

Ainsi, les expressions

(fl&)% (ahy Œxbx, {aby albl,

représentent respectivement le Hessien des formes du second, du troisième et du quatrième degré.

Combinons maintenant H avec f pour en déduire par leur Jacobien d'autres covariants. Nous venons de voir que

H = (aby ajb.

est le Hessien de la cubique

f=al = bl=^cl.

Cherchons le Jacobien de /" et de H. On a :

__ = {aby (ai6, + 6iaJ, -7— = {aby {atb^ + btax).

(iiX\ CLXt

Les symboles a et 6 se trouvant dans ces dérivées, il faut prendre le symbole c pour f et écrire

Il vient donc

J --= {aby

3clc,

a\bx -\- bittx

atbx -\- btttx

ou bien

J = ^(abycl[ci(a3bx + Mx) — C2(aibx + 61 a.)]

c'est-à-dire,

J = 3(a6)* (ca) clb^ + ^{aby (cb) cla^.

Comme les symboles sont équivalents, on peut échanger a et 6 et le premier terme devient le second; ces termes sont donc identiques; par suite,

on a :

J = 6 {aby {cb)clax-

En négligeant le facteur 6, Texpiession (aby{cb)clam représentera covariant du troisième degré de la cubique.

Si on fait le même calcul pour le déterminant fonctionnel du Hessien

H = (aby alb]^

de la quartique

on trouve aussi

J=S{aby claxbx C| ct

aibx-^biŒx aibx-\-b2ax ou

J = 8 (aby (ca) cla^bl + 8(a6)* (cb) dalba,

et ces deux termes sont les mêmes, car le premier devient le second en

permutant les symboles identiques a et b. En laissant le facteur numérique,

l'expression (abf [cb) clalbx représentera le covariant du sixième degré de la quartique,