OPÉRATIONS DIVERSES DU CALCUL SYMBOLIQUE

Z39. Opération F {FaUu?igsprocess) . Etant donné un produit symbolique

V = {aby {ac)f' [bcy ... a^fe^cï ...,

séparons deux facteurs de la seconde espèce, par exemple, Œxbx pour les remplacer par le déterminant {ab). On peut répéter cette opération sur deux autres facteurs quelconques et toutes les expressions qui en résultent conservent leur caractère invariant. Il y a aussi le procédé inverse qui consiste à remplacer un facteur tel que {ab) par axbx. Soit

P = albl.

Une première application du procédé donne (ab) albl ; une seconde {aby axbx'y et une troisième {aby.

La première et la dernière formule changent de signe en permutant a et 6; elles ne donnent rien; ia deuxième représente le Hessien de la cubique.

Formons, en second lieu, le produit du Hessien de la cubique par la forme

elle-même. On aura

p = (aby axbxcl.

En opérant sur a et c, il vient

{aby (ac)bxcl, et on opérant sur b et c

{aby {bc) a^d .

Ces deux expressions rentrent l'une dans l'autre par réchange de a et 6; elles représentent le covariant du troisième degré de la cubique.

Formons encore le produit du Hessien de la quartique par la forme elle même. On aura

Par l'application du procédé sur a et c. il vient successifement (aby {ac) a^blcl, {aby {ac)* bld ; ensuite, en séparant les facteurs bxCxy

{aby (acy (bc) bxC^, {aby (acy {bcy.

La première formule est le covariant du sixième degré de la quartique, et la dernière l'invariant du troisième degré de la même forme.